海洋声学基础讲义-吴立新

海洋声学基础水声学原理绪论各种能量形式中，声传播性能最好。在海水中，电磁波衰减极大，传播距离有限，无法满足海洋活动中的水下目标探测、通讯、导航等需要。声传播性能最好，水声声道可以传播上千公里，使其在人类海洋活动中广泛应用，随海洋需求增大，应用会更广。0-1节 水声学简史0 1490年，意大利达芬奇利用插入水中长管而听到航船声记载。1 1827年，瑞士物理学家D.colladon法国数学家c.starm于日内瓦湖测声速为1435米每秒。2 1840年焦耳发现磁致伸缩效应1880年居里发现压电效应3 1912年泰坦尼克号事件后，L.F.Richardson提出回声探测方案。4 第一次世界大战，郎之万等利用真空管放大，首次实现了回波探测，表示换能器和弱信号放大电子技术是水声学发展成为可能。（200米外装甲板，1500米远潜艇）5 第二次世界大战主被动声呐，水声制导鱼雷，音响水雷，扫描声呐等出现，对目标强度、辐射噪声级、混响级有初步认识。（二战中被击沉潜艇，60%靠的是声呐设备）6 二、三十年代午后效应，强迫人们对声音在海洋中的传播规律进行了大量研究，并建立起相关理论。对海中声传播机理的认识是二次大战间取得的最大成就。7 二战后随着信息科学发展，声呐设备向低频、大功率、大基阵及综合信号处理方向发展，同时逐步形成了声在海洋中传播规律研究的理论体系。8 1、1945年，Ewing发现声道现象，使远程传播成为可能，建立了一些介质影响声传播的介质模型。2、1946年，Bergman提出声场求解的射线理论。3、1948年，Perkeris应用简正波理论解声波导传播问题。4、50-60年代，完善了上述模型（利用计算技术）。5、1966年，Tolstor和Clay提出声场计算中在确定性背景结构中应计入随机海洋介质的必要性。 0-2 节 水声学的研究对象及任务1、 水声学：它是声学的一个重要分支，它基于四十年代反潜战争的需要，在经典声学的基础上吸收雷达技术及其它科学成就而发展起来的综合性尖端科学技术。它包括水声物理和水声工程两方面内容。 声物理：是研究声波在水介质中辐射、传播和接收时的各种现象和规律。其任务是为水下探测技术服务的。 水声工程：根据已探知的现象和规律，运用无线电电子学、电声学、统计数学、计算数学、仪表技术、自动控制、信息论、海洋学及物理学其它分支的新成就，研制国防，航海，渔业，海洋开发等应用中的水声仪器设备，它包括水下声系统和水声技术两方面。a：水下声系统：实现电、力、声转换，换能器，基阵等材料、结构、辐射、接收特征等。b：水声技术：指水声信号处理、显示技术。2、 二者关系：水声物理是基础，提供依据；水声工程丰富了水声物理内容，促进其发展，二者相互促进，相辅相成，不可分开。3、 内容安排： 海水介质及边界声特性 声在海洋中的传播规律理论 典型水文条件下的声传播 水下目标的声反射、散射 海中混响 海洋噪声 声传播起伏0-3节 声呐方程一 声呐及其工作方式1、 主动声呐目标2、 被动声纳目标二 声呐参数1、 声源级：SL=10logII0|r=1其中I为发射换能器或发射阵声轴方向1米处声强，I0=0.67 10-22W/cm2（参考1微帕均方根声压） 指向性指数：DIr=10log10IDIND它表征在相同距离上，指向性发射器声轴上声级高出无指向性发射器声场声级的分贝值。 声源级与声功率：SL=10log10pa+170.77+DIr目前：DIr=1030dB pa几百几十千瓦 SL=210240dB2、 传播损失：表征声传播一定距离后强度的衰减变化。TL=10log10I1IrI1为离声源声中心1米处的声强；Ir为离声源r米处声强3、 目标强度：反映目标反射本领Ts=10log10IrIi|r=1Ir|r=1为在入射波反向离目标声中心1米处回波强度。 Ii为目标入射声波的强度。