2018年上海高考数学真题及答案

第 1 页 共 19 页 2018 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共有 12 题 满分 54 分 第 1 6 题每题 4 分 第 7 12 题每 题 5 分 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 4 分 2018 上海 行列式 的值为 18 考点 OM 二阶行列式的定义 菁优网版权所有 专题 11 计算题 49 综合法 5R 矩阵和变换 分析 直接利用行列式的定义 计算求解即可 解答 解 行列式 4 5 2 1 18 故答案为 18 点评 本题考查行列式的定义 运算法则的应用 是基本知识的考查 2 4 分 2018 上海 双曲线 y2 1 的渐近线方程为 考点 KC 双曲线的性质 菁优网版权所有 专题 11 计算题 分析 先确定双曲线的焦点所在坐标轴 再确定双曲线的实轴长和虚轴长 最后确定双曲线的渐近线方程 解答 解 双曲线 的 a 2 b 1 焦点在 x 轴上 而双曲线 的渐近线方程为 y 双曲线 的渐近线方程为 y 故答案为 y 点评 本题考察了双曲线的标准方程 双曲线的几何意义 特别是双曲线的 渐近线方程 解题时要注意先定位 再定量的解题思想 3 4 分 2018 上海 在 1 x 7 的二项展开式中 x2 项的系数为 21 结果用数值表示 第 2 页 共 19 页 考点 DA 二项式定理 菁优网版权所有 专题 38 对应思想 4O 定义法 5P 二项式定理 分析 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中 x2 的系数 解答 解 二项式 1 x 7 展开式的通项公式为 Tr 1 xr 令 r 2 得展开式中 x2 的系数为 21 故答案为 21 点评 本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题 是基础题 4 4 分 2018 上海 设常数 a R 函数 f x 1og 2 x a 若 f x 的反 函数的图象经过点 3 1 则 a 7 考点 4R 反函数 菁优网版权所有 专题 11 计算题 33 函数思想 4O 定义法 51 函数的性质及应 用 分析 由反函数的性质得函数 f x 1og 2 x a 的图象经过点 1 3 由 此能求出 a 解答 解 常数 a R 函数 f x 1og 2 x a f x 的反函数的图象经过点 3 1 函数 f x 1og 2 x a 的图象经过点 1 3 log 2 1 a 3 解得 a 7 故答案为 7 点评 本题考查实数值的求法 考查函数的性质等基础知识 考查运算求解 能力 考查函数与方程思想 是基础题 5 4 分 2018 上海 已知复数 z 满足 1 i z 1 7i i 是虚数单位 则 z 5 考点 A8 复数的模 菁优网版权所有 第 3 页 共 19 页 专题 38 对应思想 4A 数学模型法 5N 数系的扩充和复数 分析 把已知等式变形 然后利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数 求模公式计算得答案 解答 解 由 1 i z 1 7i 得 则 z 故答案为 5 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数模的求法 是基础 题 6 4 分 2018 上海 记等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn 若 a3 0 a 6 a7 14 则 S7 14 考点 85 等差数列的前 n 项和 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4O 定义法 54 等差数列与等比 数列 分析 利用等差数列通项公式列出方程组 求出 a1 4 d 2 由此能求出 S7 解答 解 等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn a 3 0 a 6 a7 14 解得 a1 4 d 2 S 7 7a1 28 42 14 故答案为 14 点评 本题考查等差数列的前 7 项和的求法 考查等差数列的性质等基础知 识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 7 5 分 2018 上海 已知 2 1 1 2 3 若幂函数 f x 第 4 页 共 19 页 x 为奇函数 且在 0 上递减 则 1 考点 4U 幂函数的概念 解析式 定义域 值域 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4O 定义法 51 函数的性质及应 用 分析 由幂函数 f x x 为奇函数 且在 0 上递减 得到 a 是奇数 且 a 0 由此能求出 a 的值 解答 解 2 1 1 2 3 幂函数 f