哈工大天线原理-马汉炎习题答案

1 第一章 1 1 试用对偶原理 由电基本振子场强式 1 5 和式 1 7 写出磁基本振子的场表示式 对偶原理的对应关系为 Ee Hm He Em J Jm m 另外 由于 所以有 k k k 式 1 5 为 jkrr erIdljH1sin20 式 1 7 为 01sin2co2002 EerkjrIdljjl jkrjkrr 因此 式 1 5 的对偶式为 jkrmr erdlIjE1sin20 2 式 1 7 的对偶式为 01sin2co2002 HerkjrdlIjjl jkrmjkrr 结合 Imdl j 0IS 有磁基本振子的场表示式为 jkrr erISE1sin20 01sin2co2002 HerkjrISjj jkrjkrr 可以就此结束 也可以继续整理为 jkrr erISE1sin002 01sinco222 HerkjrISjj jkrjkrr 3 1 3 若已知电基本振子辐射电场强度大小 天线辐射功率可按穿过以源 sin20rIlE 为球心处于远区的封闭球面的功率密度的总和计算 即 sSdrP 为面积元 试计算该电基本振子的辐射功率和辐射电阻 drdsin2 解 首先求辐射功率 220024sini1 Il drlsEPS 辐射电阻为 2280 lIPR 注意 此题应用到了 34sin03 d 4 1 5 若已知电基本振子辐射场公式 试利用方向性系数的定义求其方向 sin20rIlE 性系数 解 方向性系数的定义为 在相同辐射功率 相同距离条件下 天线在某辐射方向上的 功率密度 Smax 或场强 Emax 的平方 与无方向性天线在该方向上的功率密度 S0 或场强 E0 的平方 之比 首先求辐射功率 220024sini1 Il drldsPS 令该辐射功率为 602402rEP 其中 E0 是无方向性天线的辐射场强 因此 可以求得 2204 rIl 所以方向性系数 5 120max ED 5 1 6 设小电流环电流为 I 环面积 S 求小电流环天线的辐射功率和辐射电阻表示式 若 1m 长导线绕成小圆环 波源频率为 1MHz 求其辐射电阻值 电小环的辐射场幅度为 sin2rISE 首先求辐射功率 2420216sini1 ISdrdPS 辐射电阻为 42230IPR 当圆环周长为 1m 时 其面积为 波源频率为 1MHz 时 波长为 300m 2m41 S 所以 辐射电阻为 R 2 4 10 8 6 1 7 试证明电基本振子远区辐射场幅值 E 与辐射功率 P 之间的关系为rPE sin49 证明 电基本振子远区辐射场幅值 sin60sin20rIlrIl 根据题目 1 3 可知电基本振子辐射功率为 24 lP 所以 40 PIl 代入到 E 表达式中可以得到 rPrIlE sin406sin0 所以有 rP sin49 7 1 9 试求证方向性系数的另一种定义 在最大辐射方向上远区同一点具有相同电场强度的 条件下 无方向天线的辐射功率比有方向性天线辐射功率增大的倍数 记为 0maxEPD 证明 方向性系数的定义为 相同辐射功率 相同距离条件下 天线在某辐射方向上的 功率密度 Smax 或场强 Emax 的平方 与无方向性天线在该方向上的功率密度 S0 或场强 E0 的平方 之比 假设有方向性天线的辐射功率为 P 最大辐射方向的辐射场为 Emax 无方向性天线的辐射 功率为 P 0 辐射场大小为 E0 则有如下关系 2 204r 26r 如果有方向性天线的方向性系数为 D 则根据定义 当其辐射功率为 P 时 有22max6rDE 所以 当有 Emax E0 时 则有 0maxEP 8 1 11 一个电基本振子和一个小电流环同时放置在坐标原点 如图示 若 试SIl21 证明远区任意点的辐射场均是圆极化的 证明 如图示的电基本振子和小电流环的辐射场分别为 jkrerlIjE sin201jrS 令 AIl21 则远区任一点辐射场为 这是一个右旋圆极jkrerAarAjaE sin2sin200 化的电磁波 9 1 13 设收发两天线相距 r 处于极化匹配和阻抗匹配的最佳状态 且最大方向对准 若工 作波长为 发射天线输入功率 Ptin 发射和接收天线增益系数分别为 Gt G r 试证明接 收功率为 rtinr GP2max4 证明 满足题设三条件的情况下 根据天线增益的定义 可以得到发射天线在接收天线 处产生的辐射场的最大功率密度为 ttinrS2max4 接收天线的有效面积为 reGS 42 因此接收天线得到的最大接收功率为 rtiner GPrSP2max4 10 1 15 若干扰均匀分布于空间并从所有方向传到接收点 利用定向接收天线可以增大有用信 号功率和外部干扰功率之比 试证明这一比值和天线的方向性系数成正比 证明 设定向接收天线的方向性函数为 