4、 海洋环境噪声级：度量环境噪声强弱的量NL=10log10INI0 IN为测量带宽内或1Hz频带内噪声强度 I0为参考声强5、 等效平面波混响级：（主动声纳）若强度为I平面波入射到接收阵，其输出与阵对准目标时混响输出相等，则混响级为： RL=IRI0 其中IR为平面波声强；I0为参考声强。6、 接收指向性指数： DI=10log10(无指向性水听器产生的噪声功率)指向性水听器产生的噪声功率 DI=10lgRNRD=10lg44b,d7、 阵增益： AG=10lg(S/N)阵(S/N)阵元分子为阵输出信噪比，分母为单阵元输出信噪比，当噪声源各项同性时，由DI描述8、 检测阈： DI=10lg刚好完成某职能时信号功率水听器输出端上的噪声功率检测阈小，设备处理能力强，性能好。四、声呐方程：1、主动声呐方程：基本考虑： 信号级-背景干扰级=检测阈主动声纳方程：（收发合置） 噪声干扰为主： SL-2TL+TS-NL-DI=DT 混响干扰为主： SL-2TL+TS-kL=DT2、 被动声呐方程： SL-TL-NL-DI=DT3、 组合声呐参数： 名称 表达式 物理意义 回声信号级 SL-2TL+TS 加到主动声纳接收器（阵）上回声信号级噪声掩蔽级 NL-DI+DT 在噪声干扰中声呐正常工作最低信号级混响掩蔽级 RL+DT 在混响中声呐正常工作最低信号级回声余量 SL-2TL+TS-(NL-DI+DT) 主动声呐回声级超过噪声掩蔽级数量优质因数 SL-(NL-DI+DT) 主动声呐允许最大单程损失 主动声呐（TS=0时）允许最大双程损失品质因数 SL-(NL-DI) 接收端声源级与噪声级之差4、 声呐方程应用及限制应用： 对已有正在设计中，研制声呐设备进行性能预报。 用于声呐设计例如：DI频率高好 TL频率低好 主动声呐背景干扰确定：如右图：对噪声级I： RrRr时声呐由于混响而不能正常工作。对噪声级II： RrRn 则声呐受噪声级控制。第一章 海洋的声学特性1-1 海水中的声速： c=(p)s=1Ks为海水密度，Ks=1(p)s绝热压缩系数。由于海中的温度、盐度、静压力随时间地点而异，因为，Ks为温度盐度静压力的函数，故声速与介质特性关系为： 声速 增大 温度 增大 不变 Ks减小增大 盐度 增大 增大 Ks减小增大 压力 增大 不变 Ks减小实验表时，c在14201520米/秒内变化经验公式：威尔逊：c=1449.22+CT+Cs+CSTP乌德公式：c=1450+4.21T-0.037T2+1.14S-35+0.175pp单位为大气压 1atm=1.013105帕（一） 海洋中声速的垂直分层性质和声速梯度影响声速的三要素：T，S和d都接近水平分层变化，故 cx,y,z=c(z)则声速梯度为： gc=dcdz 而c=c(T,S,p) 所以 gc=aTgT+asgs+apgp其中gT=dTdz gs=dsdz gp=dpdz若c由乌德公式给出，则：aT=cT=4.21-0.0074T (m/s)/as=cs=1.14 (m/s)/ap=cp=0.175 (m/s)/atmT增加1，c增加约4m/s。S增加1，c增加约1.14m/s。P增加1atm，c增加约0.175m/s。（二） 海洋中声速的基本结构1、 典型深海声速剖面：三层结构： 表面混合层（高温，搅拌） 深海等温层 过渡跃变层2、 常见海洋声速分布：浅海秋冬季 混合等温层浅海夏季高纬度秋冬季深海3、 声速分布分类： 深海声道的声速分布 表面声道声速分布 反声道声速分布 浅海常见的声速分布1-2 海水中的声吸收一、 传播衰减扩展损失：由于声波波阵面在传播过程中不断扩展而引起的声衰减，亦称几何衰减。吸收损失：由于介质热传导、沾滞及驰豫过程引起的声强衰减。散射衰减损失：由介质中泥沙、气泡、生物悬浮粒子及介质不均匀性和介面不均匀引起散射损失。