二次函数教案(全)

1 课题 1 1 二次函数 教学目标 1 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程 进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系 2 理解二次函数的概念 掌握二次函数的形式 3 会建立简单的二次函数的模型 并能根据实际问题确定自变量的取值范围 4 会用待定系数法求二次函数的解析式 教学重点 二次函数的概念和解析式 教学难点 本节 合作学习 涉及的实际问题有的较为复杂 要求学生有较强的概括 能力 教学设计 一 创设情境 导入新课 问题 1 现有一根 12m 长的绳子 用它围成一个矩形 如何围法 才使举行的面积最 大 小明同学认为当围成的矩形是正方形时 它的面积最大 他说的有道理吗 问题 2 很多同学都喜欢打篮球 你知道吗 投篮时 篮球运动的路线是什么曲线 怎样计算篮球达到最高点时的高度 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决 今天我们学习 二次函数 板书课题 二 合作学习 探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量 y 与 x 之间的关系 1 面积 y cm2 与圆的半径 x Cm 2 王先生存人银行 2 万元 先存一个一年定期 一年后银行将本息自动转存为又一个 一年定期 设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息 y 元 3 拟建中的一个温室的平面图如图 如果温室外围是一个矩形 周长为 12Om 室内 通道的尺寸如图 设一条边长为 x cm 种植面积为 y m2 1 1 1 3x 一 教师组织合作学习活动 1 先个体探求 尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式 2 上述三个问题先易后难 在个体探求的基础上 小组进行合作交流 共同探讨 1 y x 2 2 y 2000 1 x 2 20000 x2 40000 x 20000 3 y 60 x 4 x 2 x2 58x 112 二 上述三个函数解析式具有哪些共同特征 让学生充分发表意见 提出各自看法 2 教师归纳总结 上述三个函数解析式经化简后都具 y ax bx c a b c 是常数 a 0 的 形式 板书 我们把形如 y ax bx c 其中 a b C 是常数 a 0 的函数叫做二次函数 quadratic funcion 称 a 为二次项系数 b 为一次项系数 c 为常数项 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数 一次项系数和常数项 二 做一做 1 下列函数中 哪些是二次函数 1 2 3 4 2xy 21xy 12 xy 1 xy 5 2 分别说出下列二次函数的二次项系数 一次项系数和常数项 1 2 3 1 xy12732 xy 1 2xy 3 若函数 为二次函数 则 m 的值为 mx 2 三 例题示范 了解规律 例 1 已知二次函数 当 x 1 时 函数值是 4 当 x 2 时 函数值是 qpxy 2 5 求这个二次函数的解析式 此题难度较小 但却反映了求二次函数解析式的一般方法 可让学生一边说 教师一 边板书示范 强调书写格式和思考方法 练习 已知二次函数 当 x 2 时 函数值是 3 当 x 2 时 函数值cbxay 2 是 2 求这个二次函数的解析式 例 2 如图 一张正方形纸板的边长为 2cm 将它剪去 4 个全等的直角三角形 图中 阴影部分 设 AE BF CG DH x cm 四边形 EFGH 的面积为 y cm2 求 1 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 2 当 x 分别为 0 25 0 5 1 5 1 75 时 对应的四边形 EFGH 的面积 并列表表 示 A BE F CGD H 3 方法 1 学生独立分析思考 尝试写出 y 关于 x 的函数解析式 教师巡回辅导 适时点 拨 2 对于第一个问题可以用多种方法解答 比如 求差法 四边形 EFGH 的面积 正方形 ABCD 的面积 直角三角形 AEH 的面积 DE4 倍 直接法 先证明四边形 EFGH 是正方形 再由勾股定理求出 EH2 3 对于自变量的取值范围 要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定 4 对于第 2 小题 在求解并列表表示后 重点让学生看清 x 与 y 之间数值的对 应关系和内在的规律性 随着 x 的取值的增大 y 的值先减后增 y 的值具有对称性 练习 用 20 米的篱笆围一个矩形的花圃 如图 设连墙的一边为 x 矩形的面积为 y 求 1 写出 y 关于 