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概率与数理统计释疑解难十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中,事件A发生的概率为p。现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为;而事件A至多发生一次的概率为。2、 三个箱子,第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为 。解:用代表“取第i只箱子”,=1,2,3,用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式由贝叶斯公式3、 设三次独立试验中,事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27,则事件A在一次试验中出现的概率为 。解:设事件A在一次试验中出现的概率为,则有,从而解得4、已知随机事件A的概率,随机事件B的概率及条件概率,则和事件的概率= 。5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 。用A代表事件“甲命中目标”,B代表事件“乙命中目标”,则代表事件“目标被命中”,且所求概率为6、 设随机事件A,B及其和事件的概率分别是0.4,0.3和0.6。若表示B的对立事件,那么积事件的概率 。,因为,故7、 已知,则事件A、B、C全不发生的概概率为 。由,得,所求事件概率为8、 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为 。用代表事件“第i次抽次品”,i=1,2。则所求概率为9、已知A、B两个事件满足条件,且,则 。由得10、设工厂A和工厂B的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是 。用A和B分别代表产品是工厂A和工厂B生产的,C代表产品是次品,则所求概率为11、在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于”的概率为 。用X和Y分别表示随机抽取的两个数,则,.X,Y取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形W,其面积为1,事件“”对应图中阴影部分A,A的面积为 12、 随机地向半圆(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 。半圆也即样本空间W的面积为,所求事件对图中阴影部分即区域A的面积为,故得所求事件概率为 13、 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程有实根的概率是 。14、已知连续随机变量X的概率密度函数为,则X的数学期望为 ;X的方差为 。将改写为 可见X服从正态分布,所以,.15、设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布。已知,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为 。16、已知随要变量X的概率密度函数,则X的概率分布函数。17、 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松 (Poisson)分布,即,1,2,则随机变量的数学期望 。18、设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望= 。19、设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量在(0,4)内概率分布密度= 。,的反函数,.,即,.20、 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则的数学期望= 。, 21、 设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为:则随机变量的分布律为: 。, 22、设X和Y为两个随机变量,且 ,则= 。记,.则,从而 23、设,是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望 。记。则ZN(0,1)。从而24、 若随机变量X服从均值为2,方差为的正态分布,且,则= 。由于X的密度函数关于X=2为轴对称。 故, 从而.25、袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 。令B=第一人取得黄球,则=第一人取得白球;A=第二人取得黄球. 据全概率公式26、 设平面区域D由曲线及直线,所围成,二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则关于X的边缘概率密度在x=2处的值为 。区域D的的面积为,故(X, Y)的联合概率密度为(X,Y)关于X的边缘概率密度为故27、 假设,那么 (1) 若A与B互不相容,则 ;(2) 若A与B相互独立,则 。(1) (2) 由得28、 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命中率为 。设命中率为,则至少命中一次概率为,由,解得。29、 设A,B为随机事件,则 。由,得,故30、 将C,C,E,E,I,N,S第七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 。31、设对于事件A,B,C有,则A,B,C三个事件至少出现一个的概率为 。32、 假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随意取出一件,结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为 。记事件“取出的产品为第i等品”,i=1,2,3。则A1,A2,A3互不相容,所求概率为33、 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件,第i个零件是不合格品的概率,以X表示3个零件中合格品的个数,则= 。用表示事件“第i个零件是合格品”,则,所求概率34、 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知两件中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为 。用A,B分别代表取出的第1和第2件为正品,则所求概率为35、 设随机变量的分布函数为则A= , 。右连续,由得出36、 设随机变量,相互独立,其中在0,6上服从均匀分布,服从正态分布,服从参数为的泊松分布。