x x 为奇函数 且在 0 上递减 a 是奇数 且 a 0 a 1 故答案为 1 点评 本题考查实数值的求法 考查幂函数的性质等基础知识 考查运算求 解能力 考查函数与方程思想 是基础题 8 5 分 2018 上海 在平面直角坐标系中 已知点 A 1 0 B 2 0 E F 是 y 轴上的两个动点 且 2 则 的最小值为 3 考点 9O 平面向量数量积的性质及其运算 菁优网版权所有 专题 11 计算题 35 转化思想 41 向量法 5A 平面向量及应 用 分析 据题意可设 E 0 a F 0 b 从而得出 a b 2 即 a b 2 或 b a 2 并可求得 将 a b 2 带入上式即可求出 的最小值 同理将 b a 2 带入 也可求出 的最小值 解答 解 根据题意 设 E 0 a F 0 b a b 2 或 b a 2 且 第 5 页 共 19 页 当 a b 2 时 b 2 2b 2 的最小值为 的最小值为 3 同理求出 b a 2 时 的最小值为 3 故答案为 3 点评 考查根据点的坐标求两点间的距离 根据点的坐标求向量的坐标 以 及向量坐标的数量积运算 二次函数求最值的公式 9 5 分 2018 上海 有编号互不相同的五个砝码 其中 5 克 3 克 1 克砝 码各一个 2 克砝码两个 从中随机选取三个 则这三个砝码的总质量为 9 克 的概率是 结果用最简分数表示 考点 CB 古典概型及其概率计算公式 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 49 综合法 5I 概率与统计 分析 求出所有事件的总数 求出三个砝码的总质量为 9 克的事件总数 然 后求解概率即可 解答 解 编号互不相同的五个砝码 其中 5 克 3 克 1 克砝码各一个 2 克砝码两个 从中随机选取三个 3 个数中含有 1 个 2 2 个 2 没有 2 3 种情况 所有的事件总数为 10 这三个砝码的总质量为 9 克的事件只有 5 3 1 或 5 2 2 两个 所以 这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 故答案为 点评 本题考查古典概型的概率的求法 是基本知识的考查 10 5 分 2018 上海 设等比数列 a n 的通项公式为 an qn 1 n N 前 n 第 6 页 共 19 页 项和为 Sn 若 则 q 3 考点 8J 数列的极限 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 35 转化思想 49 综合法 55 点列 递归数列与数学归纳法 分析 利用等比数列的通项公式求出首项 通过数列的极限 列出方程 求 解公比即可 解答 解 等比数列 a n 的通项公式为 a qn 1 n N 可得 a1 1 因为 所以数列的公比不是 1 a n 1 qn 可得 可得 q 3 故答案为 3 点评 本题考查数列的极限的运算法则的应用 等比数列求和以及等比数列 的简单性质的应用 是基本知识的考查 11 5 分 2018 上海 已知常数 a 0 函数 f x 的图象经过点 P p Q q 若 2p q 36pq 则 a 6 考点 3A 函数的图象与图象的变换 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 51 函数的性质及应用 分析 直接利用函数的关系式 利用恒等变换求出相应的 a 值 解答 解 函数 f x 的图象经过点 P p Q q 第 7 页 共 19 页 则 整理得 1 解得 2 p q a2pq 由于 2 p q 36pq 所以 a 2 36 由于 a 0 故 a 6 故答案为 6 点评 本题考查的知识要点 函数的性质的应用 代数式的变换问题的应 用 12 5 分 2018 上海 已知实数 x1 x 2 y 1 y 2 满足 x12 y12 1 x 22 y22 1 x 1x2 y1y2 则 的最大值为 考点 7F 基本不等式及其应用 IT 点到直线的距离公式 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 48 分析法 59 不等式的解法及应用 分析 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 由圆的方 程和向量数量积的定义 坐标表示 可得三角形 OAB 为等边三角形 AB 1 的几何意义为点 A B 两点到直线 x y 1 0 的距离 d1 与 d2 之和 由两平行线的距离可得所求最大值 解答 解 设 A x 1 y 1 B x 2 y 2 x 1 y 1 x 2 y2 由 x12 y12 1 x22 y22 1 x1x2 y1y2 可得 A B 两点在圆 x2 y2 1 上 第 8 页 共 19 页 且 1 1 cos AOB 即有 AOB 60 即三角形 OAB 为等边三角形 AB 1 的几何意义为点 A B 两点 到直线 x y 1 0 的距离 d1 与 d2 之和 显然 A B 在第三象限 