资源描述
1修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？解：由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/107/100，可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天1/20*（16-x）+7/100*x1x10答：甲乙最短合作10天2甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？解：1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率9/80545/80表示5小时后进水量1-45/8035/80表示还要的进水量35/80（9/80-1/10）35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。3一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？解：由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量（1/4+1/5）29/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。所以19/101/10表示乙做6-42小时的工作量。1/1021/20表示乙的工作效率。11/2020小时表示乙单独完成需要20小时。答：乙单独完成需要20小时。4一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？解：由题意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲0.51（1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）1/甲1/乙+1/甲0.5（因为前面的工作量都相等）得到1/甲1/乙2又因为1/乙1/17所以1/甲2/17，甲等于1728.5天5师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？答案为300个120（4/52）300个可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。6一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？答案是15棵算式：1（1/6-1/10）15棵7一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？答案45分钟。1（1/20+1/30）12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。1/12*（18-12）1/12*61/2 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。1/2181/36 表示甲每分钟进水最后就是1（1/20-1/36）45分钟。8某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？答案为6天解：由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工作量甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3时间比的差是1份实际时间的差是3天所以3（3-2）26天，就是甲的时间，也就是规定日期方程方法：1/x+1/（x+2）2+1/（x+2）（x-2）1解得x69两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？答案为40分钟。解：设停电了x分钟根据题意列方程1-1/120*x（1-1/60*x）*2解得x40一件工作,甲、乙、丙三人合作6小时,乙、丙合作2小时,可以完成这件工作的4/9。如果甲、乙合作3小时，丙做6小时，可以完成这件工作的3/4，甲、乙、丙单独完成这件工作各需多少小时？解：设甲的工作效率为X，乙的工作效率为Y，丙的工作效率为Z。则（X+Y+Z）*6=1；6X+2Y+2Z=2/3；3X+3Y+6Z=2/3解的：X=1/12，Y=1/36，Z=1/18 故甲乙丙单独完成这件工作分别需要12，36，18小时继续追问： 我不会3元方程，能不能不用方程解答 补充回答： 甲工效=2/3-1/62)4=1/12，甲需要12天丙工效=(2/3-1/63)3=1/18，丙需要18天乙工效=4/9-(81/18)-(61/12)/(2+6)=1/36,乙需要36天 补充回答： 纠正：甲乙丙工效之和为1/6乙丙合作两小时，完成了4/9如下三人合作2小时的话应该完成了3*1/6=1/2所以甲工效为(1/2-4/9)/2=1/36,甲需要36天甲乙合作三小时，丙做6小时，相当甲乙丙合作3小时，然后丙再做3小时所以丙工效为(3/4-1/2)/3=1/8,丙需要8天乙工效为1/6-1/8-1/36=1/36,乙需要36天工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“1”，因此工作效率就是工作时间的倒数。它们的基本关系式是：工作总量工作效率工作时间。工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。例1一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少天？思路说明把这项工程的工作总量看作“1”。甲队修建需要12天，修建1天完成这项工程的112；乙队修建需要20天，修建1天完成这项工程的120。甲、乙两队共同修建1天，完成这项工程的112120215，工作总量“1”中包含了多少个215，就是两队共同修建完成这项工程所需要的天数。1（112120）1215152（天）设这项工程的全部工作量为60（12和20的最小公倍数），甲队一天的工作量为60125，乙队一天的工作量为60203，甲、乙两队合建一天的工作量为538。用工作总量除以两队合建一天的工作量，就是两队合建的天数。60（60126020）60（53）608152（天）评点这是一道工程问题的基本题，也是工程问题中常见的题型。上面列举的两种解题方法，前者比较简便。这种解法把工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。练习：一段公路，甲队单独修要10天完成，乙队单独修要12天完成，丙队单独修要15天完成，甲、乙、丙三队合修，需要几天完成？