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锐角三角函数知识点1、勾股定理:直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 2、如下图,在RtABC中,C为直角,则A的锐角三角函数为(A可换成B):定 义表达式取值范围关 系正弦(A为锐角)余弦(A为锐角)正切(A为锐角) (倒数)余切(A为锐角)对边邻边斜边ACB 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0、30、45、60、90特殊角的三角函数值(重要)三角函数030456090011001不存在不存在10 锐角三角函数题型训练类型一:直角三角形求值1已知RtABC中,求AC、AB和cosB2已知:如图,O的半径OA16cm,OCAB于C点,求:AB及OC的长3已知:O中,OCAB于C点,AB16cm,(1)求O的半径OA的长及弦心距OC;(2)求cosAOC及tanAOC4.已知是锐角,求,的值类型二. 利用角度转化求值:1已知:如图,RtABC中,C90D是AC边上一点,DEAB于E点DEAE12求:sinB、cosB、tanB2. 如图4,沿折叠矩形纸片,使点落在边的点处已知,,则的值为 ( ) 3. 如图6,在等腰直角三角形中,为上一点,若 ,则的长为( )A B C D 4. 如图6,在RtABC中,C=90,AC=8,A的平分线AD=求B的度数及边BC、AB的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 (2012安徽)如图,在ABC中,A=30,B=45,AC=2,求AB的长例2已知:如图,ABC中,AC12cm,AB16cm,(1)求AB边上的高CD;(2)求ABC的面积S;(3)求tanB例3已知:如图,在ABC中,BAC120,AB10,AC5求:sinABC的值对应训练1(2012重庆)如图,在RtABC中,BAC=90,点D在BC边上,且ABD是等边三角形若AB=2,求ABC的周长(结果保留根号)2已知:如图,ABC中,AB9,BC6,ABC的面积等于9,求sinB类型四:利用网格构造直角三角形例1 (2012内江)如图所示,ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()A B C D对应练习:1如图,ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_.特殊角的三角函数值例1求下列各式的值=. 计算:31+(21)0tan30tan45= =在中,若,都是锐角,求的度数.例2求适合下列条件的锐角a (1) (2) (3)(4)(5)已知a 为锐角,且,求的值(6)在中,若,都是锐角,求的度数.例3. 三角函数的增减性1已知A为锐角,且sin A ,那么A的取值范围是A. 0 A 30 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 902. 已知A为锐角,且,则 ( )A. 0 A 60 B. 30 A 60 C. 60 A 90 D. 30 A 90例4. 三角函数在几何中的应用1已知:如图,在菱形ABCD中,DEAB于E,BE16cm,求此菱形的周长2已知:如图,RtABC中,C90,作DAC30,AD交CB于D点,求:(1)BAD;(2)sinBAD、cosBAD和tanBAD3. 已知:如图ABC中,D为BC中点,且BAD90,求:sinCAD、cosCAD、tanCAD 解直角三角形:1在解直角三角形的过程中,一般要用的主要关系如下(如图所示): 在RtABC中,C90,ACb,BCa,ABc, 三边之间的等量关系:_ 两锐角之间的关系:_ 边与角之间的关系:_;_;_;_ 直角三角形中成比例的线段(如图所示) 在RtABC中,C90,CDAB于DCD2_;AC2_; BC2_;ACBC_类型一例1在RtABC中,C90(1)已知:a35,求A、B,b;(2)已知:,求A、B,c;(3)已知:,求a、b;(4)已知:求a、c;(5)已知:A60,ABC的面积求a、b、c及B例2已知:如图,ABC中,A30,B60,AC10cm求AB及BC的长例3已知:如图,RtABC中,D90,B45,ACD60BC10cm求AD的长例4已知:如图,ABC中,A30,B135,AC10cm求AB及BC的长类型二:解直角三角形的实际应用仰角与俯角:例1(2012福州)如图,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30、45,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是()A200米B200米C220米D100()米例2已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点已知BAC60,DAE45点D到地面的垂直距离,求点B到地面的垂直距离BC例3(昌平)19.如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD=30m从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角DCA=60,测得山顶B的仰角DCB=30,求风力发电装置的高AB的长例4 .如图,小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.例5已知:如图,河旁有一座小山,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30,测得岸边点D的俯角为45,又知河宽CD为50m现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC,求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)例5(2012泰安)如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30,朝物体AB方向前进20米,到达点C,再次测得点A的仰角为60,则物体AB的高度为()A10米B10米C20米D米例6(2012益阳)超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图,观测点设在A处,离益阳大道的距离(AC)为30米这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒,BAC=75(1)求B、C两点的距离;(2)请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度?(计算时距离精确到1米,参考数据:sin750.9659,cos750.2588,tan753.732,1.732,60千米/小时16.7米/秒)类型四. 