AB 所在直线与直线 x y 1 平行 可设 AB x y t 0 t 0 由圆心 O 到直线 AB 的距离 d 可得 2 1 解得 t 即有两平行线的距离为 即 的最大值为 故答案为 点评 本题考查向量数量积的坐标表示和定义 以及圆的方程和运用 考查 点与圆的位置关系 运用点到直线的距离公式是解题的关键 属于难题 二 选择题 本大题共有 4 题 满分 20 分 每题 5 分 每题有且只有一个正确 选项 考生应在答题纸的相应位置 将代表正确选项的小方格涂黑 13 5 分 2018 上海 设 P 是椭圆 1 上的动点 则 P 到该椭圆的两 个焦点的距离之和为 A 2 B 2 C 2 D 4 考点 K4 椭圆的性质 菁优网版权所有 专题 11 计算题 49 综合法 5D 圆锥曲线的定义 性质与方程 第 9 页 共 19 页 分析 判断椭圆长轴 焦点坐标 所在的轴 求出 a 接利用椭圆的定义 转化求解即可 解答 解 椭圆 1 的焦点坐标在 x 轴 a P 是椭圆 1 上的动点 由椭圆的定义可知 则 P 到该椭圆的两个焦点的 距离之和为 2a 2 故选 C 点评 本题考查椭圆的简单性质的应用 椭圆的定义的应用 是基本知识的 考查 14 5 分 2018 上海 已知 a R 则 a 1 是 1 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 考点 29 充分条件 必要条件 充要条件 菁优网版权所有 专题 11 计算题 34 方程思想 4O 定义法 5L 简易逻辑 分析 a 1 a 1 或 a 0 由此能求出结果 解答 解 a R 则 a 1 a 1 或 a 0 a 1 是 的充分非必要条件 故选 A 点评 本题考查充分条件 必要条件的判断 考查不等式的性质等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 15 5 分 2018 上海 九章算术 中 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底 面的四棱锥为阳马 设 AA1 是正六棱柱的一条侧棱 如图 若阳马以该正六棱 柱的顶点为顶点 以 AA1 为底面矩形的一边 则这样的阳马的个数是 第 10 页 共 19 页 A 4 B 8 C 12 D 16 考点 D8 排列 组合的实际应用 菁优网版权所有 专题 11 计算题 38 对应思想 4R 转化法 5O 排列组合 分析 根据新定义和正六边形的性质可得答案 解答 解 根据正六边形的性质 则 D1 A1ABB1 D 1 A1AFF1 满足题意 而 C1 E 1 C D E 和 D1 一样 有 2 6 12 当 A1ACC1 为底面矩形 有 2 个满足题意 当 A1AEE1 为底面矩形 有 2 个满足题意 故有 12 2 2 16 故选 D 点评 本题考查了新定义 以及排除组合的问题 考查了棱柱的特征 属于 中档题 16 5 分 2018 上海 设 D 是含数 1 的有限实数集 f x 是定义在 D 上的 函数 若 f x 的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合 则在以下各项中 f 1 的可能取值只能是 A B C D 0 考点 3A 函数的图象与图象的变换 菁优网版权所有 第 11 页 共 19 页 专题 35 转化思想 51 函数的性质及应用 56 三角函数的求值 分析 直接利用定义函数的应用求出结果 解答 解 由题意得到 问题相当于圆上由 12 个点为一组 每次绕原点逆时 针旋转 个单位后与下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当 f 1 0 时 此时得到的圆心角 为 0 然而此时 x 0 或者 x 1 时 都有 2 个 y 与之对应 而我们知道 函数的定义就是要求一个 x 只能对应一个 y 因此只有当 x 此时旋转 此时满足一个 x 只会对应一个 y 因此答案就选 B 故选 B 点评 本题考查的知识要点 定义性函数的应用 三 解答题 本大题共有 5 题 满分 76 分 解答下列各题必须在答题纸的相应 位置写出必要的步骤 17 14 分 2018 上海 已知圆锥的顶点为 P 底面圆心为 O 半径为 2 1 设圆锥的母线长为 4 求圆锥的体积 2 设 PO 4 OA OB 是底面半径 且 AOB 90 M 为线段 AB 的中点 如 图 求异面直线 PM 与 OB 所成的角的大小 考点 LM 异面直线及其所成的角 L5 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 LF 棱柱 棱锥 棱台的体积 菁优网版权所有 专题 11 计算题 31 数形结合 41 向量法 5F 空间位置关系与 距离 5G 空间角 分析 1 由圆锥的顶点为 P 底面圆心为 O 半径为 2 圆锥的母线长为 4 能求出圆锥的体积 第 12 页 共 19 页 2 以 O 为原点 OA 为 x 轴 OB 为 y 轴 