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椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用江西省上犹中学 刘鹏关键词：椭圆 焦点弦 弦长公式 应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即或者，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.椭圆方程可化为，直线l过右焦点，则可以假设直线为：(斜率不存在即为时)，代入得：，整理得，（1）若直线l的倾斜角为，且不为,则，则有：,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为.（2）若，则，带入,得通径长为，同样满足式.并且由,当且仅当即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.解：如右图所示，连结，设，假设直线的倾斜角为，则由椭圆定义可得，在中，由余弦定理得，化简可得，在中，由余弦定理同理可得，则弦长.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.解：由解法一知.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么故后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为，左右焦点分别为，直线l过椭圆的右焦点交椭圆于两点，求弦长.解：利用仿射性，可做如下变换，则原椭圆变为，这是一个以原点为圆心，为半径的圆.假设原直线的斜率为，则变换后斜率为.椭圆中弦长，经过变换后变为，带入，得变换前后弦长关系为而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为，圆心到直线的距离为，根据半径为，勾股定理求得弦长为，将此结果带入中，得，由，带入得.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1 已知椭圆，过椭圆焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，求.分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，,带入得.例2 已知点在椭圆：上，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆经过原点的弦，且，,试判断是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.解：（1）由题知，将点带入得，又，解得，故椭圆方程为.（2）假设，则，设倾斜角为，则，根据过焦点的弦长公式则，故.例3 如图，已知椭圆的左右焦点为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，交于点(在轴下方)，且，求四边形的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成的点在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设的倾斜角为,则的倾斜角为，由椭圆的焦点弦长公式得：,，,设设，则,带入得即,此时，即，得到.综上，四边形的最大值为.此时，得到的倾斜角为,刚好两直线关于轴对称，如右图所示.
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