记,则DY= 。37、设随机变量X的数学期望,方差,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有。38、 已知随机变量(3,1),YN (2,1),且X,Y相互独立,设随机变量,则Z。Z为正态随机变量的线性组合,仍然服从正态分布,且,故ZN(0,5)。39、设随机变量X的分布函数为则X的概率分布为由公式算出,。 40、设随要变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数,则 。YB(3,p),其中,故。41、设X是一个随机变量,其概率密度为则方差 。42、设总体X的的方差为1,根据来自X的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。 43、设,是来自正态总体的简单随机样本,其中参数和未知,记,则假设的t检验使用统计量 。44、设由来自正态总体容量为9的简单随机样本得样本均值,则未知参数的置信度为 0.95的置信区间是 。45、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布,而和,分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量服从 分布,参数为 。由于,故。再,据t分布的定义,有46、 设A,B是任意两个随机事件,则P=0。47、 设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布。若,则= 。由于,故由,得。从而48、 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N (0,22)的简单样本,则当 ,= 时,统计量X服从分布,其自由度为 。服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布,因为,故。同理,。因为49、设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p= 时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为 。二项分布的标准差为,已知,又,其中等号当且仅当时成立,故当时试验成功次数的标准差最大,其最大值为5。50、从1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从中任取一个数,记为Y,则 二、选择题 1、 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X2Y的方差是(A) 8. (B) 16. (C) 28. (D) 44. 2、 设A、B是两个随机事件,且,则必有 (A) (B) (C) (D) 由题设知,故不能判与之间的关系,因此不选(A)或(B)。 由,及知,故,即应选(C)。 3、 若二事件A和B同时出现的概率 ,则 (C) (A) A 和B不相容 (相斥). (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A)=0或P(B)=0. 4、 对于任意二事件A和B,有P(AB)= (C) (A). (B). (C) (D). 5、以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对应事件为 (D) (A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销”. (B) “甲、乙两种产品均畅销”.(C) “甲种产品滞销”. (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”用表示甲产品畅销,表示乙产品畅销,则,从而。 6、 设A,B为两随机事件,且,则不列式子正确的是 (A) . (B).(C) (D).若,则,。 7、 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为 则下列式子正确的是(A) X=Y. (B). (C) . (D). 8、 已知随机变量X服从二项分布,且,则二项分布的参数n,p的值为(A) n=4,p=0.6. (B) n=6,p=0.4. (C) n=8,p=0.3. (D) n=24,p=0.1由,得方程组,。解方程组即得n=6,p=0.4。 9、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 (A) 与不相容. (B) 与相容.(C) (D) 因为A与B不相容(即),所以 10、 对于任意两个随机变量X和Y,若,则 (A) (B) (C) X和Y独立 (D) X和Y不独立.X与Y独立可推出X与Y互不相关;X与Y互不相关 11、设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则 (A) . (B) (C) (D) 12、 假设事件A和B满足则(A) A是必然事件. (B) . (C) . (D) 此题中4个答案均不对,现举例说明如下:设随机变量服从上的均匀分布,记,易计算.显然答案(A),(C),(D)都不成立。下面再说明(B)也不成立,事实上由,易计算。故(B)也不成立。 13、设随机变量X的密度函数为,且,是X的分布函数,则对任意实数a,有 (A) . (B) (C) . (D) .由。有和所以。 14、设随机变量X与Y均服从正态分布,XN,YN (),记,则 (A) 对任何实数,都有. (B) 对任何实数,都有.(C) 只对的个别值,才是. (D) 对任何实数,都有用代表标准正态分布N(0,1)的分布函数,有,由于,所以。 15、设0P(A)1,0P(B)0时,所以Z=X+2Y的分布函数为6、 设随机变量X与Y独立,X服从正态分布,Y服从上均匀分布,求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中)。解 X和Y的概率密度分别为,; 由于X与Y独立,可用卷积公式求Z=X+Y的概率密度,注意到仅在上才取非零值,所以Z的概率密度函数为令,则有 7、 设随机变量x的概率分布密度为,。 (1) 求X的数学期望EX和方差DX; (2) 求X与的协方差,并问与是否不相关?(3) 问X与是否相互独立?为什么?解 (1) , (2) ,所以X与互不相关。 (3) 对于任意给定的,事件包含在事件内,故有,从而。因此,X与不独立。 8、 已知随机变量服从二维正态分布,并且X和Y分别服从正态分布和,X与Y的相关系数,设 (1) 求Z的数学期望EZ和方差; (2) 求X与Z的相关系数;(3) 问X与Z是否相互独立?为什么?解 (1) 。注意 ,有 (2) 注意 ,有,所以 (3) 因为Z是正态随机变量X与Y的线性组合,故Z也是正态随机变量,又因为,所以X与Z相互独立。 