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第一章 三角形全等1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；三角形全等不因位置发生变化而改变。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。全等三角形的周长相等、面积相等。 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定： 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、证明两个三角形全等的基本思路：已知两边：找第三边（SSS）；找夹角（SAS）；找是否有直角（HL）.已知一边一角：找一角（AAS或ASA）；找夹边（SAS）. 已知两角：找夹边（ASA）；找其它边（AAS）.ABCDE例题评析例1 已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，求证：AB=ACBCDEFA例2 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEFBCDEFA例3已知：BECD，BEDE，BCDA，求证：BECDEA； DFBC例4如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .例5 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将BCE绕点C顺时针方向旋转90得到DCF，连接EF，若BEC=60，求EFD的度数.例6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E.（1）试找出一个三角形与AED全等，并加以证明.（2）若AB=8，D E=3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H， PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。例7已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ， QE与QF的数量关系是 ； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明复习作业：解答题1.（1）如下图，等边ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则APB=_。分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACP_这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB的度数。（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如右图，ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为BC上的点且EAF=45，求证：EF2=BE2+FC2。2.如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ABCBAD求证：（1）OA=OB；（2）ABCD3.如图所示，ABCADE，且CAD=10，B=D=25，EAB=120，求DFB和DGB的度数4.如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）ECBF.5.已知：如图，AB=AE,1=2,B=E.求证：BC=ED.6.如图所示，在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD，CE相交于F.求证：AF平分BAC.7.ABC中，ACB90，ACBC6，M点在边AC上，且CM2，过M点作AC的垂线交AB边于E点.动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为每秒1个单位，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP，EC.在此过程中， 当t为何值时，EPC的面积为10？ 将EPC沿CP翻折后，点E的对应点为F点，当t为何值时，PFEC？8.在ABC中，ABC90，分别以边AB、BC、CA向ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD，AG，BD. 如图1，求证：AGBD. 如图2，试说明：SABCSCDG.（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角） 图1 图2全等三角形单元测试题姓名 班级 得分 一、填空题(410=40分)1、在ABC中，ACBCAB，且ABCDEF，则在DEF中，_(填边)。2、已知：ABCABC，A=A，B=B，C=70，AB=15cm，则C=_，AB=_。3、如图1，ABDBAC，若AD=BC，则BAD的对应角是_。图3图2图1 4、如图2，在ABC和FED，AD=FC，AB=FE，当添加条件_时，就可得到ABCFED。(只需填写一个你认为正确的条件)5、如图3，在ABC中，AB=AC，ADBC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形_对。6、如图4，BE，CD是ABC的高，且BDEC，判定BCDCBE的依据是 图6ABCDE图5ADECB图47、如图5，ABC中，C=90，CDAB于点D，AE是BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF= cm.8、如图6，在ABC中，AD=DE，AB=BE，A=80，则CED=_9、P是AOB平分线上一点，CDOP于F，并分别交OA、OB于CD，则CD_P点到AOB两边距离之和。（填“”，“”或“=”）10、AD是ABC的边BC上的中线，AB12，AC8，则中线AD的取值范围是 二、选择题：(每小题5分，共30分) 11、下列命题中：形状相同的两个三角形是全等形；在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有( ) A、3个 B、2个 C、1个 D、0个 12、如图7，已知点E在ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若1=2=3，AC=AE，则有( ) A、ABDAFD B、AFEADCC、AEFDFC D、ABCADE13、下列条件中，不能判定ABCABC的是( ) A、AB=AB，A=A，AC=AC图7B、AB=AB，A=A，B=BC、AB=AB，A=A，C=CD、A=A，B=B，C=C 14、如图8所示，结论：；其中正确的有（ ）图8A1个B2个C3个D4个 15、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设ABC和A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界ABCA，及A1B1A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图9)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图10)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180(如图11)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )ACDB图12 16、如图12，在ABC中，C=90，AD平分BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为( ) A、18 B、32 C、28 D、24ECBDFA三、解答下列各题：(17-18题各8分，19-22题各10分，23题-24题各12分，共80分) 17、如图13，点A、B、C、D在同一条直线上，AB=DC，AE/DF，AE=DF，求证：EC=FB图13 18、如图14，AE是BAC的平分线，AB=AC。若点D是AE上任意一点，则ABDACD；若点D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？试说明你的猜想。BACDE图14 19、如图15，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在A区内，到铁路到公路的距离相等，且离铁路与公路交叉处B点700米，如果你是红方的指挥员，请你在图16所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置，并简要说明画法和理由。图16图15 20、如图17，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过D作DEAB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理。图17AEBDCF21、如图18，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC面积是28，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。图1822、如图19，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求证：EB=FC图1923、如图20，AB=CD，AD=CB，求证：B=D图20 24、如图21，ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DEDF，交AB于点E，连结EG、EF求证：BG=CF请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。图21
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