平面向量高中人教版.doc

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资源描述
平面向量教学目的:要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已知向量相等,根据图形判定向量是否平行、共线、相等,进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量; 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P分有向线段所成的比的含义和有向线段的定比分点公式,并能应用解题。教学难点:根据图形判定向量是否平行、共线、相等,进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量; 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P分有向线段所成的比的含义和有向线段的定比分点公式,A B一、实例:老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去, 问:猫能否追到老鼠?(画图)结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了。 提出课题:平面向量1 意义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等注意:1数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 A(起点) B(终点)a 2从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。2 向量的表示方法: 1几何表示法:点射线 有向线段具有一定方向的线段 有向线段的三要素:起点、方向、长度AB北 记作(注意起讫) 2字母表示法:可表示为(印刷时用黑体字) P95 例 用1cm表示5n mail(海里)3 模的概念:向量的大小长度称为向量的模。 记作:| 模是可以比较大小的4 两个特殊的向量: 1零向量长度(模)为0的向量,记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2单位向量长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。例:温度有零上零下之分,“温度”是否向量?答:不是。因为零上零下也只是大小之分。 例:与是否同一向量? 答:不是同一向量。 例:有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答:有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。二、向量间的关系:1 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。abc 记作: 规定:与任一向量平行2 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作:= 规定:= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。3 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量。C O B A = = =例:(P95)略变式一:与向量长度相等的向量有多少个?(11个)变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?(存在)变式三:与向量共线的向量有哪些?()三、向量的加法一、 提出课题:向量是否能进行运算?A B C1.某人从A到B,再从B按原方向到C, 则两次的位移和:C A B 2、 若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,A BC 则两次的位移和:3、某车从A到B,再从B改变方向到C,A BC 则两次的位移和:4、船速为,水速为, 则两速度和:提出课题:向量的加法 二、1定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。 注意:;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)a a2三角形法则:Caa+bbabba+ba+bBA 强调: 1“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2可以推广到n个向量连加 3 4不共线向量都可以采用这种法则三角形法则OABaaabbb 3例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点, 作 则4加法的交换律和平行四边形法则 上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到:1向量加法的平行四边形法则 2向量加法的交换律:+=+ABCDaca+b+cba+bb+c5 向量加法的结合律:(+) +=+ (+)证:如图:使, , 则(+) += + (+) =(+) +=+ (+)从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。四、向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法 1“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2规定:零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量,则a = -b, b = -a, a + b = 0 3向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。 即:a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。2 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算:OabBaba-b 若b + x = a,则x叫做a与b的差,记作a - b3 求作差向量:已知向量a、b,求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法:在平面内取一点O, 作= a, = b 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。 注意:1表示a - b。强调:差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一。OABaBb-bbBa+ (-b)aba-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b4 abc a - b = a + (-b) a - b 例一、 设a表示“向东走3km”,b表示“向北走3km”, B a+b bO a A 则a + b表示向东北走km 解:= + (km)例二、 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。A B D CO 证:由向量加法法则: = +, = + 由已知:=, = = 即AB与CD平行且相等 A BO P C E F ABCD为平行四边形例三、 在正六边形中,若= a, = b,试用 向量a、b将、表示出来。 解:设正六边形中心为P 则a + b + a a + b + a + b 由对称性:= b + b + a五、实数与向量的积1引入新课:已知非零向量 作出+和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN=+=3=(-)+(-)+(-)=-3 讨论:13与方向相同且|3|=3| 2-3与方向相反且|-3|=3|2从而提出课题:实数与向量的积 实数与向量的积,记作:定义:实数与向量的积是一个向量,记作: 1|=|20时与方向相同;时 两边向量的方向都与同向当0且1时在平面内任取一点O,作 则+ +由作法知:有OAB=OA1B1 |=| OABOA1B1 AOB= A1OB1 因此,O,B,B1在同一直线上,|=| 与方向也相同AOBB1A1(+)=+ 当0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10内分 0外分 -1 若P与P1重合,=0 P与P2重合 不存在 2 中点公式是定比分点公式的特例3 始点终点很重要,如P分的定比= 则P分的定比=24 公式:如 x1, x2, x, 知三求一例四 过点P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点,使| P1P|:| PP2|=3, 求P点坐标OP1PP2P 解:当P内分时 =3 当P外分时=-3当=3得P(5,0)当=-3得P(8,-3)例五 ABC顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BAC平分线交BC边于D, DBCA求D点坐标解:AD平分角BAC|AC|=|AB|=D分向量所成比=设D点坐标(x, y) 则 D点坐标为:(1,)
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