（一） 扩散损失 TL=n10lgr (dB) n=0: 平面波 n=1: 柱面波：全反射海底海面波导中声传播 n=3/2: 计海底吸收的浅海声传播。（修正柱面波） n=2: 球面波传播 n=3: 声波通过浅海负跃变层后声传播损失 n=4: 计海面反射干涉效应在费郎和费区内的声传播（二） 吸收系数当平面波传播dx后由吸收引起的声强降低为dI dI=-2Idx 则 Ix=I0e-2x I0为起始声强。 =12xln(I0I(x)=1xln(p0p(x) ln(p0p(x)为无量纲量称为夸培。 单位为夸培/米若取10为底形式：Ix=I010-x/10 则， =10xlgI0Ix=20xlg(p0p(x) lgI0Ix单位为贝尔， 10lgI0Ix单位称分贝dB=20xlgp0px=20xlgelnp0px=20lge =8.68 考虑吸收后的传播衰减为：TL=n10lgr+r二、 纯水与海水的超吸收（略）1-3 海底海底粗糙度有很宽的谱，约从几厘米到几十公里或几百公里。由散射理论可导出瑞利参数p=2kcos0 0为入射角 为均方根位移p1时，粗糙度小，为相干镜反射p1时，粗糙度大，为漫散射一、 海底沉积层（一） 密度 =n+(1-n)s n为孔隙度：指沉积物体积中含水分体积的百分数。 为孔隙水密度：一般与海底水密度相等1.024g/cm3 s为无机物固体密度（二） 声速压缩波声速： c2=E+43G切变波速度： cs2=GE为沉积层弹性模量G为沉积层刚性模量（三） 衰减损失 =Kfm K为常数，f为频率（KHz），m为指数二、 海底反射损失海底反射损失：BTL=10lgIrIi=20lgV由声学基础可知：V=mcosi-n2-sin2imcosi+n2-sin2i若以掠角表示则为：V=msin-n2-cos2msin+n2-cos2 m=21 n=c1c21、 几种特殊情况 垂直入射：=90时 Vn=m-nm+n 若mn （2c21c1） Vn1 全反射且相移 =0 mn Vn-1 全反射且相移 =180 掠入射：=0 Vg=-n2-1n2-1=-1 即任何m，n都且有相移 =180全反射 临界角由cos0=n定义的角度0称为临界角（n1时有）此时V0=1 表无相移全反射 全透射角由msinI=n2-cos2I 定义角为全透射角。则cosI=(m2-n2m2-1)12此时 VI=0全入射角存在条件 mn1 或 mn1）当由0-90时，V由Vg=-1 到 Vn=m-nm+nnm时，r由1到m-nm+n， =180当nm时，由0到I到90，则 V由1到0到m-nm+n 相移在=I由180到0。 3、 高声速海底（n1）垂直入射时 Vn=m-nm+n nm时=180 掠入射时：=0 Vg=1 =180 临界角入射：0=cos-1n V=1 =0 对0时，V为实数nm时，在全透射角， V=0，则V由1减小到0，再减小到-Vn=-m-nm+n对0时，V是复数则 V=msin+jcos2-n2msin-jcos2-n2=a+bja-bj=a2-b2a2+b2+j2aba2+b2 V=1, V=Vej=ej tg=2aba2-b2=2ba1-ba2 令tg=ba 则有tg=2tg1-tg=tg2 即2=tg2=ba=cos2-n2msin 则， 掠入射时=180，而临界入射时=0。4、 海底损失的三参数模型实验表明：海底沉积层反射损失随掠角变化特征为： 在分界掠角* 当*时，反射损失较大 小掠角*范围内，反射损失与无明显关系由上三特征引入三参数模型： -lnV=Q 0*-lnV0=const *2三个参数： Q=-lnV=0 为-lnV斜率 *为分界掠角，即为全内反射角 -lnV01-4 海面一、 波浪的基本特征：（一） 重力表面波 c2=ghtanh(kh)（二） 表面张力波 c2=gk+Tfk Tf为表面张力 二、 波浪的统计特性（一） 概率密度 p=(2)-12exp-22（二） 海浪谱P-M谱 S=ag25exp-04 a=8.110-3 =0.74 0=g19.5 19.5为海面19.5米处风速，m/s。