x 的函数关系式 2 当 x 3 时 矩形的面积为多少 a4 cb2 四 归纳小结 反思提高 本节课你有什么收获 五 布置作业 课本作业题 1 2 二次函数的图像 1 教学目标 1 经历描点法画函数图像的过程 2 学会观察 归纳 概括函数图像的特征 3 掌握型二次函数图像的特征 4 经历从特殊到一般的认识过程 学会合情推理 教学重点 型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 2axy 教学难点 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像 该过程较为复杂 教学设计 一 回顾知识 前面我们在学习正比例函数 一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的 先 用描点法画出函数的图像 再结合图像研究性质 引入 我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数 先从最特殊的形式即 入2axy 手 因此本节课要讨论二次函数 的图像 2axy 0 x 4 板书课题 二次函数 图像2axy 0 二 探索图像 1 用描点法画出二次函数 和 图像22xy 1 列表 x 2 1 1 10 11 22 2y 4 21 40 421 44 x 4 1 0 1 4 引导学生观察上表 思考一下问题 无论 x 取何值 对于 来说 y 的值有什么特征 对于 来说 又有什么2x 2xy 特征 当 x 取 等互为相反数时 对应的 y 的值有什么特征 1 2 2 描点 边描点 边总结点的位置特征 与上表中观察的结果联系起来 3 连线 用平滑曲线按照 x 由小到大的顺序连接起来 从而分别得到 和2xy 的图像 2xy 2 练习 在同一直角坐标系中画出二次函数 和 的图像 2xy 2xy 学生画图像 教师巡视并辅导学困生 利用实物投影仪进行讲评 3 二次函数 的图像2axy 0 由上面的四个函数图像概括出 1 二次函数的 图像形如物体抛射时所经过的路线 我们把它叫做抛物线 2 2 这条抛物线关于 y 轴对称 y 轴就是抛物线的对称轴 3 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 注意 顶点不是与 y 轴的交点 4 当 时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线上的最低点 图像在 x 轴的上oa 方 除顶点外 当 时 抛物线的开口向下 顶点是抛物线上的最高点图oa 像在 x 轴的 下方 除顶点外 最好是用几何画板演示 让学生加深理解与记忆 三 课堂练习 观察二次函数 和 的图像2y 2x 1 填空 抛物线 2xy 2xy 顶点坐标 5 对称轴 位 置 开口方向 2 在同一坐标系内 抛物线 和抛物线 的位置有什么关系 如果在同一2xy 2xy 个坐标系内画二次函数 和 的图像怎样画更简便 a 抛物线 与抛物线 关于 x 轴对称 只要画出 与 中的一条2xy 2y 2axy2x 抛物线 另一条可利用关于 x 轴对称来画 四 例题讲解 例题 已知二次函数 的图像经过点 2 3 2ay0 1 求 a 的值 并写出这个二次函数的解析式 2 说出这个二次函数图像的顶点坐标 对称轴 开口方向和图像的位置 练习 1 课本第 31 页课内练习第 2 题 2 已知抛物线 y ax2 经过点 A 2 8 1 求此抛物线的函数解析式 2 判断点 B 1 4 是否在此抛物线上 3 求出此抛物线上纵坐标为 6 的点的坐标 五 谈收获 1 二次函数 y ax2 a 0 的图像是一条抛物线 2 图象关于 y 轴对称 顶点是坐标原点 3 当 a 0 时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线上的最低点 当 a0 时 抛物线的开口向上 顶点是抛物线上的最低点 当 a 0 时 抛物线的开口向下 顶点是抛物线上的最高点 三 巩固知识 1 例 1 求抛物线 的对称轴和顶点坐标 25312 xy 有由学生自己完成 师生点评后指出 求抛物线的对称轴和顶点坐标可以采用配方法 或者是用顶点坐标公式 2 做一做课本第 36 页的做一做和第 37 页的课内练习第 1 题 3 补充例题 例 2 已知关于 x 的二次函数的图像的顶点坐标为 1 2 且图像过 点 1 3 1 求这个二次函数的解析式 2 求这个二次函数的图像与坐标轴的交点坐标 此小题供血有余力的学生解答 分析与启发 1 在已知抛物线的顶点坐标的情况下 将所求的解析式设为什么比 y 10 较简便 4 练习 1 课本第 37 页课内练习第 3 题 2 探究活动 一座拱桥的示意图如图 图在书上第 37 页 当水面宽 12m 时 桥 洞顶部离水面 4m 已知桥洞的拱形是抛物线 要求该抛物线的函数解析式 你认为首 先要做的工作是什么 