概率论练习题与解析

概率与数理统计释疑解难十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A发生的概率为p。现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为。2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。解：用代表“取第i只箱子”，=1，2，3，用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式由贝叶斯公式3、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为 。解：设事件A在一次试验中出现的概率为，则有，从而解得4、已知随机事件A的概率，随机事件B的概率及条件概率，则和事件的概率= 。5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。用A代表事件“甲命中目标”，B代表事件“乙命中目标”，则代表事件“目标被命中”，且所求概率为6、 设随机事件A，B及其和事件的概率分别是0.4，0.3和0.6。若表示B的对立事件，那么积事件的概率 。，因为，故7、 已知，则事件A、B、C全不发生的概概率为 。由，得，所求事件概率为8、 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 。用代表事件“第i次抽次品”，i=1，2。则所求概率为9、已知A、B两个事件满足条件，且，则 。由得10、设工厂A和工厂B的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是 。用A和B分别代表产品是工厂A和工厂B生产的，C代表产品是次品，则所求概率为11、在区间(0，1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为 。用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则，.X，Y取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形W，其面积为1，事件“”对应图中阴影部分A，A的面积为 12、 随机地向半圆(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为 。半圆也即样本空间W的面积为，所求事件对图中阴影部分即区域A的面积为，故得所求事件概率为 13、 若随机变量在(1，6)上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 。14、已知连续随机变量X的概率密度函数为，则X的数学期望为 ；X的方差为 。将改写为 可见X服从正态分布，所以，.15、设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布。已知，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为 。16、已知随要变量X的概率密度函数，则X的概率分布函数。17、 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松 (Poisson)分布，即，1，2，则随机变量的数学期望 。18、设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望= 。19、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量在(0，4)内概率分布密度= 。，的反函数，.，即，.20、 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则的数学期望= 。， 21、 设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为：则随机变量的分布律为： 。， 22、设X和Y为两个随机变量，且 ，则= 。记，.则，从而 23、设，是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望 。记。则ZN(0,1)。从而24、 若随机变量X服从均值为2，方差为的正态分布，且，则= 。由于X的密度函数关于X=2为轴对称。 故， 从而.25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。令B=第一人取得黄球，则=第一人取得白球；A=第二人取得黄球. 据全概率公式26、 设平面区域D由曲线及直线，所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则关于X的边缘概率密度在x=2处的值为 。区域D的的面积为，故(X, Y)的联合概率密度为(X,Y)关于X的边缘概率密度为故27、 假设，那么 (1) 若A与B互不相容，则 ；(2) 若A与B相互独立，则 。(1) (2) 由得28、 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为 。设命中率为，则至少命中一次概率为，由，解得。29、 设A，B为随机事件，则 。由，得，故30、 将C，C，E，E，I，N，S第七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为 。31、设对于事件A，B，C有，则A，B，C三个事件至少出现一个的概率为 。32、 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。记事件“取出的产品为第i等品”，i=1，2，3。则A1，A2，A3互不相容，所求概率为33、 一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率，以X表示3个零件中合格品的个数，则= 。用表示事件“第i个零件是合格品”，则，所求概率34、 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。用A，B分别代表取出的第1和第2件为正品，则所求概率为35、 设随机变量的分布函数为则A= ， 。右连续，由得出36、 设随机变量，相互独立，其中在0，6上服从均匀分布，服从正态分布，服从参数为的泊松分布。记，则DY= 。37、设随机变量X的数学期望，方差，则由切比雪夫(Chebyshev)不等式，有。38、 已知随机变量(3，1)，YN (2，1)，且X，Y相互独立，设随机变量，则Z。