1-5 海洋内部的不均匀性一、 湍流与微结构湍流形成T，S的细微结构，从而引起声场的细微结构。跃变层中湍流与内波不稳定性有关。二、 内波内波引起等温线随海洋的变化，从而对声传播信号起伏带来影响（低频、远距离更明显）。三、 海流与锋区海流边缘形成锋区，造成T，S水平变化，声穿过时将引起强烈起伏。四、 中尺度涡旋五、 深水散射层（DSL）第二章 海洋中的声传播理论一、 声波在海洋中的传播是一个非常复杂的问题，原因： 1、 引起衰减和折射的海水物理化学性质2、 不平整表面产生的复杂反射、散射3、 自然噪声和混响背景的存在及引起声场变化的海洋易变性以上因素引起声传播过程中的延迟、失真、损耗和起伏等变化，形成水声物理的基本研究课题。二、 海洋中声传播的理论方法1、 简正波理论：用常规方法寻求波动方程和一组定解条件的线性级数解，即用简正波的特征函数来描述声场。每个特征函数都是方程的解，所有简正波的线性迭加构成了一般解，但须满足边条件和初条件。优点：此方法精确、细致描述声场，尤其是可解决射线声学不适用的声影区、会聚区、焦散区声场。缺点：求解困难，最简单条件下，求解过程也十分繁杂。物理图像不直观。为简化求解而简化模型，造成理论与实际不符而精度较差。适用：低频、远场、浅海2、 射线理论（几何声学）：射线声学完全抛开声传播过程中的波动性质，而将其理解为声波的能量沿一定路径通过一定形状几何面向外传播。优点：概念方法直观，计算简便，物理图像清晰缺点：在声影区、焦散区，介质在一个声波波长范围内变化较大区域不适用，存在局限性。适用：高频，近场，深海2-1 波动方程和定解条件一、 波动方程 dudt+1p=0 2-1 小振幅情况下，uu可忽略，则有： dudt=ut+uuut 2-2 则小振幅条件下运动方程为： ut+1p=0 2-3 由质量守恒定律得连续性方程为： t+u=0 2-4 声振动为等熵过程，其状态方程为： dP=c2d 2-5 c2=dPds=ps 2-6 或 pt=c2t 2-7 由2-3、2-4、2-7消去u后，得到： 2p-1c22pt2-1p=0 2-8 做变量代换，=p得 2-1c22t2+22-3242=0 2-9 对简谐波： 2t2=-2 则2-9式变为： 2+K2x,y,z=0 2-10 式中： K2x,y,z=k2+22-3242 2-11 若忽略海洋中密度的空间变化，则有： 为常数 Kx,y,z=k=w/c(x,y,c) 则波动方程变为： 2+k2x,y,z=0 2-12为常数，则p=也满足上述方程 2p+k2x,y,zp=0 2-13 当介质中存在外力作用时（如声源），则波动方程变为： ut+1p=F 2-14 F为作用于单位介质体元上的外力，经类似推导可得 2+K2x,y,z=F 2-15 当为常数时有： 2+k2x,y,z=F 或 2p+k2x,y,zp=F 2-16 非齐次亥姆霍茨方程3-15，3-16给出了物理量随时间随空间变化所满足的普遍规律，即范定方程。二、 定解条件（一） 边界条件（物理量在边界上满足的条件）1、 绝对软边界：边界上的压力等于零，若边界是z=0平面，则有px,y,0,t=0 2-17 若边界为z=(x,y,t)的自由表面（如不平整海面）则 px,y,t=0 2-18 此为第一类齐次边界条件 若已知界面上的压力满足一定分布ps,则边界条件应写为： px,y,t=ps 2-19 此为第一类非齐次边界条件。2、 绝对硬边界：边界上的质点法向速度为零，若边界为z=0平面，有 pzz=0=0 2-20 若边界为z=(x,y,t) （如不平整海面），则 nu=0其中n为边界法向单位矢量，n=nxi+nyj+k,质点速度矢量为u=uxi+uyj+uzk, 边界条件写为： nxux+nyuy+uz=0 2-21此为第二类齐次边界条件。