全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)及全部定理内容

全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何 1、 数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。2、 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 3、 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三角形内到三边距离之积最大的点-重心。 4、几何不等式。 5、简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的边形的集合中，正边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的边形的集合中，正边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 6、几何中的运动：反射、平移、旋转。 7、复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 二、代数 1、 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 2、 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求次迭代，简单的函数方程。 3、个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 4、复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 5、 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 6、一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 7、 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 三、立体几何 1、多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。2、正多面体，欧拉定理。 3、体积证法。 4、截面，会作截面、表面展开图。 四、平面解析几何 1、直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。 2、二元一次不等式表示的区域。 3、三角形的面积公式。 4、圆锥曲线的切线和法线。 5、圆的幂和根轴。 五、其它 抽屉原理。 容斤原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。数学竞赛中涉及的重要定理1、 第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题，如果：（1）当n1时，命题成立；（2）假设当nk时命题成立，由此可推得当nk+1时，命题也成立。那么，命题对于一切自然数n来说都成立。2、 棣美弗定理：设复数z=r(cos+isin)，其n次方zn = rn (cos(n)+isin(n)，其中n为正整数。3、 无穷递降法：证明方程无解的一种方法。其步骤为： 假设方程有解，并设X为最小的解。从X推出一个更小的解Y。从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。 4、 同余：两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 a b (mod m) ，读作a同余于b模m，或读作a与b关于模m同余。 比如 26 14 (mod 12) 【定义】设是大于1的正整数，a,b是整数,如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作ab(mod m),读作a同余于b模m.。有如下事实：(1)若a0(mod m)，则m|a； (2)ab(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法。 详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。例如，一个数除以4的余数只能是0，1，2，3，0，1，2，3和4，5，-2，11是模4的完全剩余系。可以看出0和4，1和5，2和-2，3和11关于模4同余，这4组数分别属于4个剩余类。7、 高斯函数：f(x)=ae-(x-b)2/c2 其中a、b与c为实数常数 ，且a 0. 8、费马小定理：假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1) （mod p） 假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等。9、欧拉函数：函数的值：通式：(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4).(1-1/pn)，其中p1, p2pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。若n是质数p的k次幂，(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数若m,n互质，(mn)=(m)(n)。 特殊性质：当n为奇数时，(2n)=(n), 证明于上述类似。10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1 ， ，mk 为两两互素的正整数，mm1，mk ，mmiMi，i1，2， ，k 。则同余式组xb1(modm1)，xbk(modmk)的解为xM1M1b1MkMkbk （modm）。式中MiMi1 （modmi），i1，2，k 。11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约 数d，关于未知数x和y的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。 它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1. 11、梅涅劳斯定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则=112、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，且满足=1，则D、E、F三点共线。13、塞瓦定理：设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于N、P、M，则14、塞瓦定理的逆定理：设M、N、P分别在ABC的 边AB、BC、CA上，且满足，则AN、BP、CM相交于一点。15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。推论2：设ABC三边长分别为a、b、c，对应边上中线长分别为ma、mb、mc则：ma=；mb=；mc=16、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果1=2，则有外角平分线定理：如图，AD是ABC中A的外角平分线交BC的延长线与D，则有17、托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则有ABCD+ADBC=ACBD18、三角形位似心定理：如图，若ABC与DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P19、正弦定理、在ABC中有（R为ABC外接圆半径）余弦定理：a、b、c为ABC的边，则有： a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC; 20、西姆松定理：点P是ABC外接圆周上任意一点，PDBC，PEAC，PFAB，D、E、F为垂足，则D、E、F三点共线，此直线称为西姆松线。21、欧拉定理：ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF（不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线。