9、 设随机变量X的概率密度为求随机变量的概率密度。解 . 当y1时,当时,.因此Y的概率密度为 注 分布函数也可定义为 10、 设,是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布律为,又设,。 (1) 写出二维随机变量(X,Y)的分布律:XY123123(2) 求随机变量X的数学期望:解(1) XY12311/92/93/9201/92/93001/9注 由于总有YX,故 ,当时。 X123Pi1/93/95/9 (2) X的布律为.11、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是。设为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。解 显然X服从二项分布,X的可能取值为0,1,2,3;其概率分别为,.即X的分布律为据上,可得X的分布函数为X的数学期望为.(或:)。12、 设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量的方差。解 令。由于,且X和Y相互独立,故。 因为 ,而,所以 。 13、 设总体X的概率密度为其中是未知参数,是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。解 的矩估计量。 由于总体X的数学期望为,令其等于样本均值,即,解得未知参数的矩估计量为 的极大似然估计量。 设(,)是来自样本的一个观测值,则参数的似然函数为。因此,似然方程为。解之,得的极大似然估计值为,从而得的极大似然估计量为。当(1=1,2,n)时,恒有,故。因此,似然方程为。解之,得的极大似然估计值为,从而得的极大似然估计量为。 14、从正态总体中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附表:标准正态分布表z1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990解 以表示样本均值,则,从而有故,由此得,即,所以n至少应取35。 15、 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分。问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。 附表:t分布表p n0.950.975351.68962.0301361.68832.0281解 设该次考试的考生成绩为X,则。把从X中抽取的容量为n的样本均值记为,样本标准差记为S,本题是在显著性水平a=0.05下检验假设;,拒绝域为。由,=66.5,s=15,算得,所以接受假设,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。16、设某设备的寿命T(单位:千时)服从三段模型(1) 在(0,6)上服从解的指数分布,有(2) 在(6,60)服从(0,360)上的均匀分布(3) 在服从(A)求的概率,(B)求寿命超过50(千时)的概率 (1) (2) 17、设分子的速度总体服从马克斯威尔分布 为简单样本(1) 求出的矩估计量和极大似然估计量(2) 指出无偏估计量(说明理由)解 (1) 求矩估计量: , 为矩估计量 求极大似然估计量 所以为极大似然估计量 (2) 矩估计量为无偏估计量,因为18、设总体X服从瑞利分布为参数为简单随机样本,求(1) 求的极大似然估计量(2) 该估计量是否为无偏估计量?说明理由。解(1) 解方程 求出 所以为极大似然估计量为 (2) 为的无偏估计量.19、某工厂生产的螺钉长度,现从一批螺钉中随机地抽取6件,测得长度的平均值标准差,问是否可以认为该批螺钉的平均长度为方差小于解 (1) , 未知,选统计量 的拒绝城为 即,不在拒绝城内,所以接受,可以认为这批螺钉的平均长度为5.50. (2) , 未知,选统计量,的拒绝城为 即,不在拒绝城内。接受,这批螺钉长度的方差不小于。19、对某圆柱的直径进行次独立测量,测得的数据为:设(),欲使P()不小于0.95,问至少需要进行多少次测量?若进行100次测量,上述概率可达多少?解 , 欲使,只要,取,至少要进行62次独立测量。若进行100次测量,20、设X,相互独立(1) 写出(X+Y),X-Y)的分布;(2) 求出(X-Y),(X+Y)的相关系数(3) 讨论(X-Y),(X+Y)的相关性,独立性;(4) 写出(X-Y),(X+Y)的联合密度函数。解(1) 设, (2) (3) ,U,V不相关,因为U,V都服从正态分布,不相关与独立是等价的,所以U,V相互独立。 (4) 21、已知离散型随机变量X的概率分布为:,(1) 写出X的分布函数. (2) 求X的数学期望和方差.解:(1) 或 (2) , 。 22、已知随机变量Y的概率密度为求随机变量的数学期望EZ解: 23、假设有两箱同种零件:第一箱内装50件,其中10件一等品;第二箱内装30件,其中18件一等品,现众两箱中随意挑出一箱,然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回).试求: (1) 先取出的零件是一等品的概率p;(2) 在先取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。引进下列事件: 解: =被挑出的是第i箱,i=1,2;=第j次取出的零件是一等品,j=1,2,那么,由题设知;,。 (1) 由全概率公式。 (2) 由条件概率的定义和全概率公式 24、玻璃杯成箱出售,每箱20只。假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机地察看4只:若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求:(1) 顾客买下该箱的概率;(2) 在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率。解:引进下列事件:A=顾客买下所察看的一箱,=箱中恰好有i件残次品(i=0,1,2)。由题设知,;=1,。 (1) 由全概率公式。 (2) 由贝叶斯公式。25、假设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量的概率密度解:的密度函数为记为Y的分布函数,则有因此(补充规定,),得26、假设有十只同种电器元件,其中有两只废品。装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是废品,则仍掉重新任取一只;如仍是废品,则扔掉再取一只。试求在取到正品之前,已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。解:用X代表在取到正品之前已取出的废品数,X只可能取三个值:0,1,2: 1) 分布,。 