若已知边界法向振速分布us，则边界条件为 nxux+nyuy+uz=us 2-22此为第二类非齐次边界条件。3、 混合边界压力和振速在界面上组合成线性关系的边界条件。 pn+p|s=f(s) 2-23 其中为常数，此为第三类边界条件。当fs=0时，为阻抗边界条件，也可写为： Z=-pun 2-244、 边界上或c的有限间断（连续边界条件）边界上或c有限间断时，边界上应满足压力连续和法向速度连续： p|s-0=p|s+0 (1pn)s-0=(1pn)s+0 2-25压力连续才不会出现质量、加速度趋向无穷的不合理现象，法向速度连续则不会出现使边界上介质“真空”或“聚积”情况。（二） 辐射条件（熄灭条件）1、 平面波：（推导略） x1ct=0 2-26 简谐波 t=j xjk=0 2-272、 柱面波 limrr(rjk)=0 2-283、 球面波 limr(rjk)=0 2-294、 熄灭条件 P|r=0（三） 奇性条件（声源条件）均匀发散球面波解为： p=Arej(wt-kr) 当r0时，p在声源处构成奇性条件 则波动方程应改为2p-1c22pt2=-4(r)Aejwt 2-30（四） 初始条件求稳态解时不考虑初始条件2-2 波动声学基础一、 分离变量法（硬底的浅海）（一） 简正波声速c=c0水深z=H，均匀层海面为自由平整界面，海底为刚性平整界面。则非齐次范定方程为： 1rrrpr+2pz2+k02p=-4A(r-r0) 2-31 将(r-r0)改为柱面波形式 r-r0=12r(r)(z-z0) 2-32 选A=1,则2-31式改写为： 2pr2+1rpr+2pz2+k02p=-2r(r)(z-z0) 2-33 分离变量，令pr,z=nRn(r)Zn(z)代入2-33式有 nZnd2Rndr2+1rdRndr+Rn(d2Zndz2+k02Zn)=-2r(r)(z-z0) 2-34 若Zn(z)满足： 1Znd2Zndz2+k02=n=常数 ，则有： k0=wc0 d2Zndz2+(w2c02-n2)Zn=0 2-35 Zn满足正交归一化条件 0HZn(z)Zm(z)dz=1 m=n0 mn 2-36 Zn解为： Znz=Ansinkznz+Bncoskznz 0zH 式中kzn2=(wc0)2-n2 An,Bn为待定常数。 代入边条件：Zn0=0和dZndzH=0 则得到 Bn=0 kzn=n-12H n=1,2,3 2-37 kzn,Zn分别为本征值与本征函数。 由上解得， Znz=Ansinkznz 0zH 将Znz代入2-36得 An=2H 于是 Znz=2Hsinkznz 2-38 由n2=w2c02-kzn2 可得， n=wc02-n-12H2 2-39 由上可以看出，n，kzn分别为波数wc0的水平分量和垂直分量。 将2-35代入2-34得Rn满足方程 d2Rndr2+RnrdRndr+nRn=-RrZnz(r)(z-z0) 其为零阶贝塞尔方程，其解为 Rnr=-jZnz0H02nr =-j2Hsinkznz0H02nr 2-40 其中H02=J0-jN0 J0,N0分别为贝塞尔函数和纽曼函数。 最终得解： pr,z=-jnZnzZ0zH02nr= -2Hjsinkznzsinkznz0H02nr 2-41 在远距离上，nr1时有 H02nr2nre-j(nr-4) 则声场解为： pr,z=-2Hjn2nrsinkznzsinkznz0e-j(nr-4) 2-42 n号简正波：pnr,z=-2Hj2nrsinknzsinknz0e-j(nr-4) 2-43（二） 截止频率由2-39可知 n=wc02-n-12H2若w给定，保证n为实数，n取最大N条件为： N=(Hwc0+12) 当nN, n为虚数，对远场无贡献。 