反三角函数求导公式证明

2 3 反函数的导数 复合函数的求导法则 一 反函数的导数 设 yx 是直接函数 xfy 是它的反函数 假定 yx 在 I内单调 可导 而且 0 y 则反函数 xfy 在间 II 内也是单调 可导的 而且 1yxf 1 证明 Ix 给 以增量 x 0 xI 由 fy 在 I 上的单调性可知 xfx 于是 y 1 因直接函数 yx 在 I上单调 可导 故它是连续的 且反函数 xfy 在 I上也是连续的 当0 x 时 必有 0 1limli00yxyx 即 1yxf 例 1 试证明下列基本导数公式 arcsin log l11232xtxa 证 1 设 yxsin 为直接函数 xyrcsin 是它的反函数 函数 i在 2 yI 上单调 可导 且 ycos0 因此 在 1 x上 有 ycos arsin 注意到 当 2 y 时 0 221sin1coxyy 因此 21 arcsin x 证 2 设 xtgy I 则 arctx tgyx 在 I上单调 可导且 0cos12 yx 故 22 2cs 1 xtgytarct 证 3 axa ayyx ln1l 1log 类似地 我们可以证明下列导数公式 arcos ln xxtg 12 二 复合函数的求导法则 如果 xu 在点 0可导 而 ufy 在点 00 x 可导 则复合函数 xfy 在点 0可导 且导数为 00 xufdyx 证明 因 lim0fu 由极限与无穷小的关系 有 0 时当 ufy 用 x去除上式两边得 xuf 0 由 x 在 的可导性有 0 u 0limli0 ux limli0fxy xx 00lili uf 即 00 xfdxy 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述 若 u 在开区间 Ix可导 yfu 在开区间 Iu可导 且 xI时 对应的 uI 则复合函数 xfy 在 I内可导 且 dxuy 2 复合函数求导法则是一个非常重要的法则 特给出如下注记 弄懂了锁链规则的实质之后 不难给出复合更多层函数的求导公式 例 2 xfy 求 dy 引入中间变量 设 v uv 于是 yfu 变量关系是 由锁链规则有 dyxuvdx 2 用锁链规则求导的关键 引入中间变量 将复合函数分解成基本初等函数 还应注意 求导完成后 应将引入的中间变量代换成原自变量 例 3 求 yx sin2的导数 dy 解 设 u 则 ui x 2 由锁链规则有 dxux s cos cs2 例 4 设 ytgx ln2 求 dy 由锁链规则有 dx vuydx 21cos v 基本初等函数求导 21cos xtg 消中间变量 xsin 1 由上例 不难发现复合函数求导窍门 中间变量在求导过程中 只是起过渡作用 熟练之后 可不必引入 仅需 心中有链 然后 对函数所有中间变量求导 直至求到自变量为止 最后诸导数相乘 请看下面的演示过程 2 cos12 21 ln xxtgtxgtdxy xttg in cos21 例 5 证明幂函数的导数公式 1 x 为实数 证明 设 yxe ln1lnln xx