F 方向性系数为 D 则有如下关系 20sin 4dFD 设干扰的平均功率流密度大小 Sn 为常数 一个以接收点为中心的 半径为 r 的球面 包围了接收点 则接收点处天线接收到的功率 Pn 为不同方向面积微元通过的被接收的 干扰的积分 DrSdFrdsSPnn20224sin 设天线接收到的有用功率为 Ps 则有用功率与干扰功率之比为 s Ps Pn D 11 第二章 2 1 设对称振子臂长 l 分别为 2 4 8 若电流为正弦分布 试简绘对称振子上的电流 分布 2 2 4 4 8 8 12 2 2 用尝试法确定半波振子 全波振子 E 面主瓣宽度 半波振子的方向性函数为 sinco2 F 可以看出 该函数关于 0和 2对称 并且当 2时 F 有最大值 1 因此计算 4 2之间的值即可 经过计算 当 51 时 F 0 708 因此 可以得到主瓣宽 度为 HPBW 2 90 51 78 全波振子的方向性函数为 sinco2 F 可以看出 该函数关于 0和 2对称 并且当 2时 F 有最大值 1 因此计算 4 2之间的值即可 经过计算 当 66 1 时 F 0 707 因此 可以得到主瓣 宽度为 HPBW 2 90 66 1 47 8 13 2 3 试利用公式 1 51 求半波振子 全波振子的方向性系数 解 公式 1 51 为 RfD2max10 对于对称振子 f max 1 coskl 所以本题可以列表回答 天线种类 kl fmax R D 半波振子 2 1 73 1 1 64 全波振子 2 200 2 4 14 2 4 试利用公式 1 85 分别求解半波振子和全波振子的有效面积 解 有效面积的公式为 GSe 42 利用 2 3 题的结论可以列出下表 天线种类 kl fmax R D Se 半波振子 2 1 73 1 1 64 0 13 2 全波振子 2 200 2 4 0 19 2 15 2 5 试利用公式 2 24 或 2 25 求半波振子 全波振子的有效长度 解 公式 2 24 是采取以归算电流为输入电流计算的有效长度 2tanklle 公式 2 25 是采用了归算电流为波腹电流计算的有效长度 30 DRle 所以本题可以列表回答 天线种类 kl fmax R D le 2 24 le 2 25 半波振子 2 1 73 1 1 64 0 318 0 318 全波振子 2 200 2 4 0 637 2 16 2 6 已知对称振子臂长 l 35cm 振子臂导线半径 a 8 625mm 若工作波长 1 5m 试计 算该对称振子的输入阻抗的近似值 已知对称振子臂长 l 35cm a 8 625mm 1 5m 则有 利用公式 2 29 求得 Z0A 120 ln2 l a 1 120 ln 2 350 8 625 1 408 刚好介 于图 2 9 的 340 和 460 之间 l 0 233 根据图 2 9 的 a 和 b 可以分别查得 Z in 70 j0 需要注意 这里的 数字读取得很粗略 还有一种方法 利用公式 2 32 进行计算 首先计算 l 2a 20 3 l 0 233 并利用公式 2 29 求得 Z0A 120 ln2l a 1 120 ln2 350 8 625 1 408 查图 2 8 得 n 1 05 查图 2 5 R m 70 n2 2 1 利用公式 2 31 求得 A 0 753 然后代入公式 2 32 最终求得 Zin 69 4 21 4 17 2 7 试计算电流呈三角形分布短天线的方向性系数和有效高度 解 电流呈三角形分布的电流表达式为 z l I A 为输入点电流 这是对 zIzA 1 称振子当 l 时的情况 天线的辐射场为 jkrAjkzljkrjkzrlerlIj dezIjE sin60 1sin 60coscs 这里 20cos cos 12 cos cosin 1 kldzzkl dzkjzldelzllljkl 当 kl 0 区域的部分 E 面 xoz 平面 的上述因子表达式为 阵元方向性函数 cosin2 地面上阵轴为 x 轴方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 阵因子 sin2co 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵 m 1 d 的阵因子 cosin 最终 E 面 xoz 平面 总的阵方向图为 FE cs in2 sin2o cosi 可以化简结果为 注意不要忘记书写绝对值符号 这 osin cos2 EF 里 为观察方向与 z 轴夹角 而 则为观察方向与 x 轴 阵轴 夹角 在 xoz 平面上有 2 注意最终函数自变量的统一 我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与 