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华罗庚学校数学课本：四年级（上册）第一讲 速算与巧算（三）例1 计算999999999999999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成10001去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 999999999999999（101）（100-1）（10001）（10000-1） （100000-1）10100100010000100000-5111110-5111105.例2 计算19999919999199919919解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 1991200） 19999919999199919919（199991）（199991）（19991）（1991） （191）520000020000200020020-5222220-522225.例3 计算（1351989）（2461988）解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是： 从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.19904979951990497995.例4 计算 389387383385384386388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 38938738338538438638839071375642730282702.解法2：也可以选380为基准数，则有 389387383385384386388380797354682660422702.例5 计算（494249434938493949414943）6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. （494249434938493949414943）6（49406232113）6（494066）6（这里没有把49406先算出来，而是运49406666运用了除法中的巧算方法）494014941.例6 计算54999945解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了. 54999945（5445）999999999999（199）991009900.例7 计算 9999222233333334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为33333，规律就出现了. 99992222333333343333322223333333433336666333333343333（66663334）33331000033330000.例8 1999999999解法1：199999999910009999999991000999（1999）100099910001000（9991）100010001000000.解法2：19999999991999999（1000-1）1999999000-999（1999-999）99900010009990001000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998899988998898882.计算799999799997999799793.计算（198819861984642）（135198319851987）4.计算1234561991199219935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从125的全体自然数之和.7.计算 10009999989979969959949931081071061051041031021018.计算9294899395889496879.计算（12599125）1610.计算 399939988292911.计算9999997805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？第二讲 速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A987654321123456789，B987654322123456788.分析 经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A987654321123456789 987654321（1234567881） 987654321123456788987654321.B987654322123456788 （9876543211）123456788 987654321123456788123456788.因为 987654321123456788，所以 AB.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241249 242248 243247244246 245245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241249（2401）（2501）24025019；242248（2402）（2502）24025028；243247（240 3）（250 3） 24025037；244246（2404）（2504）24025046；245245（2405）（250 5）24025055.恒等变形以后的各式有相同的部分 240 250，又有不同的部分 19， 28， 37， 4 6， 55，由此很容易看出 245245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：101928374655则5525积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：198659930.例4 2、4、6、8、10、12是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为 320564，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x2、x1、x、x1、x2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n1个连续自然数可以表示为：xn，xn1，xn2， x1， x， x1，xn1，xn，其中 x是这2n1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将11001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：1986，2529，1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.1986不是9的倍数，故不行；25299281，是9的倍数，但是28174071，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；19899221，是9的倍数，且22173174，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a141731）.右图填满后，这30个数的总和是多少？ 2.有两个算式：9876598769，98766 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568764和567765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？ 199219991999 199319981998 199419971997 1995199619965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？ 第三讲 定义新运算我们学过的常用运算有：、等.如：235 236都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“”，“”，“”，“”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定ab3a2b，求 32， 23；这个运算“”有交换律吗？求（176）2，17（62）；这个运算“”有结合律吗？如果已知4b2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解： 32 33-229-4 5233223660.由的例子可知“”没有交换律.要计算（176）2，先计算括号内的数，有：176317-2639；再计算第二步3923 39-22113，所以（176）2113.对于17（62），同样先计算括号内的数，6236-2214，其次171431721423，所以17（62）23.由的例子可知“”也没有结合律.因为4b34-2b12-2b，那么12-2b2，解出b5.例2 定义运算为abab（ab），求57，75；求12（34），（123）4；这个运算“”有交换律、结合律吗？如果3（5x）3，求x.解： 5757（57）35-1223，7 5 75（75）35-1223.要计算12（34），先计算括号内的数，有：3434（34）5，再计算第二步125125（125）43，所以 12（34）43.对于（123）4，同样先计算括号内的数，123123（123）21，其次214214（214）59，所以（12 3）459.由于abab（ab）；baba（ba）ab（ab）（普通加法、乘法交换律）所以有abba，因此“”有交换律.由的例子可知，运算“”没有结合律.5x5x（5x）4x5；3（5x）3（4x5）3（4x5）（34x5）12x15（4x2） 8x 13那么 8x133 解出x2例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“”如下：x*y=mx+ny，xy=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）4=64，求（12）*3的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求12）*3的值，首先我们要计算12，根据“”的定义：12=k12=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l2的值也就计算出来了，我们设12=a.(12）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（12）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）4=64求出 k的值.