概率论与数理统计教案

上课时间第一周上课节次3节课 型理论课 题概率论基本概念教学目的使学生掌握随机试验、样本空间、随即事件、频率、概率及古典概型等概念教学方法讲授重点、难点基本概念的掌握与理解时间分配教学内容板书或课件版面设计在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性就是我们所说的统计规律性。在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们称之为随机现象。1.1随机试验具有如下特点的试验称为随机试验：可以在相同的条件下重复地进行。每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。1.2样本空间、随机事件（1）样本空间我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素即E的每个结果，称为样本点。（2）随机事件我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。由一个样本点组成的单点集称为基本事件。样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，S称为必然事件。空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。（3）事件间的关系与事件的运算设试验E的样本空间为S，而A，B，Ak（k=1，2，）是S的子集：若，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B发生。若且，即A=B，则称事件A与事件B相等。事件称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件发生。事件称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A，B同时发生时，事件发生。也记作AB。事件称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生，B不发生时事件A-B发生。若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。基本事件是两两互不相容的。若，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。A的对立事件记为。设A，B，C为事件，则有：交换律：结合律：分配率：摩根率： 1.3频率与概率（1）频率定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA/n称为事件A发生的频率，并记为fn(A)。频率具有如下基本性质：0fn(A)1fn(S)=1若A1，A2，Ak是两两互不相容的事件，则fn(A1A2Ak)=fn(A1)+fn(A2)+fn(Ak)。（2）概率定义：设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：非负性：对于每一个事件A，有P(A)0。规范性：对于必然事件S，有P(S)=1。可列可加性：设A1，A2，是两两互不相容的事件，即对于AiAj=，ij，i，j=1，2，有P(A1A2)=P(A1)+P(A2)+概率的性质：性质1：性质2（有限可加性）：若A1，A2，An是两两互不相容的事件，则有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)。性质3：设A，B是两个事件，若，则有P(B-A)=P(B)-P(A)；P(B)P(A)。性质4：对于任一事件A，P(A)1。性质5（逆事件的概率）：对于任一事件A，有。性质6（加法公式）：对于任意两个事件A，B有。1.4等可能概型（古典概型）具有以下两个特点得试验是大量存在的，这种试验称为等可能概型，也成为古典概型：试验的样本空间只包含有限个元素。试验中每个基本事件发生的可能性相同。若事件A包含k个基本事件，即A=ei1ei2eik，其中i1，i2，ik是1，2，n中某k个不同的数，则等可能概型中事件A的概率计算公式为：超几何分布的概率公式为：实际推断原理：概率很小的事件在一次实验中实际上几乎是不发生的。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握概率论的基本概念，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课时间第二周上课节次3节课 型理论课 题条件概率与独立性教学目的使学生了解条件概率与独立性的基本概念及其应用教学方法讲授重点、难点全概率公式与贝叶斯公式时间分配教学内容板书或课件版面设计1.5条件概率（1）条件概率定义：设A，B是两个事件，且P(A)0，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。条件概率P(|A)满足：非负性：对于每一事件B，有P(B|A)0。规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1。可列可加性：设B1，B2，是两两互不相容的事件，则有概率的性质都适用于条件概率。（2）乘法定理乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(B|A)P(A) （乘法公式）一般地，设A1，A2，An为n个事件，n2，且P(A1A2An)0，则有P(A1A2An)=P(An|A1A2An-1)P(An-1|A1A2An-2)P(A2|A1)P(A1)（3）全概率公式和贝叶斯公式定义：设S为试验E的样本空间，B1，B2，Bn为E的一组事件，若BiBj=，ij，i，j=1,2，n则称B1，B2，Bn是样本空间S的一个划分。若B1，B2，Bn是样本空间S的一个划分，那么对每次试验，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有一个发生。定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P(Bi)0（i=1，2，n)，则P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+ P(A|Bn)P(Bn) （全概率公式）定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，Bn为S的一个划分，且P(A)0，P(Bi)0（i=1，2，n)，则（贝叶斯(Bayes)公式）1.6独立性定义：设A，B是两事件，若满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称A，B独立。定理：设A，B是两事件，且P(A)0。若A，B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。