2) 数学期望。 3) 方差,。 27、已知随机变量X和Y的联合密度为试求:(1) ;(2) (1) (2) 28、 设随机变量X在2,5上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率。X的密度的函数为记 ,则。 用表示三次独立观测中观测值大于3的次数,则服从参数为,的二项分布,故所求概率为 29、 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一指数分布,分布密度为试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率。解:表示第i只元件寿命,以表示事件“在仪器使用最初200小时内,第i只元件损坏”,则。所求概率为 30、已知随机变量X和Y的联合概率分布为;(x, y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.100.150.250.200.150.15试求:(1) X的概率分布;(2) X+Y的概率分布;(3) 的数学期望。解:(1) X的概率分布为 (2) X+Y的概率分布为 (3) 31、 从0,1,2,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: ;。解: , 或32、 一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:知小时),已知X和Y的联合分布函数为: (1) 问X和Y是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。解法一:(1) X和Y的分布函数分别为: 由于,知X和Y独立。 (2) .解法二: (1) 以,和分别代表(X,Y),X和Y的概率密度,有 由于知X和Y独立。 (2) 33、 甲、乙两人独立地各进行两次射击,假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数。试求X和Y的联合概率分布。解 X服从参数为n=2,p=0.2的二项分布,Y服从参数为n=2,p=0.5的二项分布,它们的概率分布分别为: 由X和Y的独立性知X和Y的联合概率分布为: XY01200.160.080.0110.320.160.0220.60.080.01 34、某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 附表有中是标准正态分布函数。解 设X为考生的外语成绩,由题设,其中。现在求,由条件知,从而。由的数值表,可见,因此,这样。故所求概率为: 35、一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。(1) 求X的概率分布;(2) 。解(1) 的可能值为0,1,2,3。以表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,则,i=1,2,3,且,相互独立。,。 (2) 36、在电源电压不超过200伏,在200240伏和超过240伏三种情况下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2。假设电源电压X服从正态分布N(220,252)。试求: (1) 该电子元件损坏的概率; (2) 该电子元件损坏时,电源电压在200240伏的概率。附表:表中是标准正态分布函数解 引进下列事件:=电压不超过200伏,=电压在200-240伏,=电压超过240伏,B=电子元件损坏。由于,因此,。由题设知,。 (1) 由全概率公式。(2) 由贝叶斯公式。37、 假设随机变量X和Y在圆域上服从联合均匀分布(1) 求X和Y的相关系数;(2) 问X和Y是否独立?解 (1) X和Y的联合密度为X的密度为 Y的密度为 ,于是,X和Y的相关系数。 38、假设测量的随机误差(0,102),试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出近似值。(要求小数点后了两位有效数字)。附表 解 每次测量误差的绝对值大于19.6的概率. 设m为100次独立重复试验中事件出现的次数,m服从参数为n=100,p=0.05的二项分布,所求概率由泊松定理,m近似服从参数为的泊松分布,从而39、一台设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的概率分布。数学期望EX和方差DX。解 设=部件i需要调整 (i=1,2,3),。X可能取值0,1,2,3。由于,相互独立,。于是注 如果只要求和,这时也可用如下解法:考察随机变量易见,。由于,相互独立,从而,40、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(1) 求X的密度;(2) 求概率。解 (1) (2) 41、 设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为 (1) 已知事件和独立,且,求常数a;(2) 求的数学期望。解 (1) 由条件知,。由此得,并且知。由于。从而有,于是得。 (2) 42、 设随机变量X和Y独立,都在区间1,3上服从均匀分布;引进事件,(1) 已知,求常数;(2) 求的数学期望。解 (1) 设.由与同分布,知,。由得,。于是a有两个值:由得;由得。 (2) 43、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。 (1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;(2) 求在设备已无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q。解 (1) 解t0时,由于T是非负随机变量. 当时,由于事件与等价,。于是,T服从参数为的指数分布 (2) 。44、 假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且同分布,(i=1,2,3,4),求行列式的概率分布。解: ,则,且和独立同分布: 。随机变量有三个可能值:1,0,1。,。于是行列式X的概率分布为 45、假设随机变量X的概率密度为现在对X进行n次独立重复观测,以表示观测值不大于0.1的次数。试求随机变量的概率分布。解 事件“观测值不大于0.1”的概率为。服从参数为的二项分布:,m=0,1,2,n。 46、假设自由动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品。销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损,已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?