坡度与坡角例(2012广安)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤坝高BC=50m,则应水坡面AB的长度是()A100m B100m C150m D50m 类型五. 方位角1已知:如图,一艘货轮向正北方向航行,在点A处测得灯塔M在北偏西30,货轮以每小时20海里的速度航行,1小时后到达B处,测得灯塔M在北偏西45,问该货轮继续向北航行时,与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里,)综合题:三角函数与四边形:(西城二模)1如图,四边形ABCD中,BAD=135,BCD=90,AB=BC=2, tanBDC= (1) 求BD的长; (2) 求AD的长(2011东一)2如图,在平行四边形中,过点A分别作AEBC于点E,AFCD于点F(1)求证:BAE=DAF;(2)若AE=4,AF=,求CF的长三角函数与圆:1 如图,直径为10的A经过点和点,与x轴的正半轴交于点D,B是y轴右侧圆弧上一点,则cosOBC的值为( )A B C D(延庆)19. 已知:在O中,AB是直径,CB是O的切线,连接AC与O交于点D,(1) 求证:AOD=2C(2) 若AD=8,tanC=,求O 的半径。(2013朝阳期末)21.如图,DE是O的直径,CE与O相切,E为切点.连接CD交O于点B,在EC上取一个点F,使EF=BF.(1)求证:BF是O的切线;(2)若, DE=9,求BF的长作业:(昌平)1已知,则锐角A的度数是 A B C D (西城北)2在RtABC中, C90,若BC1,AB=,则tanA的值为A B C D2 (房山)3在ABC中,C=90,sinA=,那么tanA的值等于( ).A B. C. D. (大兴)4. 若,则锐角 . (石景山)1如图,在RtABC中,C90,BC3,AC=2, 则tanB的值是A B C D(丰台)5将放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan的值是A B2 C D(大兴)5. ABC在正方形网格纸中的位置如图所示,则的值是 A. B. C. D. (通县)4如图,在直角三角形中,斜边的长为,则直角边的长是( )AB C D (通州期末)1如图,已知P是射线OB上的任意一点,PMOA于M,且OM : OP=4 : 5,则cos的值等于( )A B C D(西城)6如图,AB为O的弦,半径OCAB于点D,若OB长为10, , 则AB的长是( ) A . 20 B. 16 C. 12 D. 87.在RtABC中,C=90,如果cosA=,那么tanA的值是 A B C D11如图,在ABC中,ACB=ADC= 90,若sinA=,则cosBCD的值为 13. 计算: 13计算.13计算:14.如图,小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距米,小聪身高AB为1.7米,求这棵树的高度.15已知在RtABC中,C90,a=,b=.解这个直角三角形20. 如图,在RtABC中,CAB=90,AD是CAB的平分线,tanB=,求的值(延庆)19. 已知:在O中,AB是直径,CB是O的切线,连接AC与O交于点D,(3) 求证:AOD=2C(4) 若AD=8,tanC=,求O 的半径。(延庆期末)19如图,某同学在楼房的处测得荷塘的一端 处的俯角为,荷塘另一端处、在 同一条直线上,已知米,米, 求荷塘宽为多少米?(结果保留根号)18.(6分)如图,在ABC中,点O在AB上,以O为圆心的圆经过A,C两点,交AB于点D,已知2A +B = (1)求证:BC是O的切线; (2)若OA=6,BC=8,求BD的长 (西城)15如图,在RtABC中,C=90,点D在AC边上若DB=6,AD=CD,sinCBD=,求AD的长和tanA的值来源:学|科|网18如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向,距离灯塔100海里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30方向上的B处.(1)B处距离灯塔P有多远?(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200海里的O处已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险,并说明理由22已知,如图,在中,以DC为直径作半圆,交边AC于点F,点B在CD的延长线上,连接BF,交AD于点E,(1)求证:BF是的切线;DOACBFE(2)若,求的半径15如图,为了测量楼AB的高度,小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30,又向前走了20米后到达点D,点B、D、C在同一条直线上,并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60,求楼AB的高14.(2009眉山中考)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A处看见灯塔B在海船的北偏东60方向,2小时后船行驶到C处,发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B到C处的距离。15.(2009常德中考)如图,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=10.5,求山的高度(不计测角仪的高度,结果保留整数)16.(2008广安中考)如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾角由45降为30,已知原滑滑板AB的长为5米,点D、B、C 在同一水平地面上(1)改善后滑滑板会加长多少?(精确到0.01)(2)若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全,原滑滑板的前方有6米长的空地,像这样改造是否可行?说明理由。 (参考数据: )18. 在一次数学活动课上,海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽,如图13所示,某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点,测得在北偏西的方向上,沿河岸向北前行20米到达处,测得在北偏西的方向上,请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度 图13(参考数值:tan31,sin31) - 12 - / 12
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