x 轴夹角 这样便于规范化 类似地 可以求得 H 面 yoz 平面 的上述因子表达式为 阵元方向性函数 1 令 E 面的 0即可 地面上阵轴为 x 轴方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 阵因子 1 令 E 面的 0即可 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵 m 1 d 的阵因子 因为 H 平面平行于阵轴 所以方向性函数 cosin 不变 最终 H 面 yoz 平面 总的阵方向图为 FH csi 方向图如下 31 E 面 F1 F2 F3 FExzO xzOxzOxzO yzOyzOyzOyzO F1 F2 F3 FH H 面 32 3 14 2 元垂直接地振子如图排列 试求 天线系统方向性函数 画出含两振子轴平面的方 向图 设大地所在平面为 xoy 平面 振子轴向平行于 z 轴 地面上的阵列阵轴则平行于 x 轴 E 面为 xoz 平面 H 面为 xoy 平面 天线阵系统最终的方向图由两个因子乘积所得 阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数 地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵 m 1 2 d 4 阵因子 需要注意的是 最终只取 z 0 区域的部分 E 面 xoz 平面 含振子轴平面 的上述因子表达式为 阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数 sinco2 地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵 m 1 2 d 4 阵因子 sin14co 最终 E 面 xoz 平面 总的阵方向图为 FE sinco2 sin14 注意不要忘记书写绝对值符号 这里 为观察方向与 z 轴夹角 而 则为观察方向与 x 轴 阵轴 夹角 在 xoz 平面上有 2 注意最终函数自变量的统一 我们一般使用 或 者 xoy 平面上观察方向与 x 轴夹角 这样便于规范化 类似地 可以求得 H 面 xoy 平面 的上述因子表达式为 阵元及其地面镜像组成的半波振子天线的方向性函数 1 令 E 面的 2即可 地面上阵轴为 x 轴方向的等幅二元阵 m 1 2 d 4 阵因子 因为 H 平面平行于阵轴 所以方向性函数不变 但是自变量变为 cos4s 最终 H 面 xoy 平面 总的阵方向图为 FH cos14s 方向图如下 E 面 33 F1 F2 FExzO xzOxzO xyOxyOxyOF1 F2 FH H 面 34 3 15 两半波振子并列且垂直于无穷大理想导电地平面 相距 2 中心高度为 4 两振子 电流等幅反相 画出 E 面和 H 面方向图 设大地所在平面为 xoy 平面 振子轴向平行于 z 轴 地面上的阵列阵轴则平行于 x 轴 E 面为 xoz 平面 H 面为 xoy 平面 天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得 阵元方向性函数 地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵 m 1 d 2 阵因子 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 的阵因子 需要注意的是 最终只取 z 0 区域的部分 E 面 xoz 平面 的上述因子表达式为 阵元方向性函数 sinco2 地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵 m 1 d 2 阵因子 sin2 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 的阵因子 cos2 最终 E 面 xoz 平面 总的阵方向图为 FE sinco2 sin2 cos2 可以化简结果为 注意不要忘记书写绝对值符号 sin2 sinc E 这里 为观察方向与 z 轴夹角 而 则为观察方向与 x 轴 阵轴 夹角 在 xoz 平面上有 2 注意最终函数自变量的统一 我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与 x 轴夹角 这样便于规范化 类似地 可以求得 H 面 xoy 平面 的上述因子表达式为 阵元方向性函数 1 令 E 面的 2即可 地面上方阵轴为 x 轴方向的等幅反相二元阵 m 1 d 2 阵因子 因为 H 平面平行于阵轴 所以方向性函数不变 但是自变量变为 cos2in 