例2一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，多少天完成全部工程的34？思路说明把这项工程的工作总量看作“1”，甲队独做8天完成，一天完成这项工程的18；乙队独做10天完成，一天完成这项工程的110。甲、乙两队合做一天，完成这项工程的18110940，工作总量“1”中包含多少个甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天数。甲乙合做所需时间的34，就是甲乙合做完成全部工程的34所需的时间。1（18110）34194034103（天）把甲、乙两队合做的工作量34，除以甲、乙两队的效率之和18110940，就是甲乙合做完成全部工程的34所需要的时间。34（18110）34940103（天）评点思路是先求出两队合做一项工程所需的时间，再用乘法求出完成全部工程的34所需的时间。思路是把“34”看作工作总量，工作总量除以两队效率之和，就可以求出完成全部工程的34所需的时间。两种思路简捷、清晰，都是很好的解法。练习：一项工程，单独完成，甲队需8天，乙队需12天。两队合干了一段时间后，还剩这项工程的16没完成。问甲、乙两队合干了几天？例3东西两镇，甲从东镇出发，2小时行全程的13，乙队从西镇出发，2小时行了全程的12。两人同时出发，相向而行，几小时才能相遇？思路说明由甲2小时行全程的13。可知甲行完全程要2136（小时）；由乙2小时行全程的12，可知乙行完全程要2124（小时）。求出了甲、乙行完全程各需要的时间，时间的倒数便是各自的速度，进而可求出两人速度之和，把东西两镇的路程看作“1”，除以速度之和，就可求出两人同时出发相向而行的相遇时间。综合算式：1（1（213）1（212）1（1614）1512125（小时）由甲2小时行了全程的13，可知甲每小时行全程的13216；由乙2小时行全程的12，可知乙每小时行全程的12214。把东西两镇的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到两人同时出发相向而行的相遇时间。综合算式：1（132122）1（1614）1512125（小时）评点本题没有直接告诉甲、乙行完全程各需的时间，所以求出甲、乙行完全程各需的时间或各自的速度，是解题的关键所在。练习：打印一份稿件，小张5小时可以打完份稿件的13，小李3小时可以打完这份稿件的14，如果两人合打多少小时完成？例4一项工程，甲、乙合做6天可以完成。甲独做18天可以完成，乙独做多少天可以完成？思路说明把一项工程的工作总量看作“1”，甲、乙合做6天可以完成，甲、乙合做一天，完成这项工程的16，甲独做18天可以完成，甲做一天完成这项工程的118。把甲、乙工作效率之和，减去甲的工作效率118，就可得到乙的工作效率：1611819。工作总量“1”中包含了多少个乙的工作效率，就是乙独做这项工程的需要的时间。1（16118）1199（天）评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题的主要题型之一。主要考查同学们运用分数的基本知识及工程问题的数量关系，解决实际问题的能力。解答这类工程问题的关键是：先求出独做的队或个人的工作效率，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。有的同学在解这道题时，由于审题马虎，而且受基本工程问题解法的影响，错误地列成：1（16118），这是同学们应引起注意的地方。练习：一批货物，用大小两辆卡车同时运送，5小时可以运完。如果用小卡车单独运，15小时可以运完。问大卡车单独运几小时可以运完？例5加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，乙要15天完成，丙要12天完成。如果先由甲、乙两人合做5天后，剩下的由丙1人做，还要几天完成？思路说明题目要求剩下的工作量由丙1人做，还要几天完成，必须知道剩下的工作量和丙的工作效率。加工一批零件，单独1人做，甲要10天完成，甲一天加工一批零件的110；乙要15天完成，乙一天加工一批零件的115；丙要12天完成，丙一天加工一批零件的112。甲、乙合做一天，完成这批零件的11011516，合做5天完成这批零件的16556，工作总量“1”减去甲、乙合做5天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙1人做还要几天完成。综合算式：1（110115）51121165112161122（天）评点这是一道较复杂的工程问题，是工程问题中的主要题型之一，也是升学或毕业考试中最常见的试题之一。它的特点是求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同学由于审题不细，又受前面几例工程问题的解法的影响，容易错误地列成：1（110115）5112练习：加工一批零件，甲独做要8天完成，乙独做要7天完成，丙独做要14天完成，三人合作2天后，甲因病休息，乙、丙两人继续合做还要几天完成？例6一件工程，甲、乙合作6天可以完成。现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙独做又用8天正好做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？思路说明一件工程，甲、乙合作6天可以完成，可知甲、乙合作1天完成这件工程的16，甲、乙合作2天，完成这件工程的16213。用工作总量“1”减去甲、乙合作2天的工作量13，所得的差11323，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙独做用了8天正好做完，用余下的工作量除以8，就可以求出1天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和减去乙的工作效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作总量“1”除以甲的工作效率，就可得到甲独做这件工程所需要的天数了。综合算式：116（1162）8116（113）8116238116112111212（天）评点这也是一道复杂的工程问题。解题的关键是正确求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解题的步骤较多，只有熟悉和掌握工程问题的结构特点和解题思路，熟练掌握前面5道例题的解题方法及解题的技能、技巧，才能正确顺利地解答本题。练习：一项工程，甲、乙两队合做9天完成，乙、丙两队合做12天完成，现在甲、乙两队合做了3天，接着乙、丙两队又合做了6天，最后由丙队单独12天完成了整个工程。如果整个工程由甲、丙两队合做需要几天完成？