定理：若事件A与B相互独立，则下列各式也相互独立：A与，与B，与。定义：设A，B，C是三个事件，若满足等式P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C)，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件A，B，C相互独立。一般地，设A1，A2，An是n（n2）个事件，若对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，An相互独立。推论：若事件A1，A2，An（n2）相互独立，则其中任意k（2kn）个事件也是相互独立的。若n个事件A1，A2，An（n2）相互独立，则将A1，A2，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握条件概率与独立性的相关内容，学生对概念的掌握尚可，但对其在实例中的应用尚需多加练习。上课时间第三周上课节次3节课 型理论课 题概率论基本概念习题解析教学目的使学生巩固概率论基本概念所学内容教学方法讲授重点、难点古典概型、全概率公式与贝叶斯公式的应用时间分配教学内容板书或课件版面设计1.一俱乐部有5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2名四年级学生。（1）在其中任选4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）共有5+2+3+2=12名学生，在其中任选4名共有=495种选法，其中每年级各选1名的选法有=60种选法，因此，所求概率为p=60/495=4/33。（2）在12名学生中任选5名的选法共有=792种，在每个年级中有一个年级取2名，而其它3个年级各取1名的取法共有+=240种，因此所求概率为P=240/792=12/33。2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：以Ai表示事件“第i次拨号拨通电话”，i=1,2,3，以A表示事件“拨号不超过3次拨通电话”，则有。因为两两互不相容，且所以。当已知最后一位数是奇数时，所求概率为P=1/5+1/5+1/5=3/5。3.有两种花籽，发芽率分别为0.8,0.9，从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求：（1）这两颗花籽都能发芽的概率。（2）至少有一颗能发芽的概率。（3）恰有一颗能发芽的概率。解：以A，B分别表示事件第一颗、第二颗花籽能发芽，既有P(A)=0.8，P(B)=0.9。（1）由A，B相互独立，得两颗花籽都能发芽的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.9=0.72。（2）至少有一颗花籽能发芽的概率为事件AB的概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.9-0.72 =0.98（3）恰有一颗花籽发芽的概率为事件的概率P()=P(A)+P(B)-2P(AB)=0.26。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学概率论基本概念的相关内容，通过本次课的学习，学生对概率论基本概念的相关应用技巧有所提升。上课时间第四周上课节次3节课 型理论课 题离散型变量及其分布律、随机变量及其分布函数教学目的使学生初步了解离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数教学方法讲授重点、难点随机变量及其分布函数时间分配教学内容板书或课件版面设计2.1随机变量定义：设随机试验的样本空间为S=e。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。2.2离散型随机变量及其分布律有些随机变量，它全部有可能渠道的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量成为离散型随机变量。设离散型随机变量X所有可能去的值为xk（k=1,2，），X取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率为PX=xk=pk，k=1,2，。（离散型随机变量X的分布律）由概率的定义，pk满足如下两个条件：pk0，k=1,2，（1）（0-1）分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是PX=k=pk(1-p)1-k，k=0,1 （0p1），则称X服从以p为参数的（0-1）分布或两点分布。（2）伯努利试验、二项分布设试验E只有两个可能结果：A及，则称E为伯努利（Bernoulli）试验。将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。在n次试验中A发生k次的概率为，记q=1-p，即有，k=0,1,2，n。注意到刚好是二项式(p+q)n的展开式中出现pk的那一项，我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，并记为Xb(n,p)。特别，当n=1时二项分布化为，k=0，1（0-1）分布）。（3）泊松分布设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，而取各个值的概率为，k=0,1,2，其中0是常数。则称X服从参数为的泊松分布，记为X()。泊松定理：设0是一个常数，n是任意正整数，设npn=，则对于任一固定的非负整数k，有：。上述定理表明，当n很大，p很小（）时有以下近似式（其中=np）。2.3随机变量的分布函数定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=PXx，-x称为X的分布函数。对于任意实数x1，x2（x1x2），有Px1Xx2=PXx2-PXx1=F(x2)-F(x1)。分布函数F(x)具有以下基本性质：F(x)是一个不减函数0F(x)1，且，F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续的。一般，设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k=1,2，。由概率的可列可加性得X的分布函数为即。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握离散型随机变量的分布律及随机变量的分布函数的相关内容，学生对重要分布律及分布函数相关内容掌握尚可，但对其应用尚需多加练习。