Z为正态随机变量的线性组合，仍然服从正态分布，且，故ZN(0,5)。39、设随机变量X的分布函数为则X的概率分布为由公式算出，。 40、设随要变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则 。YB(3,p)，其中，故。41、设X是一个随机变量，其概率密度为则方差 。42、设总体X的的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 。 43、设，是来自正态总体的简单随机样本，其中参数和未知，记，则假设的t检验使用统计量 。44、设由来自正态总体容量为9的简单随机样本得样本均值，则未知参数的置信度为 0.95的置信区间是 。45、设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布，而和，分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量服从 分布，参数为 。由于，故。再，据t分布的定义，有46、 设A，B是任意两个随机事件，则P=0。47、 设随机变量X服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量Y服从参数为(3，p)的二项分布。若，则= 。由于，故由，得。从而48、 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N (0，22)的简单样本，则当 ，= 时，统计量X服从分布，其自由度为 。服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，因为，故。同理，。因为49、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p= 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 。二项分布的标准差为，已知，又，其中等号当且仅当时成立，故当时试验成功次数的标准差最大，其最大值为5。50、从1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从中任取一个数，记为Y，则 二、选择题 1、 设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X2Y的方差是(A) 8. (B) 16. (C) 28. (D) 44. 2、 设A、B是两个随机事件，且，则必有 (A) (B) (C) (D) 由题设知，故不能判与之间的关系，因此不选(A)或(B)。 由，及知，故，即应选(C)。 3、 若二事件A和B同时出现的概率 ，则 （C） (A) A 和B不相容 (相斥). (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A)=0或P(B)=0. 4、 对于任意二事件A和B，有P(AB)= （C） (A). (B). (C) (D). 5、以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为 （D） (A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销”. (B) “甲、乙两种产品均畅销”.(C) “甲种产品滞销”. (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”用表示甲产品畅销，表示乙产品畅销，则，从而。 6、 设A，B为两随机事件，且，则不列式子正确的是 (A) . (B).(C) (D).若，则，。 7、 设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是(A) X=Y. (B). (C) . (D). 8、 已知随机变量X服从二项分布，且，则二项分布的参数n，p的值为(A) n=4，p=0.6. (B) n=6，p=0.4. (C) n=8，p=0.3. (D) n=24，p=0.1由，得方程组，。解方程组即得n=6，p=0.4。 9、设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 (A) 与不相容. (B) 与相容.(C) (D) 因为A与B不相容(即)，所以 10、 对于任意两个随机变量X和Y，若，则 (A) (B) (C) X和Y独立 (D) X和Y不独立.X与Y独立可推出X与Y互不相关；X与Y互不相关 11、设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则 (A) . (B) (C) (D) 12、 假设事件A和B满足则(A) A是必然事件. (B) . (C) . (D) 此题中4个答案均不对，现举例说明如下：设随机变量服从上的均匀分布，记，易计算.显然答案(A)，(C)，(D)都不成立。下面再说明(B)也不成立，事实上由，易计算。故(B)也不成立。 13、设随机变量X的密度函数为，且，是X的分布函数，则对任意实数a，有 (A) . (B) (C) . (D) .由。有和所以。 14、设随机变量X与Y均服从正态分布，XN，YN ()，记，则 (A) 对任何实数，都有. (B) 对任何实数，都有.(C) 只对的个别值，才是. (D) 对任何实数，都有用代表标准正态分布N(0，1)的分布函数，有，由于，所以。 15、设0P(A)1，0P(B)0时，所以Z=X+2Y的分布函数为6、 设随机变量X与Y独立，X服从正态分布，Y服从上均匀分布，求的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示，其中)。解 X和Y的概率密度分别为，； 由于X与Y独立，可用卷积公式求Z=X+Y的概率密度，注意到仅在上才取非零值，所以Z的概率密度函数为令，则有 7、 设随机变量x的概率分布密度为，。 (1) 求X的数学期望EX和方差DX； (2) 求X与的协方差，并问与是否不相关？(3) 问X与是否相互独立？为什么？解 (1) ， (2) ，所以X与互不相关。 (3) 对于任意给定的，事件包含在事件内，故有，从而。因此，X与不独立。 8、 已知随机变量服从二维正态分布，并且X和Y分别服从正态分布和，X与Y的相关系数，设 (1) 求Z的数学期望EZ和方差； (2) 求X与Z的相关系数；(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？解 (1) 。注意 ，有 (2) 注意 ，有，所以 (3) 因为Z是正态随机变量X与Y的线性组合，故Z也是正态随机变量，又因为，所以X与Z相互独立。 