解：因为1*2=m1+n2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：当m=1，n=2时：（2*3）4=（12+23）4=84=k84=32k有32k=64，解出k=2.当m=3，n=1时：（2*3）4=（32+13）4=94=k94=36k所以m=l，n=2，k=2. （12）*3=（212）*3=4*3=14+23=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三第四讲 等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：l，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，7，9，11，13. 2，4，6，8，10，12，14 3，6，9，12，15，18，21.100，95，90，85，80，75，70.20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列中，d=2-1=3-2=4-3=1；数列中，d=3-1=5-3=13-11=2；数列中，d=100-95=95-90=75-70=5；数列中，d=20-18=18-16=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.6，10，14，18，22，98；1，2，1，2，3，4，5，6； 1，2，4，8，16，32，64； 9，8，7，6，5，4，3，2；3，3，3，3，3，3，3，3；1，0，1，0，l，0，1，0；解：是，公差d=4.不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.不是，因为4-22-1.是，公差d=l.是，公差d=0.不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，第n项记为an，an。又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.二、通项公式对于公差为d的等差数列a1，a2，an来说，如果a1；小于a2，则由此可知： (1)若a1；大于a2，则同理可推得：(2) 公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.例2 求等差数列1，6，11，16的第20项.解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：第20项a20=a1=（20-1）5=1+195=96.一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式： 例3 已知等差数列2，5，8，11，14，问47是其中第几项？解：首项a1=2，公差d=5-2=3令an=47则利用项数公式可得：n=（47-2）3+1=16.即47是第16项.例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.分析与解答方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.因为a4=a1+3d，又a4=21，所以a1=21-3d又a6=a1+5d，又a6=33，所以a1=33-5d所以：21-3d=33-5d，所以d=6 a1=21-3d=3，所以 a8=3+76=45.方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d，其中a6已知，只要求2d即可.又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d，所以 2d=a6-a4所以a8=3+76=45方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便.三、等差数列求和若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3an可以写为a1,a1+d,a1+d2，a1+d（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=an-1+a2=an+a1.设 Sn=a1+a2+a3+an则 Sn=an+an-1+an-2+a1两式相加可得：2Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+(an+a1)即：2Sn=n（a1+an）,所以，例5 计算 1+5+9+13+17+1993.当a1；大于a2。时，同样也可以得到上面的公式.这个公式就是等差数列的前n项和的公式.解：因为1，5，9，13，17，1993是一个等差数列，且al=1，d=4，an=1993.所以，n=（ana1）d+1=499.所以，1+5+9+13+17+1993=（1+1993）4992=997499=497503.题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：这个定理称为中项定理.例6 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14， 容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2， d=4， an=2106，贝n=（an-a1）d+1=527这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）4=1054.方法2：（a1+an）n2=（2+2106）5272=555458（块）.则中间一项为（a1+an）2=1054a1=2， d=4， an=2106，这堆砖共有 1054527=555458（块）.n=（an-a1）d+1=527例7 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.解：根据题意可列出算式：（2+4+6+8+2000）-（1+3+5+1999）解法1：可以看出，2，4，6，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=10001=1000.例8 连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？分析与解答方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为549=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）92=126.方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+89=126.在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+an）n2，则 a1+a9=5429.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.例9 100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？分析与解答方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=84502100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46134.这些数构成等差数列，和为（36+134）502=4250.方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）2=4250.四、等差数列的应用例10 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为2107=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.例11 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.分析与解答因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.例12 从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？解：设满足条件的两数为a、b，且ab，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.若a=25，则b=26，27，50，共25种.若a=26，则b=27，28，50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，50，共23种.若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+25+24+23+22+l=2（1+2+3+24）+25=625.例13 x+y+z=1993有多少组正整数解显然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整数解的组数是：l+2+3+1991=1983036.本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.例13 把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197排在第几行的第几个数？第10行的第9个数是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49 分析与解答197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数. 第2行有3个数. 第3行有5个数 第n行有2n-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+（2n-1）=1+（2n-1）n2=nn因为99991010.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为99+9=90），它是179.例14 将自然数如下排列，1 2 6 7 15 16 3 5 8 14 17 4 9 13 18 10 12 11 在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析与解答不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45，就成为三角阵（如右图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+n-119931+2+3+n即：n（n-1）21993n（n+1）2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.