上课时间第五周上课节次3节课 型理论课 题连续型随机变量及其概率密度、随机变量的函数分布教学目的使学生掌握概率密度与分布函数的相关内容教学方法讲授重点、难点正态分布时间分配教学内容板书或课件版面设计如果对于随机变量X的分布函数F(X)，存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有，则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度。概率密度具有以下性质：f(x)0对于任意实数x1，x2（x1x2）若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)（1）均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为XU(a,b)。X的分布函数为:（2）指数分布若连续型随机变量X的概率密度为其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。X的分布函数为：服从指数分布的随机变量X具有以下性质：对于任意s，t0，有PXS+t|Xs=PXt。上式称为无记忆性。（3）正态分布若连续型随机变量X的概率密度为，-x0）为常数，则称X服从参数为，的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为XN(,2)。正态分布具有如下性质：曲线关于x=对称。当x=时取到最大值。正态分布曲线在x=处有拐点，曲线以Ox轴为渐近线。如果固定，改变的值，则图形沿着Ox轴平移，而不改变其形状；若固定，改变，由于最大值，可知当越小时图形变得越尖。X的分布函数为：当=0，=1时称随机变量X服从标准正态分布。引理：XN(,2)，则Z=N(0,1)。设XN(0,1)，若z满足条件PXz=，01，则称点z为标准正态分布的上分位点。2.5随机变量的函数的分布设XN(0,1)，其概率密度为，-x，则Y=X2的概率密度为，此时称Y服从自由度为1的2分布。定理：设随机变量X具有概率密度fX(x)，-x0（或恒有g(x)x1时F(x2,y)F(x1,y)；对于任意固定的x，当y2y1时，F(x,y2) F(x,y1)。0F(x,y)1，且：对于任意固定的y，F(-,y)=0对于任意固定的x，F(x, -)=0F(-, -)=0, F(, )=1F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)，即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。对于任意(x1,y1)，(x2,y2)，x1x2，y10，则称，i=1，2，为Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。同样，对于固定的i ，若PX=xj0，则称，i=1，2，为X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。定义：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固定的y，fY(y)0，则称为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为。称为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记为PXx|Yy。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握二维随机变量、边缘分布与条件分布的相关内容。学生对边缘分布和条件分布的定义掌握较好，但对其性质尚需多加联系后方能熟悉。上课时间第八周上课节次3节课 型理论课 题相互独立的随机变量与随机变量的函数分布教学目的使学生掌握相互独立的随机变量并了解几种常见的随机变量的函数分布教学方法讲授重点、难点相互独立的随机变量时间分配教学内容板书或课件版面设计3.4相互独立的随机变量定义：设F(x,y)及FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x，y有PXx,Yy=PXxPYy，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。若对于所有的x1,x2,xn有F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)，则称X1,X2,Xn是相互独立的。若对于所有的x1,x2,xm；y1,y2,yn有F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)，其中F1，F2，F依次为随机变量(X1,X2,Xm)，(Y1,Y2,Yn)和（X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn）的分布函数，则称随机变量(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互独立的。定理：设(X1,X2,Xm)和(Y1,Y2,Yn)是相互独立的，则Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互独立。又若h，g是连续函数，则h(X1,X2,Xm)和g(Y1,Y2,Yn)相互独立。3.5两个随机变量的函数的分布（1）Z=X+Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)。则Z=X+Y仍为连续型随机变量，其概率密度为：或。若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X，Y的边缘密度分别为fX(x)，fY(y)，则上面两式可化为和。以上两式称为fX和fY 的卷积公式，记为fX*fY，即且（2）Z=Y/X的分布和X=XY的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则Z=Y/X与Z=XY仍为连续型随机变量，其概率密度分别为：，。若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X，Y的边缘密度分别为fX(x)，fY(y)，则上式可化为：，。（3）M=maxX,Y及N=minX,Y的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)。特别的，当X1,X2,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有：Fmax(z)=F(z)n，Fmin(z)=1-1-F(z)n。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握相互独立的随机变量与两种常见的随机变量的函数分布。学生相互独立的随机变量的定义掌握较好，其余部分需要多加练习。