声场在远场解为： pr,z,t=-2Hjn=1N2nrsinkznzsinkznz0e-j(nr-4) 2-44 最高阶简正波的传播频率为临界频率 wN=N-12c0H fN=(N-12)c02H 2-45 当wwN时，N阶以上简正波不存在。 当N=1时，得截止频率 w1=c02H f1=c04H 2-46 当ff1时，远场声场接近0。（三） 相速和群速相速是等相位面的传播速度。 cpn=wn=c01-wnw2 2-47 相速与频率有关，为频散波。 群速是波包（能量）的传播速度 cgn=dwdn 而cpn=wn cgn=cpn+ndcpndn dcpndn0 故 cgncpn cgn=dwdn=c01-wnw2 2-48 则 cgncpn=c02 2-49 （四） 传播损失 pr,z=-jn=1N2nrZnz0Znze-j(nr-4) r1 2-50若设单位距离处声压振幅为1，则有传播损失为 TL=-10lgn=1N2nrZnz0Znze-jnr2 2-51 上式展开得： TL=-10lgn=1N2nrZn2z0Zn2z-10lgnmN4nmZnz0ZnzZmz0Zmze-j(n-m)r 2-52 第一项与简正波间相关无关，单调下降 第二项与简正波间相关有关，为起伏干涉项 若忽略交叉项有： TL=-10lgn=1N4H22nrsin2k2nz0sin2k2nz 2-53 设sin2k2nz0和sin2k2nz随机取01值 近似用sin2xdx12，则有 TL=-10lg2H2rn=1N1n 2-54 若N较大，有N=(Hwc0+12)Hwc0 (2-39)式近似为 nwc01-nN2 令 nN=x 将2-54 式改为积分，即 n=1N1n=c0wn=1N11-nN2=c0w01Ndx1-x2 令x=sin ， 上式变为： n=1N1n=c0Nw02d=H2 最后代入 2-54得： TL=-10lgHr=10lgr+10lgH 2-55 对深度平均后得2-55，更一般可表示为 TL=10lgr+10lgH2c 其中c为临界掠射角。 绝对硬海底 c=2 当c时衰减 c越小，TL越大。二、 格林函数法分离变量法仅在几种坐标系中有效，边界形式复杂时可由格林函数法求解波动方程： 2-1c22t2=-4 2-56考虑简谐波则2-56化为 2+k2=-4 k=wc 2-57格林函数G(r1,r0)表示处于r0的一个点源在一定边界条件和初始条件下所产生的场，因此它满足： 2G+k2G=-4(r-r0) 2-58由G乘式2-57减去乘2-58得 G2-2G=-4G+4(r-r0) 2-59 将上式对包含r0体积积分，并利用函数性质得： G2-2GdV=-4Gr,r0rdV+4r0 2-60 由奥-高定理有： G2-2GdV=SGn-Gnds 式中s是体积V的界面，n为界面外法向微商。 代入2-60式后解出r0并利用格林函数的对称性可得： r0r rr r=G(r,r)rdr+14S(Gn-Gn)ds 2-61 当V内无源时，第一项体积积分为零。 若无边界时，则第二项面积积分为零。 格林函数解析解难于获得（简单几何边界如球面可得），在三维空间情形可证明格林函数可为下形式： Gr,r=expjkr-rr-r=ejkRk代入2-61得： r=14SejkRkrn-(r)n(ejkRk)ds+rejkRkdr 2-62若V内无源得： r=14SejkRkrn-(r)n(ejkRk)ds 2-63当及其微窗在包围V的界面上值已知时，求声场。2-63式即为亥姆霍兹积分公式。2-3 射线声学基础 基本思想：声波的能量沿着一定的路径通过一定形状的几何面向外传播。只要按一定规定确定射线空间走向及其截面变化，便可完全确定声传播规律。