OP 为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用向量法能求出异面直线 PM 与 OB 所成的角 解答 解 1 圆锥的顶点为 P 底面圆心为 O 半径为 2 圆锥的母线 长为 4 圆锥的体积 V 2 PO 4 OA OB 是底面半径 且 AOB 90 M 为线段 AB 的中点 以 O 为原点 OA 为 x 轴 OB 为 y 轴 OP 为 z 轴 建立空间直角坐标系 P 0 0 4 A 2 0 0 B 0 2 0 M 1 1 0 O 0 0 0 1 1 4 0 2 0 设异面直线 PM 与 OB 所成的角为 则 cos arccos 异面直线 PM 与 OB 所成的角的为 arccos 点评 本题考查圆锥的体积的求法 考查异面直线所成角的正切值的求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 第 13 页 共 19 页 考查函数与方程思想 是基础题 18 14 分 2018 上海 设常数 a R 函数 f x asin2x 2cos 2x 1 若 f x 为偶函数 求 a 的值 2 若 f 1 求方程 f x 1 在区间 上的解 考点 GP 两角和与差的三角函数 GS 二倍角的三角函数 菁优网版权所有 专题 11 计算题 38 对应思想 4R 转化法 58 解三角形 分析 1 根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出 2 先求出 a 的值 再根据三角形函数的性质即可求出 解答 解 1 f x asin2x 2cos2x f x asin2x 2cos2x f x 为偶函数 f x f x asin2x 2cos 2x asin2x 2cos2x 2asin2x 0 a 0 2 f 1 asin 2cos2 a 1 1 a f x sin2x 2cos2x sin2x cos2x 1 2sin 2x 1 f x 1 2sin 2x 1 1 sin 2x 2x 2k 或 2x 2k k Z 第 14 页 共 19 页 x k 或 x k k Z x x 或 x 或 x 或 x 点评 本题考查了三角函数的化简和求值 以及三角函数的性质 属于基础 题 19 14 分 2018 上海 某群体的人均通勤时间 是指单日内该群体中成员 从居住地到工作地的平均用时 某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通 勤 分析显示 当 S 中 x 0 x 100 的成员自驾时 自驾群体的人均通勤 时间为 f x 单位 分钟 而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响 恒为 40 分钟 试根据上述分析结果回 答下列问题 1 当 x 在什么范围内时 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤 时间 2 求该地上班族 S 的人均通勤时间 g x 的表达式 讨论 g x 的单调性 并说明其实际意义 考点 5B 分段函数的应用 菁优网版权所有 专题 12 应用题 33 函数思想 4C 分类法 51 函数的性质及应 用 分析 1 由题意知求出 f x 40 时 x 的取值范围即可 2 分段求出 g x 的解析式 判断 g x 的单调性 再说明其实际意义 解答 解 1 由题意知 当 30 x 100 时 f x 2x 90 40 即 x2 65x 900 0 解得 x 20 或 x 45 x 45 100 时 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间 第 15 页 共 19 页 2 当 0 x 30 时 g x 30 x 40 1 x 40 当 30 x 100 时 g x 2x 90 x 40 1 x x 58 g x 当 0 x 32 5 时 g x 单调递减 当 32 5 x 100 时 g x 单调递增 说明该地上班族 S 中有小于 32 5 的人自驾时 人均通勤时间是递减的 有大于 32 5 的人自驾时 人均通勤时间是递增的 当自驾人数为 32 5 时 人均通勤时间最少 点评 本题考查了分段函数的应用问题 也考查了分类讨论与分析问题 解 决问题的能力 20 16 分 2018 上海 设常数 t 2 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 F 2 0 直线 l x t 曲线 y 2 8x 0 x t y 0 l 与 x 轴交于点 A 与 交于点 B P Q 分别是曲线 与线段 AB 上的动点 1 用 t 表示点 B 到点 F 的距离 2 设 t 3 FQ 2 线段 OQ 的中点在直线 FP 上 求 AQP 的面积 3 设 t 8 是否存在以 FP FQ 为邻边的矩形 FPEQ 使得点 E 在 上 若存 