上课时间第九周上课节次3节课 型理论课 题多维随机变量及其分布习题解析教学目的使学生巩固多维随机变量及其分布所学内容教学方法讲授重点、难点边缘分布、条件分布与相互独立的随机变量时间分配教学内容板书或课件版面设计1设随机变量(X,Y)的概率密度为（1）确定常数k（2）求PX1,Y3（3）求PX1.5（4）求PX+Y4解：（1）由得：所以k=1/8。（2）（3）（4）2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，求边缘概率密度。解：3.设某种型号的电子元件的寿命（以小时计）近似地服从于正态分布N(160,202)，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。解：以Xi（i=1,2,3,4）记所选取的第i只元件的寿命，由题设一只元件寿命小于180小时的概率为可认为X1，X2，X3，X4相互独立，故选取的4只元件没有一只寿命小于180小时的概率为教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学多维随机变量及其分布的相关内容，通过本次课的学习，学生对随机变量及其分布的相关应用技巧有所提升。上课时间第十周上课节次3节课 型理论课 题数学期望与方差教学目的使学生了解和掌握数学期望与方差的概念及其在实践中的应用教学方法讲授重点、难点数学期望与方差的定义及相关定理时间分配教学内容板书或课件版面设计4.1数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为：PX=xk=pk，k=1，2，。若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)= 。若连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)。即E(X)= 。数学期望简称期望，又称为均值。数学期望E(X)完全由随机变量X的分布律所确定。若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望。定理：设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)（g是连续函数）。若X是离散型随机变量，它的分布律为PX=xk=pk，k=1,2,，若绝对收敛，则有。若X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x)，若绝对收敛，则有。数学期望重要性质：设C是常数，则有E(C)=C。设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)。设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。此性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况。设X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)。此性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之和的情况。4.2方差定义：设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)= EX-E(X)2。应用中引入，记为(X)，称为标准差或均方差。对于离散型随机变量：对于连续型随机变量：方差重要性质：设C是常数，则D(C)=0。设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)。设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)特别地，若X，相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)此性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即PX=E(X)=1。定理：设随机变量X具有数学期望E(X)=，方差D(X)=2，则对于任意正数，不等式成立。（切比雪夫(Chebyshev)不等式）教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握数学期望与方差的相关内容。学生对数学期望与方差的定义掌握较好，相关定理部分需要结合习题多加练习。上课时间第十一周上课节次3节课 型理论课 题协方差及相关系数，矩、协方差矩阵教学目的使学生了解并掌握协方差相关知识教学方法讲授重点、难点协方差时间分配教学内容板书或课件版面设计4.3协方差及相关系数定义：量EX-E(X)Y-E(Y)称为随机变量X与Y的协方差。记为Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)。称为随机变量X与Y的相关系数。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)，Cov(X,X)=D(X)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)协方差的性质：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，a,b是常数。Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) +Cov(X2,Y)定理：的充要条件是，存在常数a，b使PY=a+bX=1。当时，称X和Y不相关。Cov(X,Y)=0可得，即X，Y不相关；反之X，Y不相关，X和Y却不一定相互独立。当(X,Y)服从二维正态分布时，X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的。4.4矩、协方差矩阵定义：设X和Y是随机变量，若E(Xk)，k=1,2,存在，称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。若EX=E(X)k，k=2,3,存在，称它为X的k阶中心矩。若E(XkYl)，k,l=1,2,存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。二维随机变量(X1,X2)有四个二阶中心矩（设它们分别存在），分别记为：c11=EX1-E(X1)2c12=EX1-E(X1) X2-E(X2)c21=E X2-E(X2) X1-E(X1) c22=EX2-E(X2)2将它们排成矩阵的形式，这个矩阵称为随机变量(X1,X2)的协方差矩阵。设n维随机变量(X1,X2,Xn)的二阶混合中心矩cij=Cov(Xi,Xj)=EXi-E(Xi)Xj-E(Xj),i,j=1,2,n都存在，则称矩阵为n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。