解 平均利润(其中和分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数)令上式为0得,即。解此方程得 。由此知当毫米时,平均利润最大。 47、假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂;以概率0.20定为不合格品不能出厂,现该厂生产了n()台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)。求 (1) 全部能出厂的概率; (2) 其中恰发有两件不能出厂的概率;(3) 其中至少有两件不能出厂的概率。解 引入事件A=仪器需进一步调试,B=仪器可以出厂,则任一仪器可出厂概率为 用X代表所生产的n台仪器中能出厂的台数,则X为n次独立试验(仪器出厂)的次数,服从参数为(n,0.94)的二项分布,因此, 48、已知随机变量X和Y的联合概率密度为求和Y的联合分布函数。解 1) 当或时,有2) 当且时,有 3) 当且时,有 4) 当,且时,有 5) 当且时,有故X和Y的联合分布函数为49、 假设随机变量X服从参数为2的指数分布,证明:在区间(0,1)上服从均匀分布。证明:X的分布函数设为Y的分布函数,由于有,易得1)当时,2)当时,3)当时,总之有 所以Y在区间(0,1)上服从均匀分布50、 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少?解 :以X表示一周5天内机器发生故障天数,则服从参数为(5,0.2)的二项分布:,k=0,1,2,3,4,5.,。以Y表示所获利润,则51、 考虑一元二次方程,其中B,C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数,求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。解 一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36。方程组有实根的充分必要条件是即;方程组有重根的充分必要条件是即。易见B123456使CB2/4的基本事件个数012466使C=B2/4的基本事件个数010100由此可见,使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19.使方程有重根的基本事件个数为2。因此,52、 假设一电路装有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。解 :以(i=1,2,3)表示第i个元件无故障的时间,则,相互独立同分布,其分布函数为 设和T的分布函数,当时,当时,所以T服从参数为的指数分布。 53、某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1) 写出X的概率分布: (2) 利用棣莫佛一拉普接斯定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 附表设是标准正态分布函数解(1) X服从二项分布,参数n=100,p=0.2,k=0,1,100 (2) ,根据棣莫佛-拉普拉斯定理54、假设X1,X2,Xn是来自总体X的简单随机样本;已知(k=1,2,3,4)。证明当充分大时,随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。证:依题意,独立同分布,可知,也独立同分布且有由中心极限定理的极限分布是标准正态分布,所以当n充分大时近似服从标准正态分布,从而近似服从参数为,的正态分布。55、 设总体X的概率密度为其中是未知参数,是已知常数,试根据来自总体X的简单随机样本X1,X2,Xn,求的最大似然估计量。解 似然函数对数似然函数,由解得的最大似然估计量 56、 假设随机变量X的绝对值不大于1;,;在事件出现的条件下,X在(1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比,试求(1) X的分布函数;(2) 取负值的概率p。解:(1) 据已知,有时,;时,。以下考虑时的情形。由于,故。 另据条件,有于是,对于,有,因此。 综上,有 57、假设随机变量Y服从参数为的指数分布,随机变量(1) 求和的联合概率分布; (2) 求。解: (1) 随机变量Y的的分布函数为二维随机变量(,)的所有可能取值为:(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),且其概率分别为;。可得()的联合分布律为X1pX201010 (2) 由于服从(0-1)分布,且,。故得 (k=1,2)因此。58、一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间10,20上有均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元。试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。解 设Z表示商店每周所得的利润,则由于X与Y的的联合概率密度为:所以 59、 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3分、7份和5份。随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q。解: 设=报名表是第i区考生的 (i=1,2,3), (j=1,2),则 ; ,。 (1) 。 (2) 由全概率公式得 ,。 ,。 。因此,。60、 设某种商品每周的需求量X是服从区间10,30上均匀分布的随要变量,而经销商店过货数量为区间10,30中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量。解: 设进货量a,则利润为期望利润 依题意,有,即。解得 。 61、某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件,现在从中随机抽取一件,记。试求:(1) 随机变量与的联合分布;(2) 随机变量与的相关系数。解 (1) 设事件“抽到i等品”(i=1,2,3)。由题意知,两两互不相容。,。易见,; ,。 (2) ,. ,. . .。62、设二维随机变量的概率密度为求:(I)的边缘概率密度;()的概率密度解 (I)当时,当时,即 当时,当或时,即 ()解法1当时,; 当时, 当时,所以 解法2其中 当或时,;当时即 63、设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,记求:(I)的方差;(II)与的协方差解 (I) (II) 262
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