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求证:恰有一个定义在所有非零实数上的函数f,满足:(1)对任意x0，f(x)=x*f(1/x);(2)对所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y)解：首先，令g(x)=f(x)-1，把条件写成g(x+y)=g(x)+g(y)(1)g(x)+1=xg(1/x)+x(2)(1)称为Cauchy函数方程，一般来讲是需要额外条件(诸如连续性、单调性之类)才能得到g是线性函数，对于这个问题而言，(2)就是所谓的额外条件，所以不再需要连续性的条件。首先，在(2)当中取x=-1得到g(-1)=-1。再对(1)取y=-x-1得-1=g(x-x-1)=g(x)+g(-x)+g(-1)，所以g(-x)=-g(x)，即g是奇函数。将(2)变形为g(x)-x=xg(1/x)-1/x(3)如果存在a0使得g(a)a，那么g(1/a)1/a，利用奇函数的性质，g(-a)=-g(a)-1/a，这样g(1/a)=-g(-1/a)0使得g(a)0时只能有g(a)=a。再利用奇函数的性质得a x2-x-a=0 由=b2-4ac=1+4a=0有a=-1/4 此时切点坐标为(1/2,1/4)在0,2内 那么，直线L2与f(x)在0,1和1,2上分别有一个交点当a(-1/4,0)时【即直线位于L1、L2之间时】，它们就有3个交点 当a-2,-1/4)时，它们就只有1个交点 综上，满足条件的a的值有两个：a=-1/4，或者a=0. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=2x-3，则f(-2)的值等于解：f(x)是定义在R上的奇函数f(-2)= -f(2)=-(22-3)= -1.定义在区间（0，+）上的函数f（x）满足：（1）f（x）不恒为零；（2）对任意aR+，bR，都有f（ab）=bf（a）（）求f（1）的值；（）求证方程f（x）=0有且只有一个实数根；（）若f（2）0，试证f（x）是（0，+）上的增函数（）依题意，令a=1，b=2，即可求得f（1）的值；（）由（1）知，存在x0（0，+），使得f（x0）0，任取x1（0，+）且x11，结合题意即可证得方程f（x）=0有且只有一个实数根；（）对任意的0x1x2+，存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1p2，作差判断即可证得结论解答：（）解：f（ab）=bf（a），令a=1，b=2，f（1）=f（12）=2f（1），f（1）=0（3分）（）证明：由（1）知，存在x0（0，+），使得f（x0）0，显然x01任取x1（0，+）且x11，则必存在实数q，使得x1=x0q，q0由（2）知f（x1）=f（x0q）=qf（x0）0，故f（x）=0有且只有一个实数根x=1（8分）（）证明：对任意的0x1x2+，存在实数p1，p2，使得x1=2p1，x2=2p2，且p1p2，f（x1）-f（x2）=f（2p1）-f（2p2）=p1f（2）-p2f（2）=（p1-p2）f（2）0，f（x1）f（x2），函数f（x）在（0，+）上单调递增（14分）点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性的判断与证明，属于中档题（1）设f（x）是定义在R上奇函数，且当x0时，f（x）=2x-3，则当x0时，求f（x）表达)x+3（2）设f（x）是定义在R上奇函数，且f（x+1）=-f（x），当x（0，1）时，f（x）=2x-3，则x（3，4）时，求f（x）表达式解：（1）设x0，则-x0，f（-x）=2-x-3，f（x）为定义在R上的奇函数f（x）=-f（-x）=-2-x+3=-，当x0时，f（x）=-；（2）因为x（0，1）时，f（x）=2x-3，设x（-1，0）时，-x（0，1），f（-x）=2-x-3，f（x）为定义在R上的奇函数f（x）=-f（-x）=-2-x-3=-，当x（-1，0）时，f（x）=-；所以x（3，4）时，x-4（-1，0），f（x-4）=；f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），f（x）是以2为周期的周期函数，f（x-4）=f（x）=；x（3，4）时，f（x）=；
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