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 的阵因子 1 令 E 面的 2即可 35 最终 H 面 yoz 平面 总的阵方向图为 FH cos2in 方向图如下 E 面 F1 F2 F3 FExzO xzOxzOxzO xyOxyOxyOxyO F1 F2 F3 FH H 面 36 3 16 两半波振子平行于地面并列置于无穷大理想导电地平面上空 馈电与排列尺寸如图所 示 画出垂直振子轴平面的方向图 设大地所在平面为 xoy 平面 振子轴向平行于 x 轴 地面上方的阵列阵轴则平行于 z 轴 E 面为 xoz 平面 H 面为 yoz 平面 需要注意的是 因为水平放置的振子最终会产生负镜 像 所以虽然 xoy 平面平行于振子轴 为疑似 E 面 但是最终沿 xoy 平面上的辐射为零 所以 xoy 平面不是 E 面 天线阵系统最终的方向图由三个因子乘积所得 阵元方向性函数 地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 阵因子 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵 m 1 d 的阵因子 需要注意的是 最终只取 z 0 区域的部分 E 面 xoz 平面 的上述因子表达式为 阵元方向性函数 cosin2 地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 阵因子 cos2 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵 m 1 d 的阵因子 cosin 最终 E 面 xoz 平面 总的阵方向图为 FE cs in2 cos2 cosin 注意不要忘记书写绝对值符号 这里 为观察方向与 z 轴夹角 而 则为观察方向与 z 轴 阵轴 夹角 本题中在 xoz 平面上有 注意最终函数自变量的统一 我们一般使用 或者 xoy 平面上观察方向与 x 轴夹角 这样便于规范化 类似地 可以求得 H 面 yoz 平面 的上述因子表达式为 阵元方向性函数 1 令 E 面的 0即可 地面上阵轴为 z 轴方向的等幅同相二元阵 m 1 0 d 2 阵因子 因为 H 平面平行于阵轴 z 轴 所以方向性函数不变 cos2 地面上的阵列和地面下的负镜像阵列组成的阵轴为 z 方向的等幅反相二元阵 m 1 d 的阵因子 因为 H 平面平行于阵轴 所以方向性函数 cosin 不变 最终 H 面 yoz 平面 总的阵方向图为 FH cos2 cosin 方向图如下 37 E 面 F1 F2 F3 FExzO xzOxzOxzO yzOyzOyzOyzO F1 F2 F3 FH H 面 38 第四章 4 4 设一直立天线高 h 15m 工作波长 300m 天线地面已铺设地网 天线输入电流有 效值 I0 3A 求距天线 r 5km 处 0 的场强值 解 天线输入电流有效值 I0 3A 则天线输入电流峰值为 Im 1 414 3A 4 242A 根据公式 4 5 cos in sin6 khkhrIEAm 将 h 15m k 2 2 300m r 5000m 0 代入 得 E 8 06mV m 39 4 7 对天线的馈线有哪些要求 现有特性阻抗 75 的同轴馈线与特性阻抗 300 的扁馈线 试绘出以上两种馈线分别连接半波振子和折合振子的馈电结构图 对天线馈线的要求 对对称振子而言 要求有平衡馈电与阻抗匹配 天线 馈线 75 的同轴馈线 300 的扁馈线 半波振子 4 Z 0 3 0 0 Z 0 1 1 5 0 Z i n 4 半波折合振子 e 2 Z 0 3 0 0 Z i n 40 第五章 5 2 简述等效原理的内容及作用 等效原理 某一区域内产生电磁场的实际场源 可以用一个能在同一区域内产生相同电磁 场的等效场源代替 作用 在研究面天线问题时 待求解的场是天线外部辐射场 只要找到合适的等效源 就 可以直接从等效源求解 而不必知道实际场源 从而使求解大大简化 一般只需要计算出面天线的口面场分布 就可以直接求出面天线的辐射场 41 5 4 试推导矩形口径均匀场的方向性系数公式 5 28 公式 5 28 为 yxLD24 矩形口径均匀场的方向性系数为 PErm60 2 辐射功率 P 等于口径的功率通量 yxoLox LdyExy 2224140 而对于口径辐射而言 当 0 时为最大辐射方向 因此 yxoLoxmrrxy 2 将 P 和 E m 的值代入 得 PEDm60 2 yxLD24 42 5 6 矩形口径尺寸 Ly 8 L x 6 口径场振幅相等 相位同相 即 Es Eox 常数 求 H 面 内主瓣宽度 2 0 5H 零点夹角 2 0H 以及第一副瓣位置和副瓣电平 