习题四1.求值： 6+11+16+501. 101+102+103+104+999.2.下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，3.11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外8个连续自然数中的最小数是多少？4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？5.300到400之间能被7整除的各数之和是多少？6.100到200之间不能被3整除的数之和是多少？7.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？8.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.1，2，3，4，5，698，99，1002，3，4，5，6，799，100，1013，4，5，6，7，8100，101，102100，101，102，103，104，105197，198，199第五讲 倒推法的妙用在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？把一个数用来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：（8）107456.如何求出中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56414.14是除以7后得到的，除以7之前是14798.98是加10后得到的，加10以前是98-1088.88是减8以后得到的，减8以前是88896.这样倒推使问题得解.解：（8）107456 （8）107564答：于昆这次数学考试成绩是96分.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：从结果出发，逐步向前一步一步推理.在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少716，而把十位上的7看成1，使差增加701060.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.解：111（7010）（71）57答：正确的答案是57.例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48316（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16610（只）.同理，第二棵树上原有鸟166814（只）.第一棵树上原落鸟16824（只），使问题得解.解：现在三棵树上各有鸟多少只？48316（只）第一棵树上原有鸟只数. 16824（只）第二棵树上原有鸟只数.166814（只）第三棵树上原有鸟只数.16610（只）答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？分析 依题意，画图进行分析.解：列综合算式：（11）2121222（个）答：篮子里原有梨22个.例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油1521416（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.解：甲乙两桶油共剩多少千克？152-1416（千克）乙桶油剩多少千克？16（31）4（千克）甲桶油剩多少千克？4312（千克）用倒推法画图如下：从甲桶卖出油多少千克？ 15-114（千克）从乙桶卖出油多少千克？ 15510（千克）答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.解：剩余的白菜是多少千克？18003600（千克）第二天运进200千克后的一半是多少千克？60030630（千克）第二天运进200千克后有白菜多少千克？63021260（千克）原来的一半是多少千克？12602001060（千克）原有贮存多少千克？106022120（千克）答：菜站原来贮存大白菜2120千克.综合算式：（1800330）220022120（千克）答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.习题五1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11。”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？第六讲 行程问题（一）我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程速度时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基础上，主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题，下面，我们来具体看几个例子.例1 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？分析 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6410（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.解：30（64）30103（小时）答：3小时后两人相遇.例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：路程速度和时间. 例2 一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？分析 货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（4515）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（126）小时，而客车已行（1262）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.解：甲、乙两地之间的距离是： 45（126）（4515）（1262）456604510（千米）.客车行完全程所需的时间是： 510（4515）510608.5（小时）.客车到甲地时，货车离乙地的距离： 51045（8.52）510472.537.5（千米）.答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.例3 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000360010（米），乙车的速度是每秒钟54000360015（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（1015）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（1015）14350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.解：（1015）14 350（米）答：乙车的车长为350米.我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立.例4 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？分析 甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.解：AB间的距离是 6434819248144（千米）.两次相遇点的距离为 144486432（千米）.答：两次相遇点的距离为32千米.例5 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？分析 甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4142）5小时.这样就可求出甲的速度.解：甲的速度为：100（4142）10O520（千米/小时）.乙的速度为：20210（千米/小时）.答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.例6 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？分析 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和.列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250210）米时，所用的时间为（2523）秒.由此可求得列车的车速为（250210）（2523）20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为2025250250（米），从而可求出错车时间.解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000360020（米/秒），某列车的速度为：（25O210）（2523）40220（米/秒）某列车的车长为：2025-250500-250250（米），两列车的错车时间为：（250150）（2020）4004010（秒）.答：错车时间为10秒.例7 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.分析 甲车每小时比乙车快60-4812（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12560（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-51小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为601-4812（千米/小时）卡车在与甲相遇后，再走8-53（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：（605-123）833（千米/小时）.解：卡车的速度：（60-48）5（65）4812（千米/小时），丙车的速度：（605123）833（千米/小时），答：丙车的速度为每小时33千米.注：在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如5米/秒表示为每秒钟走5米.习题六1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小时相遇，又已知甲比乙每小时