9、 设随机变量X的概率密度为求随机变量的概率密度。解 . 当y1时，当时，.因此Y的概率密度为 注 分布函数也可定义为 10、 设，是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知的分布律为，又设，。 (1) 写出二维随机变量(X，Y)的分布律：XY123123(2) 求随机变量X的数学期望：解(1) XY12311/92/93/9201/92/93001/9注 由于总有YX，故 ，当时。 X123Pi1/93/95/9 (2) X的布律为.11、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。设为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。解 显然X服从二项分布，X的可能取值为0，1，2，3；其概率分别为，.即X的分布律为据上，可得X的分布函数为X的数学期望为.(或：)。12、 设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为的正态分布，求随机变量的方差。解 令。由于，且X和Y相互独立，故。 因为 ，而，所以 。 13、 设总体X的概率密度为其中是未知参数，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量。解 的矩估计量。 由于总体X的数学期望为，令其等于样本均值，即，解得未知参数的矩估计量为 的极大似然估计量。 设(，)是来自样本的一个观测值，则参数的似然函数为。因此，似然方程为。解之，得的极大似然估计值为，从而得的极大似然估计量为。当(1=1，2，n)时，恒有，故。因此，似然方程为。解之，得的极大似然估计值为，从而得的极大似然估计量为。 14、从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？ 附表：标准正态分布表z1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990解 以表示样本均值，则，从而有故，由此得，即，所以n至少应取35。 15、 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。 附表：t分布表p n0.950.975351.68962.0301361.68832.0281解 设该次考试的考生成绩为X，则。把从X中抽取的容量为n的样本均值记为，样本标准差记为S，本题是在显著性水平a=0.05下检验假设；，拒绝域为。由，=66.5，s=15，算得，所以接受假设，即在显著性水平0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。16、设某设备的寿命T（单位：千时）服从三段模型（1） 在（0，6）上服从解的指数分布，有（2） 在（6，60）服从（0，360）上的均匀分布（3） 在服从（A）求的概率，（B）求寿命超过50（千时）的概率 (1) (2) 17、设分子的速度总体服从马克斯威尔分布 为简单样本（1） 求出的矩估计量和极大似然估计量（2） 指出无偏估计量（说明理由）解 (1) 求矩估计量： ， 为矩估计量 求极大似然估计量 所以为极大似然估计量 (2) 矩估计量为无偏估计量，因为18、设总体X服从瑞利分布为参数为简单随机样本，求（1） 求的极大似然估计量（2） 该估计量是否为无偏估计量？说明理由。解(1) 解方程 求出 所以为极大似然估计量为 (2) 为的无偏估计量.19、某工厂生产的螺钉长度，现从一批螺钉中随机地抽取6件，测得长度的平均值标准差，问是否可以认为该批螺钉的平均长度为方差小于解 (1) ， 未知，选统计量 的拒绝城为 即，不在拒绝城内，所以接受，可以认为这批螺钉的平均长度为5.50. (2) ， 未知，选统计量，的拒绝城为 即，不在拒绝城内。接受，这批螺钉长度的方差不小于。19、对某圆柱的直径进行次独立测量，测得的数据为：设（），欲使P（）不小于0.95，问至少需要进行多少次测量？若进行100次测量，上述概率可达多少？解 ， 欲使，只要，取，至少要进行62次独立测量。若进行100次测量，20、设X，相互独立（1） 写出（X+Y），X-Y）的分布；（2） 求出（X-Y），（X+Y）的相关系数（3） 讨论（X-Y），（X+Y）的相关性，独立性；（4） 写出（X-Y），（X+Y）的联合密度函数。解(1) 设， (2) (3) ，U，V不相关，因为U，V都服从正态分布，不相关与独立是等价的，所以U，V相互独立。 (4) 21、已知离散型随机变量X的概率分布为：，(1) 写出X的分布函数. (2) 求X的数学期望和方差.解：(1) 或 (2) ， 。 22、已知随机变量Y的概率密度为求随机变量的数学期望EZ解： 23、假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现众两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件(取出的零件均不放回).试求： (1) 先取出的零件是一等品的概率p；(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q。引进下列事件： 解： =被挑出的是第i箱，i=1，2；=第j次取出的零件是一等品，j=1，2，那么，由题设知；，。 (1) 由全概率公式。 (2) 由条件概率的定义和全概率公式 24、玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。解：引进下列事件：A=顾客买下所察看的一箱，=箱中恰好有i件残次品(i=0，1，2)。由题设知，；=1，。 (1) 由全概率公式。 (2) 由贝叶斯公式。25、假设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度解：的密度函数为记为Y的分布函数，则有因此(补充规定，)，得26、假设有十只同种电器元件，其中有两只废品。装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品，则仍掉重新任取一只；如仍是废品，则扔掉再取一只。试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布、数学期望和方差。解：用X代表在取到正品之前已取出的废品数，X只可能取三个值：0，1，2： 1) 分布，。 2) 数学期望。 3) 方差，。 27、已知随机变量X和Y的联合密度为试求：(1) ；(2) (1) (2) 28、 设随机变量X在2，5上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。