2017全国初中数学联赛初二卷

2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、 选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1. 已知实数满足，则的值为（ ）.A. 2 B. 1 C. 0 D.2. 已知实数满足，则的值为（ ）.A. 125 B. 120 C. 100 D. 813. 若正整数满足且，则称为好数组.那么好数组的个数为（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 14. 已知正整数满足，则的值为（ ）.A. 424 B. 430 C. 441 D. 4605. 梯形ABCD中，ADBC，则梯形的面积为（ ）.A. B. C. D.6. 如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在AB上，若，则的值为（ ）.A. 56 B. 58 C. 60 D. 62二、 填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 使得等式成立的实数的值为_.2. 已知ABC的三个内角满足.用表示中的最小者，则的最大值为_.3. 设是两个互质的正整数，且为质数.则的值为_.4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.第二试一、 （本题满分 20 分）设是两个不同的两位数，且是由交换个位数字和十位数字所得，如果是完全平方数，求的值.二、 （本题满分 25 分）如图，ABC中，D为BC的中点，平分，平分，P为AD与EF的交点.证明：.三、 （本题满分 25 分）已知是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、 选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1. 已知实数满足，则的值为（ ）.A. 2 B. 1 C. 0 D.答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把，看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为，解得，所以.2. 已知实数满足，则的值为（ ）.A. 125 B. 120 C. 100 D. 81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设，则，由.则.3. 若正整数满足且，则称为好数组.那么好数组的个数为（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过且的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若为好数组，则，即，显然或.若，则，即，可得或，共个好数组.若，则或，可得；，不是整数舍去，共个好数组.共个好数组.4. 已知正整数满足，则的值为（ ）.A. 424 B. 430 C. 441 D. 460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去整理后，通过是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得，则，即.当时，均无与之对应的正整数；当时，符合要求，此时，代入验证满足原方程.因此，则.5. 梯形ABCD中，ADBC，则梯形的面积为（ ）.A. B. C. D.答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AEDC，AHBC，则ADCE是平行四边形，则，则ABE是等腰三角形，经计算可得.所以梯形ABCD的面积为.6. 如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在AB上，若，则的值为（ ）.A. 56 B. 58 C. 60 D. 62答案：B对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形RtEAD中去，利用勾股定理求解.解析：作CFAD，交AD的延长线于点F，将CDF绕点C逆时针旋转至CGB，则ABCF为正方形，可得ECGECD，.设，则，.在RtEAD中，有，解得.二、 填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1. 使得等式成立的实数的值为_.答案：8对应讲次：所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得.令，则，代入整理可得，解得，舍负，即或，验证可得.2. 已知ABC的三个内角满足.用表示中的最小者，则的最大值为_.答案：对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况.解析：，又当时，可以取到.则的最大值为.3. 设是两个互质的正整数，且为质数.则的值为_.答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为是质数，只能拆成1和p，另一方面通过、a、b两两互质来拆分的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为互质，所以、a、b两两互质，因为质数，所以可得，不是质数舍；可得，符合题意.则.4. 20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为_.答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为，考虑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由可知，存在数列和为34的情况.第二试一、 （本题满分 20 分）设是两个不同的两位数，且是由交换个位数字和十位数字所得，如果是完全平方数，求的值.答案：对应讲次：所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数设为，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设，则，由不同得，. 5分由是完全平方数，则，可得， 10分也是完全平方数，所以或. 15分若，则，；若，则没有正整数解.因此，. 20分二、 （本题满分 25 分）如图，ABC中，D为BC的中点，平分，平分，P为AD与EF的交点.证明：.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为、都在DEF中，所以想办法推出其性质，比较容易得出，此时若能得出，则自然可以得到结论.解析：由平分，平分，可得. 5分由得BEDF，则. 10分又，则BEDDFC，. 15分得四边形BDFE是平行四边形，. 20分又EDF是直角三角形，. 25分三、 （本题满分 25 分）已知是不全相等的正整数，且为有理数，求的最小值.答案：3对应讲次：所属知识点：数论思路：通过是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.注意到，可以通过分母有理化来实现分离，再利用互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.解析：，由是有理数，可得. 10分. 15分不妨设，若，因为，则，取等号当且仅当时. 20分若，因为，则.所以的最小值为3，当，时. 25分