1 dB 提示 利用图 5 10 曲线 x y O L x L y 如图示 因为 Es 为 x 方向 所以天线的 E 面为 x z 面 天线的 H 面为 y z 面 根据图 5 10 在 H 面上当 时 39 1sin yL F 0 707 将 Ly 8 代入上式 得 sin 0 0553 因此 3 17 2 0 5H 2 3 17 6 34 同理 在 H 面上当 时 sinyL F 0 将 Ly 8 代入上式 得 sin 0 125 因此 7 18 2 0H 2 7 18 14 36 在 H 面上当 时 23sin yL F 为极大值 32 将 Ly 8 代入上式 得 sin 0 1875 因此 10 8 为第一副瓣位置 副瓣电平 1 dB 13 5dB 32lg 0 43 5 8 矩形波导口尺寸为 a b 其口径场振幅分布为 相位同相 试计算 axEoyS sin 口面利用系数 SssSssdxyEd2222 axEoy in 81 0sin sini 20220020 ayybayy dxbSEdxES 附 公式 推导过程 SssSssdxyEd2222 vD24 矩形口径场的方向性系数为 PrDm60 2 辐射功率 P 等于口径的功率通量 SsSsdxyEd 240 24 而对于口径辐射而言 当 0 时为最大辐射方向 因此 dxyrEsrSsSm 将 P 和 E m 的值代入 得 PErDm60 2 SssdxyE222 4 结合 所以 Sv24 SssSssdxydE222 44 5 10 设矩形口径尺寸为 a b 口径场沿 a 边呈余弦分布 相位同相 欲使两主平面内主瓣 宽度相等 求口径尺寸之间关系 解 查表 5 1 口径场沿 a 边呈余弦分布 则其 H 面主瓣宽度为 68 a 口径场沿 b 边呈 均匀分布 则其 E 面主瓣宽度为 51 b 若两者相等 则有 68 a 51 b 因此可得 a b 1 33 45 5 12 口径场相位偏差主要有哪几种 它们对方向图的影响如何 答 偏差种类 对方向图的影响 直线率相位偏差 最大辐射方向偏移 平方率相位偏差 零点模糊 主瓣展宽 主瓣分裂 方向性系数下降 立方率相位偏差 最大辐射方向的偏转 方向图不对称 主瓣一侧产生较大副瓣 46 第六章 6 6 工作于 X 波段 8 2 12 4GHz 的矩形喇叭 口径尺寸为 7 4 5 5cm2 它在频段内 3 个 点的增益系数为 8 2GHz 14 8dB 10 3GHz 16 5dB 12 4GHz 18 0dB 求此天线在 频段内相应频率上的有效面积及口面利用系数 解 有效面积的公式为 GSe 42 口面利用系数的公式为 波长与频率的关系为 cm 30 f GHz 因此本题可列表回答 f GHz G dB G 线性值 波长 cm 有效面积 Se cm2 口面利用系数 8 2 14 8 30 20 3 66 32 17 0 79 10 3 16 5 44 67 2 91 30 15 0 74 12 4 18 0 63 10 2 42 29 39 0 72 47 6 9 简述旋转抛物面天线的结构及其工作原理 它有哪些特点 馈源 抛物面 准线 结构示意图 旋转抛物面天线由放置在焦点处的弱方向性馈源和金属制成的抛物反射面构成 利用电磁 波的似光性工作 由馈源发出的球面波照射到反射面上 致口面处由于波程相等导致的相 位相同变成了平面电磁波 具有良好的方向性 48 6 14 试述卡塞格伦天线的结构及其工作原理 与抛物面天线比较它有哪些优点 主反射面 副反射面 馈源 F 1 F 2 N M P 结构 由主反射面 副反射面 馈源组成 工作原理 由馈源发出的球面波经双曲面副反射面及旋转抛物面主反射面反射后 变成口 面上的平面波 由于口面尺寸远大于波长 所以卡塞格伦天线具有极强的方向性 优点 口面利用系数高 馈线长度可减小 纵向尺寸小 可减小失配 缺点 副反射面边缘绕射效应比较大 引起口径场振幅起伏和相位畸变 增益下降 副瓣电平升高 49 第八章 8 2 欲测试 3 公分波段矩形角锥喇叭的方向图 被测和辅助喇叭类型和尺寸相同 口径尺 寸 19 4 14 4cm2 中心波长 0 3 2cm 试确定最小测试距离 最小测试距离公式 21minDr 式中 2129 4 4 cD 0 3 2cm 代入得 rmin 1464 1cm 14 6m 50 8 5 试推导自由空间功率传输公式 Pr Pin 4 r 2GtGr 证明 满足三条件 极化匹配 阻抗匹配 最大方向对准 的情况下 根据天线增益的 定义 可以得到发射天线在接收天线处产生的辐射场的最大功率密度为 ttinGrPS2max4 接收天线的有效面积为 reS 42 因此接收天线得到的最大接收功率为 rtiner GPrSP2max4 所以有 P r Pin 4 r 2GtGr