X的密度的函数为记 ，则。 用表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则服从参数为，的二项分布，故所求概率为 29、 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布，分布密度为试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。解：表示第i只元件寿命，以表示事件“在仪器使用最初200小时内，第i只元件损坏”，则。所求概率为 30、已知随机变量X和Y的联合概率分布为；(x, y)(0，0)(0，1)(1，0)(1，1)(2，0)（2，1）0.100.150.250.200.150.15试求：(1) X的概率分布；(2) X+Y的概率分布；(3) 的数学期望。解：(1) X的概率分布为 (2) X+Y的概率分布为 (3) 31、 从0，1，2，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： ；。解： ， 或32、 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：知小时)，已知X和Y的联合分布函数为： (1) 问X和Y是否独立？(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。解法一：(1) X和Y的分布函数分别为： 由于，知X和Y独立。 (2) .解法二： (1) 以，和分别代表(X,Y)，X和Y的概率密度，有 由于知X和Y独立。 (2) 33、 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X和Y分别表示甲和乙的命中次数。试求X和Y的联合概率分布。解 X服从参数为n=2，p=0.2的二项分布，Y服从参数为n=2，p=0.5的二项分布，它们的概率分布分别为： 由X和Y的独立性知X和Y的联合概率分布为： XY01200.160.080.0110.320.160.0220.60.080.01 34、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 附表有中是标准正态分布函数。解 设X为考生的外语成绩，由题设，其中。现在求，由条件知，从而。由的数值表，可见，因此，这样。故所求概率为： 35、一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数。(1) 求X的概率分布；(2) 。解(1) 的可能值为0，1，2，3。以表示事件“汽车在第i个路口首次遇到红灯”，则，i=1，2，3，且，相互独立。，。 (2) 36、在电源电压不超过200伏，在200240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压X服从正态分布N(220，252)。试求： (1) 该电子元件损坏的概率； (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200240伏的概率。附表：表中是标准正态分布函数解 引进下列事件：=电压不超过200伏，=电压在200-240伏，=电压超过240伏，B=电子元件损坏。由于，因此，。由题设知，。 (1) 由全概率公式。(2) 由贝叶斯公式。37、 假设随机变量X和Y在圆域上服从联合均匀分布(1) 求X和Y的相关系数；(2) 问X和Y是否独立？解 (1) X和Y的联合密度为X的密度为 Y的密度为 ，于是，X和Y的相关系数。 38、假设测量的随机误差(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出近似值。(要求小数点后了两位有效数字)。附表 解 每次测量误差的绝对值大于19.6的概率. 设m为100次独立重复试验中事件出现的次数，m服从参数为n=100，p=0.05的二项分布，所求概率由泊松定理，m近似服从参数为的泊松分布，从而39、一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10，0.20和0.30。假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的概率分布。数学期望EX和方差DX。解 设=部件i需要调整 (i=1，2，3)，。X可能取值0，1，2，3。由于，相互独立，。于是注 如果只要求和，这时也可用如下解法：考察随机变量易见，。由于，相互独立，从而，40、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(1) 求X的密度；(2) 求概率。解 (1) (2) 41、 设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为 (1) 已知事件和独立，且，求常数a；(2) 求的数学期望。解 (1) 由条件知，。由此得，并且知。由于。从而有，于是得。 (2) 42、 设随机变量X和Y独立，都在区间1，3上服从均匀分布；引进事件，(1) 已知，求常数；(2) 求的数学期望。解 (1) 设.由与同分布，知，。由得，。于是a有两个值：由得；由得。 (2) 43、假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布。 (1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2) 求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。解 (1) 解t0时，由于T是非负随机变量. 当时，由于事件与等价，。于是，T服从参数为的指数分布 (2) 。44、 假设随机变量X1，X2，X3，X4相互独立，且同分布，(i=1，2，3，4)，求行列式的概率分布。解： ，则，且和独立同分布： 。随机变量有三个可能值：1，0，1。，。于是行列式X的概率分布为 45、假设随机变量X的概率密度为现在对X进行n次独立重复观测，以表示观测值不大于0.1的次数。试求随机变量的概率分布。解 事件“观测值不大于0.1”的概率为。服从参数为的二项分布：，m=0,1,2,n。 46、假设自由动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解 平均利润(其中和分别为标准正态分布函数和标准正态密度函数)令上式为0得，即。解此方程得 。由此知当毫米时，平均利润最大。 