二面角真题

二面角（2010-2012真题）1.（2012年全国高考课标卷）如图，直三棱柱中，是棱的中点，。（1）证明：；（2）求二面角的大小。2.（2012年全国高考全国卷一）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，。（1）证明：平面；（2）设二面角为，求与平面所成角的大小。3.（2011年全国高考课标卷）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD。()证明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。4.（2011年全国高考全国卷一）如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，。()证明：平面；()求与平面所成角的大小。5.（2010年全国高考全国卷一）如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC。（）证明：SE=2EB；（）求二面角A-DE-C的大小。6.（2010年全国高考全国卷二）如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，。（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小。二面角（2010-2012真题）参考答案1.（2012年全国高考课标卷）【试题解析】（1）证明：在中， 得：， 同理： 得：面。 （2）解：面， 取的中点，过点作于点，连接， ，面面面。 得：点与点重合。 且是二面角的平面角。 设，则，。既二面角的大小为。2.（2012年全国高考全国卷一）【试题解析】设,以为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则设。（）证明：由得， 所以，所以，。所以,，所以平面；（）解：设平面的法向量为，又，由得，设平面的法向量为，又，由，得，由于二面角为，所以，解得。 所以，平面的法向量为，所以与平面所成角的正弦值为，所以与平面所成角为。3.（2011年全国高考课标卷）【试题解析】（）因为, 由余弦定理得 ，从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD. 故PABD。（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴 建立空间直角坐标系D-，则,。设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则 即 ，因此可取=。设平面PBC的法向量为，则可取=（0，-1，）， 所以。故二面角A-PB-C的余弦值为 。4.（2011年全国高考全国卷一）【试题解析()证明：取中点，连结，则四边形为矩形，。连结，则，。又,故,所以为直角。 （3分）由,得平面,所以。即与两条相交直线、都垂直，所以平面。 （6分）另解:由已知易求得,于是，可知。同理可得,又，所以平面。 （6分）()解：由平面知，平面平面。作,垂足为,则平面ABCD,。作,垂足为,则。连结，则，又,故平面,平面平面 。 （9分）作,为垂足,则平面。,即到平面的距离为。由于,所以平面,到平面的距离也为，设与平面所成的角为,则,。 （12分）6.（2010年全国高考全国卷一）【试题解析】解法一：（）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG=GC=BG=1,即DBC为直角三角形，故BCBD。又SD平面ABCD，故BCSD，所以，BC平面BDS，BCDE。作BKEC，K为垂足，因平面EDC平面SBC，故BK平面EDC，BKDE。即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直。所以 DE平面SBC，DEEC，DESB。SB=，DE=，EB=，SE=SB-EB=。所以SE=2EB。（）解：由SA=，AB=1，SE=2EB，ABSA，知AE=，又AD=1，故ADE为等腰三角形。取ED中点F，连结AF，则AFDE，AF=。连结FG，则FGEC，FGDE，所以，AFG是二面角ADEC的平面角。连结AG，AG=，FG=，所以，二面角ADEC的大小为120。（2010年全国高考全国卷二）【试题解析】解法一：（）证明：连接，记与的交点为F。因为面为正方形，故，且。又，所以，又D为的中点，故，。作，G为垂足，由知，G为AB中点。又由底面面，得面.连接DG，则，故，由三垂线定理，得。所以DE为异面直线与CD的公垂线。（）解：因为，故为异面直线与CD的夹角，。设，则。作，H为垂足.因为底面面，故面，又作，K为垂足，连接，由三垂线定理，得，因此为二面角的平面角。，二面角（2012长春市调研题汇编）1.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，。求证：平面；求平面与平面所成锐角的正切值。2.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市三模）已知四棱柱中，,，。 求证：； 求二面角的正弦值；（3）求四面体的体积。3.（2012年长春市高三毕业班第四次调研测试）如图，棱柱的所有棱长都等于， ，平面平面。证明：；求二面角的余弦值；在直线上是否存在点,使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由。4.（2012年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学2013届高三第一次联合模拟测试一）如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCDABCD，DD底面ABCD，DAB=60，AB=2AD，DD=3AD，E、F分别是AB、DE的中点。（1）求证：DFCE；（2）求二面角AEFC的余弦值。5.（2012年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且，是A1B1的中点，（1）求证：平面ABC；（2）求二面角A1BB1C的余弦值。二面角（2012长春市调研题汇编）参考答案1.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市二模）【试题解析】解：证明：【方法一】.设，取中点，连结，则且。 ，且，是平行四边形， 。平面,平面, 平面，即平面。 (6分)【方法二】.如图建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，而，令，则，.， 0，而平面，平面。 (6分)设平面与平面所成二面角的平面角为，由条件知是锐角，由知平面的法向量为。又平面与轴垂直，平面的法向量可取为，即为所求。 2.（2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合暨长春市三模）【试题解析】解：由四边形是正方形，。又平面，而，平面，。又，平面，从而。 (4分)以为坐标原点，,为坐标轴建立空间直角坐标系，则易得。设平面的法向量为，则由 ，求得；设平面的法向量为，则由，求得，则根据,于是可得。 (9分)(3) 设所给四棱柱的体积为V,则，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，记为；而三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为，则由于， ，所求四面体的体积为。3.（2012年长春市高三毕业班第四次调研测试）【试题解析】证明：由条件知四边形是菱形，所以。而平面平面，平面平面，所以平面。又平面，所以. (3分)解：因为，是菱形，所以。而，所以是正三角形. 令，连结，则两两互相垂直.如图所示，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为。设是平面的法向量，则。令，则即。设二面角的平面角为，则是锐角，并且，因此二面角的余弦值为。 (8分)解：设这样的点存在，且，而，所以。又，所以，。设是平面的法向量，则。令，则，即.要使平面当且仅当，所以。这说明题目要求的点存在，实际上，延长到点，使得即得到所求的点。 (12分)4. （2012年东北三省三校：东师附中、哈师附中、辽宁省实验中学2013届高三第二次联合模拟测试一）【试题解析】（）证明：为等边三角形，设，则， 即。 (分)底面， 平面， 。 (分)（）解：取中点，则，又,所以为等边三角形。则，。分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设,则, 。设平面的法向量为，则 。取， 平面的法向量为， （8分）则取， （10分），所以二面角的余弦值为。 （12分）5.（2012年东北四校：东师附中、吉林省实验中学、哈尔滨三中、辽宁省实验中学联考一）【试题解析】（）侧面是菱形且 为正三角形。 又点为的中点 。 。 由已知 平面 。 （4分） （）（解法一）连接，作于，连接。由（）知面，。又 面 。为所求二面角的平面角 。 （8分）设菱形边长为2，则，在中，由知：。在中， ， 。即二面角的余弦值为 。 （12分） 解法二：如图建立空间直角坐标系：设菱形边长为2， 得，。则，。设面的法向量，由,得：，令，得 。 （8分）设面的法向量， 由，得：,令，得 。 （10分）得。ADNMEGB又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。 （12分）