如果以水平方向为 x 轴 取以下三个不同的点为坐标原点 1 点 A 2 点 B 3 抛物线的顶点 C 所得的函数解析式相同吗 请试一试 哪一种取法求得的函数解析式最简单 四 小结 1 函数 的图像与函数 的图像之间的关系 cbxay 2 2axy 2 函数 的图像在对称轴 顶点坐标等方面的特征 3 函数的解析式类型 一般式 cbxay 2 顶点式 km 五 布置作业 课题 2 3 二次函数的性质 1 教学目标 1 从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质 2 了解二次函数与二次方程的相互关系 3 探索二次函数的变化规律 掌握函数的最大值 或最小值 及函数的增减性的概念 会 求二次函数的最值 并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点 二次函数的最大值 最小值及增减性的理解和求法 教学难点 二次函数的性质的应用 教学过程 复习引入 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象是一条抛物线 它的开口由什么决定呢 补充 当 a 的绝对值相等时 其形状完全相同 当 a 的绝对值越大 则开口越小 反之成 立 二 新课教学 1 探索填空 根据下边已画好抛物线 y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在 侧 即 x 0 时 y 随着 x 的增大而增大 在 侧 即 x 0 时 11 y 随着 x 的增大而减小 当 x 时 函数 y 最大值是 当 x 0 时 y0 3 归纳 二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象和性质 1 顶点坐标与对称轴 2 位置与开口方向 3 增减性与最值 当 a 0 时 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而减小 在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大而增大 当 时 函数 y 有最小值 当 a 0 时 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大而增大 在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大而减小 当 时 函数 y 有最大值 4 探索二次函数与一元二次方程 二次函数 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2 的图象如图所示 1 每个图象与 x 轴有几个交点 2 一元二次方程 x2 2x 0 x2 2x 1 0 有几个根 验证一下一元二次方程 x2 2x 2 0 有根吗 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2 bx c 0 的根有什么关系 归纳 3 二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点有三种情况 有两个交点 0 y 2x2 0 y 2x2y xa2b ax a4cb 2 a4c2 12 有一个交点 没有交点 当二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴有交点时 交点的横坐标就是当 y 0 时自 变量 x 的值 即一元二次方程 ax2 bx c 0 的根 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有两个交点 交点的横坐标是一元二次方程 0 ax2 bx c 的两个根 x1与 x2 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴有且只有一个公共点 当 b2 4ac 0 时 抛物线与 x 轴没有交点 举例 求二次函数图象 y x2 3x 2 与 x 轴的交点 A B 的坐标 结论 1 方程 x2 3x 2 0 的解就是抛物线 y x2 3x 2 与 x 轴的两个交点的横坐标 因 此 抛物线与一元二次方程是有密切联系的 即 若一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根是 x1 x 2 则抛物线 y ax2 bx c 与轴的两 个交点坐标分别是 A x 1 0 B x 2 0 5 例题教学 例 1 已知函数 写出函数图像的顶点 图像与坐标轴的交点 以及图像与 y 轴的交点关于图象对称 轴的对称点 然后画出函数图像的草图 2 自变量 x 在什么范围内时 y 随着 x 的增大而增大 何时 y 随着 x 的增大而减少 并求出函数的最大值或最小值 归纳 二次函数五点法的画法 