47、假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了n()台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)。求 (1) 全部能出厂的概率； (2) 其中恰发有两件不能出厂的概率；(3) 其中至少有两件不能出厂的概率。解 引入事件A=仪器需进一步调试，B=仪器可以出厂，则任一仪器可出厂概率为 用X代表所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X为n次独立试验(仪器出厂)的次数，服从参数为(n，0.94)的二项分布，因此， 48、已知随机变量X和Y的联合概率密度为求和Y的联合分布函数。解 1) 当或时，有2) 当且时，有 3) 当且时，有 4) 当，且时，有 5) 当且时，有故X和Y的联合分布函数为49、 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：在区间(0，1)上服从均匀分布。证明：X的分布函数设为Y的分布函数，由于有，易得1）当时，2）当时，3）当时，总之有 所以Y在区间（0，1）上服从均匀分布50、 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解 ：以X表示一周5天内机器发生故障天数，则服从参数为(5，0.2)的二项分布：，k=0，1，2，3，4，5.，。以Y表示所获利润，则51、 考虑一元二次方程，其中B，C分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。解 一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36。方程组有实根的充分必要条件是即；方程组有重根的充分必要条件是即。易见B123456使CB2/4的基本事件个数012466使C=B2/4的基本事件个数010100由此可见，使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19.使方程有重根的基本事件个数为2。因此，52、 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。解 ：以(i=1，2，3)表示第i个元件无故障的时间，则，相互独立同分布，其分布函数为 设和T的分布函数，当时，当时，所以T服从参数为的指数分布。 53、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (1) 写出X的概率分布： (2) 利用棣莫佛一拉普接斯定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值。 附表设是标准正态分布函数解(1) X服从二项分布，参数n=100，p=0.2，k=0，1，100 (2) ，根据棣莫佛-拉普拉斯定理54、假设X1，X2，Xn是来自总体X的简单随机样本；已知(k=1，2，3，4)。证明当充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。证：依题意，独立同分布，可知，也独立同分布且有由中心极限定理的极限分布是标准正态分布，所以当n充分大时近似服从标准正态分布，从而近似服从参数为，的正态分布。55、 设总体X的概率密度为其中是未知参数，是已知常数，试根据来自总体X的简单随机样本X1，X2，Xn，求的最大似然估计量。解 似然函数对数似然函数，由解得的最大似然估计量 56、 假设随机变量X的绝对值不大于1；，；在事件出现的条件下，X在(1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求(1) X的分布函数；(2) 取负值的概率p。解：(1) 据已知，有时，；时，。以下考虑时的情形。由于，故。 另据条件，有于是，对于，有，因此。 综上，有 57、假设随机变量Y服从参数为的指数分布，随机变量(1) 求和的联合概率分布； (2) 求。解： (1) 随机变量Y的的分布函数为二维随机变量(，)的所有可能取值为：(0，0)、(0，1)、(1，0)、(1，1)，且其概率分别为；。可得()的联合分布律为X1pX201010 (2) 由于服从(0-1)分布，且，。故得 (k=1,2)因此。58、一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上有均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元。试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。解 设Z表示商店每周所得的利润，则由于X与Y的的联合概率密度为：所以 59、 设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3分、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。 (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p；(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。解： 设=报名表是第i区考生的 (i=1，2，3)， (j=1，2)，则 ； ，。 (1) 。 (2) 由全概率公式得 ，。 ，。 。因此，。60、 设某种商品每周的需求量X是服从区间10，30上均匀分布的随要变量，而经销商店过货数量为区间10，30中的某一整数，商店每销售1单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。解： 设进货量a，则利润为期望利润 依题意，有，即。解得 。 61、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80、10和10件，现在从中随机抽取一件，记。试求：(1) 随机变量与的联合分布；(2) 随机变量与的相关系数。解 (1) 设事件“抽到i等品”(i=1，2，3)。由题意知，两两互不相容。，。易见，； ，。 (2) ,. ,. . .。62、设二维随机变量的概率密度为求：（I）的边缘概率密度；（）的概率密度解 （I）当时，当时，即 当时，当或时，即 （）解法1当时，； 当时， 当时，所以 解法2其中 当或时，；当时即 63、设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，记求：（I）的方差；（II）与的协方差解 （I） （II） 262