（一） 射线声学基本方程：对沿任意方向传播的平面波 =Aej(wt-kr) 2-64 波矢量k为波传播方向 k=kxi+kyj+kzk空间位置矢量 r=xi+yj+zk矢量k以其方向余弦来表示 kxk=cos kyk=cos kzk=cos 2-65若考虑下列波动方程： 2p-1c22pt2=0 该方程解有如下形式解： px,y,z,t=A(x,y,z)ejwt-k(x,y,z)1(x,y,z) =A(x,y,z)ejwt-k0(x,y,z) 2-66A为声压振幅 k为波数 k=wc=wc0c0c=k0n(x,y,z)c0为参考点声速，n为折射率，k0为相位值。x,y,z=n(x,y,z)1(x,y,z)量纲为长度，称为程函。将形式解代入2-66方程得： 2AA-wc02+wc2-jwc02AA+2=0 2-67其实、虚部分别为零得： 2AA-k02+k2=0 2-68 2AA+2=0 2-69当2AAk2时，2-68式化为： 2=c0c2=n2(x,y,z) 2-702-70和2-69分别为程函方程和强度方程。（二） 程函方程1、 程函方程的其他形式由矢量分析有，等位相而(x,y,z)在任意方向l的变化率为： d(x,y,z)dl=l0 2-71 l0为l的单位矢量。设声线方向为s，此即面的法线方向。则单位矢量s0=kk就是的方向。 d(x,y,z)ds= 2-72 =s0=(cosi+cosj+cosk) 2-73将程函方程2=n2 ，或 =n 代入得xi+yj+zk=n(cosi+cosj+cosk) 2-74即 x=ncosy=ncosz=ncos 2-75由2-70程函方程还可得： n=2=x2+y2+z2 2-76代入2-75得声线方向余弦： cos=xx2+y2+z2cos=yx2+y2+z2cos=zx2+y2+z2 2-772-77式可确定声线走向。声线的方向余弦为： cos=dxds cos=dyds cos=dzds 2-78 将2-75式对s求导得关于x方程 ddsx=x(xxs+yys+zzs) =x(ncos2+ncos2+ncos2) 2-79=nx对y，z类似推导后得： dds(ncos)=nxdds(ncos)=nydds(ncos)=nz 2-80其矢量形式为： dds()=n 2-812-75,2-77,2-80或2-81为程函方程2-70的其他形式。2、 应用举例（1） 声速c为常数： c=常数 n=c0c=1由2-80可得： cos=cos0 cos=cos0 cos=cos0 0，0，0为声线起始出射方向角 程函方程表明声线为直线。（2） 声速c只与坐标z有关考虑声线位于XOZ平面内，c=c2, n=n2 由2-80可得： ddsc0ccos=0 2-82 ddsc0ccos=-c0c2dcdz由2-82第一式可得： cosc(2)=常数当起始值c=c0, =0 时有 cosc(2)=cos0c0 2-83此即菲涅尔定律（折射定律），它是射线声学的基本定律。由2-82或左端可得 ddsncos=-nsindds+cos2dndz由2-82式左端可得： -c0c2dcdz=-ncdcdz=dndz dds=-sinndndz=sincdcdz 2-84(a) dcdz0 21 声线弯向上 dcdz0，则dds0 21 声线s向上弯曲(b) dcdz0 21 声线弯向下 dcdz0，则dds0 21 声线s向下弯曲 声线总是弯向声速小的方向。（3） 求解x,y,z显式设可表示成1x和2z的线性迭加 x,z=1x+2z 由2-75 式可得 1xx=n(z)cos 2-85 2zz=n(z)cos 由2-85 式第一式有： 1xx=nzcos=c0ccosSnell定律c0cos0c0=cos0 1x=cos0x+c1 由2-85 式第二式有： 2zz=nzcos=n(z)sinSnell定律n2-cos20 2z=0zn2-cos20dz+c2 则得程函：