在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 考点 KN 直线与抛物线的位置关系 菁优网版权所有 专题 35 转化思想 4R 转化法 5D 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 方法一 设 B 点坐标 根据两点之间的距离公式 即可求得 BF 方法二 根据抛物线的定义 即可求得 BF 2 根据抛物线的性质 求得 Q 点坐标 即可求得 OD 的中点坐标 即可求得 直线 PF 的方程 代入抛物线方程 即可求得 P 点坐标 即可求得 AQP 的面积 第 16 页 共 19 页 3 设 P 及 E 点坐标 根据直线 kPF kFQ 1 求得直线 QF 的方程 求得 Q 点坐 标 根据 求得 E 点坐标 则 2 8 6 即可求得 P 点 坐标 解答 解 1 方法一 由题意可知 设 B t 2 t 则 BF t 2 BF t 2 方法二 由题意可知 设 B t 2 t 由抛物线的性质可知 BF t t 2 BF t 2 2 F 2 0 FQ 2 t 3 则 FA 1 AQ Q 3 设 OQ 的中点 D D kQF 则直线 PF 方程 y x 2 联立 整理得 3x2 20 x 12 0 解得 x x 6 舍去 AQP 的面积 S 3 存在 设 P y E m 则 kPF k FQ 直线 QF 方程为 y x 2 y Q 8 2 Q 8 第 17 页 共 19 页 根据 则 E 6 2 8 6 解得 y 2 存在以 FP FQ 为邻边的矩形 FPEQ 使得点 E 在 上 且 P 点评 本题考查抛物线的性质 直线与抛物线的位置关系 考查转化思想 计算能力 属于中档题 21 18 分 2018 上海 给定无穷数列 a n 若无穷数列 bn 满足 对任意 n N 都有 b n an 1 则称 b n 与 a n 接近 1 设 a n 是首项为 1 公比为 的等比数列 b n an 1 1 n N 判断数列 bn 是否与 an 接近 并说明理由 2 设数列 a n 的前四项为 a1 1 a 2 2 a 3 4 a4 8 b n 是一个与 a n 接近 的数列 记集合 M x x bi i 1 2 3 4 求 M 中元素的个数 m 3 已知 a n 是公差为 d 的等差数列 若存在数列 b n 满足 b n 与 a n 接近 且在 b2 b1 b 3 b2 b 201 b200 中至少有 100 个为正数 求 d 的取值范围 考点 8M 等差数列与等比数列的综合 菁优网版权所有 专题 34 方程思想 48 分析法 54 等差数列与等比数列 第 18 页 共 19 页 分析 1 运用等比数列的通项公式和新定义 接近 即可判断 2 由新定义可得 an 1 b n a n 1 求得 bi i 1 2 3 4 的范围 即可得到 所求个数 3 运用等差数列的通项公式可得 an 讨论公差 d 0 d 0 2 d 0 d 2 结合新定义 接近 推理和运算 即可得到所求 范围 解答 解 1 数列 b n 与 a n 接近 理由 a n 是首项为 1 公比为 的等比数列 可得 an b n an 1 1 1 则 b n an 1 1 1 n N 可得数列 b n 与 a n 接近 2 b n 是一个与 a n 接近的数列 可得 an 1 b n a n 1 数列 a n 的前四项为 a1 1 a 2 2 a 3 4 a 4 8 可得 b1 0 2 b 2 1 3 b 3 3 5 b 4 7 9 可能 b1 与 b2 相等 b 2 与 b3 相等 但 b1 与 b3 不相等 b 4 与 b3 不相等 集合 M x x bi i 1 2 3 4 M 中元素的个数 m 3 或 4 3 a n 是公差为 d 的等差数列 若存在数列 b n 满足 b n 与 a n 接近 可得 an a1 n 1 d 若 d 0 取 bn an 可得 bn 1 bn an 1 an d 0 则 b2 b1 b 3 b2 b 201 b200 中有 200 个正数 符合题意 若 d 0 取 bn a1 则 bn an a1 a1 1 n N 可得 bn 1 bn 0 则 b2 b1 b 3 b2 b 201 b200 中有 200 个正数 符合题意 第 19 页 共 19 页 若 2 d 0 可令 b2n 1 a2n 1 1 b 2n a2n 1 则 b2n b2n 1 a2n 1 a 2n 1 1 2 d 0 则 b2 b1 b 3 b2 b 201 b200 中恰有 100 个正数 符合题意 若 d 2 若存在数列 b n 满足 b n 与 a n 接近 即为 an 1 b n a n 1 a n 1 1 b n 1 a n 1 1 可得 bn 1 bn a n 1 1 a n 1 2 d 0 b2 b1 b 3 b2 b 201 b200 中无正数 不符合题意 综上可得 d 的范围是 2 点评 本题考查新定义 接近 的理解和运用 考查等差数列和等比数列的定 义和通项公式的运用 考查分类讨论思想方法 以及运算能力和推理能力 属 于难题