三 巩固练习 请完成课本练习 p42 1 2 四 尝试提高 1 五 学习感想 1 你能正确地说出二次函数的性质吗 2 你能用 五点法 快速地画出二次函数的图象吗 你能利用函数图象回答有关性 质吗 六 作业 作业本 课本作业题 1 2 3 4 课题 1 3 二次函数的性质 2 教学目标 1 掌握二次函数解析式的三种形式 并会选用不同的形式 用待定系数法求二次函 数的解析式 2 能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向 顶点坐标 和对称轴 最值和 增减性 3 能根据二次函数的解析式画出函数的图像 并能从图像上观察出函数的一些性质 教学重点 二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质 教学难点 利用图像观察性质 教学设计 一 复习 1 抛物线 的顶点坐标是 对称轴是 在 5 4 22 xy 57y 13 侧 即 x 0 时 y 随着 x 的增大而增大 在 侧 即 x 0 时 y 随着 x 的增大而减小 当 x 时 函数 y 最 值是 2 抛物线 的顶点坐标是 对称轴是 在 6 3 22 侧 即 x 0 时 y 随着 x 的增大而增大 在 侧 即 x 0 时 y 随着 x 的增大而减小 当 x 时 函数 y 最 值是 二 例题讲解 例 1 根据下列条件求二次函数的解析式 1 函数图像经过点 A 3 0 B 1 0 C 0 2 2 函数图像的顶点坐标是 2 4 且经过点 0 1 3 函数图像的对称轴是直线 x 3 且图像经过点 1 0 和 5 0 说明 本题给出求抛物线解析式的三种解法 关键是看题目所给条件 一般来说 任 意给定抛物线上的三个点的坐标 均可设一般式去求 若给定顶点坐标 或对称轴或 最值 及另一个点坐标 则可设顶点式较为简单 若给出抛物线与 x 轴的两个交点坐 标 则用分解式较为快捷 例 2 已知函数 y x2 2x 3 把它写成 的形式 并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移kmay 2 得到的 2 写出函数图象的对称轴 顶点坐标 开口方向 最值 3 求出图象与坐标轴的交点坐标 4 画出函数图象的草图 5 设图像交 x 轴于 A B 两点 交 y 轴于 P 点 求 APB 的面积 6 根据图象草图 说出 x 取哪些值时 y 0 y0 说明 1 对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形 做到线段和坐标的互 相转化 2 利用函数图像判定函数值何时为正 何时为负 同样也要充分利用图像 要使 y0 抛物线开口向 a 的符号 a0 抛物线对称轴在 y 轴的 侧 b 0 抛物线对称轴是 轴 b 的符号 b0 抛物线与 y 轴交于 C 0 抛物线与 y 轴交于 c 的符号 c0 acb42 抛物线与 x 轴有 个交点 0 抛物线与 x 轴有 个交点 的符号ab42 0 169t2 260t 676 当 t 时 被开方式 169 t 2 576 有最小值 576 1013 1013 所以当 t 时 S 最小值 24 km 1013 576 答 经过 时 两船之间的距离最近 最近距离为 24km 1013 练习 直角三角形的两条直角边的和为 2 求斜边的最小值 18 三 课堂小结 应用二次函数解决实际问题的一般步骤 四 布置作业 见作业本 课题 1 4 二次函数的应用 3 教学目标 1 继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程 2 会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题 3 发展应用数学解决问题的能力 体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值 教学重点和难点 重点 利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析 即用数学的方式表示问题以 及用数学的方法解决问题 难点 例 3 将现实问题数学化 情景比较复杂 教学过程 例 3 某饮料经营部每天的固定成本为 200 元 某销售的饮料每瓶进价为 5 元 销售单价 元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量 瓶 480 440 400 360 320 280 240 1 若记销售单价比每瓶进价多 x 元时 日均毛利润 毛利润 售价 进价 固定 成本 为 y 元 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量的取值范围 2 若要使日均毛利润达到最大 销售单价应定为多少元 精确到 0 1 元 最大 日均毛利润为多少 练习 课内练习