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第四讲 导数及其应用（文）高考在考什么【考题回放】1已知对任意实数，有，且时，则时（ B ）ABCD2曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）3若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A A B C D4函数，已知在时取得极值，则=（B）A.2B.3C.4D.55已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则326已知函数的图象在点处的切线方程是，则37设a为实数,函数 ()求f(x)的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)轴仅有一个交点.解：(I)=321若=0，则=，=1当变化时，变化情况如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值f(x)的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有f(x)0，取足够小的负数时有f(x)0，所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点结合f(x)的单调性可知：当f(x)的极大值0即(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点，它在(，)上。当(1，+)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点高考要考什么导数的几何意义：函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；2求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y，3）、令y0(y0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y0时，f(x)在相应区间上是减函数3求极值常按如下步骤： 确定函数的定义域； 求导数； 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。4设函数f(x)在a,b上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在a,b上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。5最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 突 破 重 难 点【范例1】已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.（1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故f(x)在上是增函数，f(x)在上是增函数.若，则，故f(x)在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【范例2】(安徽文)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，将f(x)的最小值记为g(t).()求g(t)的表达式；()诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.解：（I）我们有 由于，故当时，达到其最小值，即 （II）我们有列表如下：极大值极小值由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力【范例2】已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故变式：设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围解：（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为7
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