工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。工程问题是小升初奥数一个重要的分类，下面小编就为大家整理工程问题的基本思路 工程问题的基本数量关系是： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作时间=工作效率 工作总量工作效率=工作时间 上面这些数量关系式是在题目中给出（或间接给出）工作总量和工作效率的具体数量情况下进行解题用的。 如果题目中没有给出工作总量的具体数量，也没有给出工作效率的具体数量，那么我们通常把工作总量看作整体“1”，工作效率表示单位时间内完成工作量的几分之几。 例1：完成一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？ 分析与解答： 分析：先对比如下 一项工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，显而易见甲干2天的工作量，若换成乙干，则需要4天。因此，甲干1天的工作量，若换成乙来干，则需要2天。 解答：甲完成这件工作需要的天数： 562=8（天） 乙完成这件工作需要的天数： 526=16（天） 评注：我们在解难题无从下手时，不妨把题目所交代的条件罗列下来，认真地观察、比较，有时会柳暗花明的。本题运用了整体代换的数学思想，使题目的解答巧妙、简练，更具创造性。 例2：一件工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天半可完成一半。现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等。问：共用多少天？ 分析与解答： 分析：甲队的工作效率的1/12，乙队的工作效率是1/8，甲、乙两队的工作效率和是1/81/12=5/24。由于甲、乙两队合做的时间与乙队单独做的时间相同，所以甲、乙两队合做的工作量与乙队独做的工作量之比是： （1/81/12）：1/8=5：3。 解答：乙队的工作效率：（1/21/123）2=1/8 甲、乙两队合做工作量是这件工程的5/8，乙队单独做的工作量是这件工程的3/8。 完成这件工程的总天数： 3/81/82=6（天） 说明：适时、恰当地运用正、反比例概念，会使问题简单化。 例3：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个。完成任务时，徒弟比师傅少加工120个。这批零件共有多少个？ 分析与解答： 分析：徒弟每小时比师傅少加工4个零件，徒弟比师傅少加工120个零件需要1204=30小时，那么这批零件的总个数是（95）30=420个。 例4：一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成。现在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？ 分析：由已知条件可知，甲、乙的工作效率和是1/6，乙、丙的工作效率和是1/9，甲、丙的工作效率和是1/15，1/61/91/15=31/90，这是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是31/902=31/180，那么甲、乙、丙三人合做需要的天数是131/180=180/31天。 例5：一件工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时两人如此交替工作，那么完成任务用了多少小时？ 分析：由已知条件可知甲的工作效率是1/12，乙的工作效率是1/18。先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，看作是甲、乙合做1小时。可得甲、乙合作完成任务需要的时间是1（1/121/18）=36/5小时，实际上可以理解为甲工作了7小时，乙工作了7小时，剩下的1/36的工作由甲再单独完成。 例6：甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多1/4，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A，结果A、B两项工程同时完成。问：丙队与乙队合作了多少天？ 分析：令A工作总量为1，则B工程的工作总量是5/4，A、B两项工程的工作总量是9/4，则甲、乙、丙三队完成A、B两项工程的时间就可以求出，是9/4（1/201/241/30）=18天。乙队干18天的工作量为1/2418=3/4，剩下的5/43/4=1/2就是丙做的：1/21/30=15天。 说明：正确地区分整体与部分的关系，会使我们准确、全面地把握问题，本题就是把A、B两项工程看作一个整体来思考，不要把A、B两项工程分开。 例7：一水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，当甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟的注水量是甲管每分钟注水量的2倍，则该水箱最多可容纳多少吨水？ 分析：不妨设这个水箱能装X吨水，当甲管注入18吨水时，丙管注入（X18）吨水；当乙管注入27吨水时，丙管注入（X27）吨水。 甲、丙两管的工作效率比是18：（X18），乙、丙两管的工作效率比是27：（X27）。 又因为乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，所以甲、丙两管的工作效率比是（271/2）：（X27）。列方程： 18：（X18）=（271/2）：（X27） X=54 说明：解答工程问题时，方程更是我们的好帮手，尤其是运用等比作等量关系式时更为奇妙！ 例8：某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。 问：如果同时交换A与B、C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？ 分析：本题已知几种情况，都是工作效率在变化，因此可以求出各种情况的工作效率，然后再研究时间的变化。 解答：设工作总量为1，则原来全组每小时完成1/9。 （1）A与B交换，全组工作效率是每小时完成1/8，由于其他工人的工作效率不变，所以A与B多干了1/81/9=1/72； （2）同理，C与D交换后，他们两人每小时也多干了1/72； （3）A与B、C与D同时交换，他们四人每小时多干了2/72，全组平均每小时完成了1/92/72=5/36。 因此，交换后全组完成这项任务需要：15/36=7.2小时，比原来提前了： 97.2=1.8小时=108分钟。 说明：做题时要通过现象看本质
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