由于cij=cji（ij；i,j=1,2,n），因而上述协方差矩阵是一个对称矩阵。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握协方差、矩与协方差矩阵的相关内容。学生对相关概念掌握较好，相关应用部分尚需多加练习。上课时间第十二周上课节次3节课 型理论课 题随机变量的数字特征习题解析教学目的使学生巩固随机变量的数字特征所学内容教学方法讲授重点、难点数学期望与方差时间分配教学内容板书或课件版面设计1. 某车间生产的圆盘直径在区间(a,b)服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解：设圆盘直径为X，按题设X具有概率密度故圆盘面积A=X2/4的数学期望为：2. 设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以min计）是一个随机变量，其概率密度为：求E(X)。解：按连续型随机变量的数学期望定义有：3.一直正常男性承认血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，军方差是700。利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在52009400直接的概率p。解：以X表示每毫升含白细胞数，由题设E(X)=7300，而概率p=P5200X9400 =P-2100X-73002100 =P|X-7300|2100在切比雪夫不等式P|X-|1-2/2中，取=2100，此时：1-2/2=1-7002/21002=8/9，即：p=P|X-7300|0，有。设Y1,Y2,Yn, 是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有，则称序列Y1,Y2,Yn, 依概率收敛于a，记为。依概率收敛的序列有如下性质：设，又设函数g(x,y)在点(a,b)连续，则。因此，弱大数定理可定义为：设随机变量X1,X2,Xn, 相互独立，服从同一分布且具有数学期望E(Xk)=(k=1,2,)，则序列依概率收敛于，即。伯努利大数定理：设fA是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0有： 或 。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握大数定律的相关内容。学生对相关概念掌握较好，相关应用部分尚需多加练习。上课时间第十四周上课节次3节课 型理论课 题中心极限定理教学目的使学生了解并掌握中心极限定理相关知识教学方法讲授重点、难点独立同分布中心极限定理与李雅普诺夫(Lyapunov)定理时间分配教学内容板书或课件版面设计定理一（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量X1,X2,Xn, 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1,2,)，则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn(X)对于任意x满足：定理二（李雅普诺夫(Lyapunov)定理）：设随机变量X1,X2,Xn, 相互独立，它们具有数学期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)= 0，k=1,2,，记。若存在正数 ，使得当时，则随机变量之和的标准化变量的分布函数Fn(x)对于任意x，满足定理三（棣莫弗拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理）：设随机变量n(n=1,2,)服从参数为n，p(0p1)的二项式分布，则对于任意x有：。教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生了解和掌握中心极限定理的相关内容。学生对两个定理内容掌握较好，相关应用部分尚需多加练习。上课时间第十五周上课节次3节课 型理论课 题大数定律及中心极限定理习题解析教学目的使学生巩固大数定律及中心极限定理所学内容教学方法讲授重点、难点数学期望与方差时间分配教学内容板书或课件版面设计1.据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的。求这16只元件的寿命的综合大于1920h 的概率。解：以Xi(i=1,2,16)记第i只元件的寿命，以T记16只元件寿命的总和：，按题设E(Xi)=100，D(Xi)=1002，由中心极限定理：近似服从N(0,1)分布，故所求概率为：2.设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000各零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解：以Xi(i=1,2,5000)记第i个零件的重量，以W记5000个零件的总重量：。按题设E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12，由中心极限定理：近似服从N(0,1)分布，故所求概率为：3.一工人修理一台机器需要两个阶段，第一阶段所需时间（小时）服从均值为0.2的指数分布，第二阶段服从均值为0.3的指数分布，且与第一阶段独立。现有20台机器需要修理，求他在8小时内完成的概率。解：设修理第i(i=1,2,20)台机器，第一阶段耗时Xi，第二阶段耗时Yi，共耗时Zi=Xi+Yi，已知E(Xi)=0.5，E(Yi)=0.3，故E(Zi)=0.2+0.3=0.5。D(Zi)=D(Xi)+D(Yi)=0.22+0.32=0.13。20台机器需要修理的时间可以近似服从正态分布，即有：。故所求概率为：教学后记本次课的主要内容与目的在于让学生巩固所学大数定律及中心极限定理的相关内容，通过本次课的学习，学生对大数定律及中心极限定理特征的相关应用技巧有所提升。上课时间第十六周上课节次3节课 型理论课 题总复习教学目的使学生将本学期所学内容贯穿教学方法讲授及答疑重点、难点各章节的重难点及相互之间的关系时间分配教学内容板书或课件版面设计1.概率论的基本概念1.1随机试验1.2样本空间、随机事件1.3频率与概率1.4等可能概型（古典概型）1.5条件概率1.6独立性2.随机变量及其分布2.1随机变量2.2离散型随机变量及其分布律2.3随机变量的分布函数2.4连续型随机变量及其概率密度2.5随机变量的函数的分布3.多维随机变量及其分布3.1二维随机变量3.2边缘分布3.3条件分布3.4相互独立的随机变量3.5两个随机变量的函数分布4.随机便量的数字特征4.1数学期望4.2方差4.3协方差及相关系数4.4矩、协方差矩阵5.大数定律及中心极限定理5.1大数定律5.2中心极限定理教学后记本次课的主要内容与目的在于对所有内容进行串联，综述本门课程的所有章节的重难点。