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一、习题详解:3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解:因为 ,所以 0.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解:因为X + Y = 4,所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且 , ,故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值,求(X , Y ) 的概率分布.解:因为,又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 , ,故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量的概率密度函数为: (1) 确定常数;(2) 求(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解:(1)因为由 ,得9a=1,故a=1/9.(2) (3) 3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 求分布函数;(2) 求解:(1) 求分布函数; 当,其他情形,由于=0,显然有=0。综合起来,有(2) 求 3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.解: 3.7设二维随机向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解:因为 所以,X的边缘分布为X13P0.750.25因为 所以,Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解:因为,当时,;其他情形,显然所以,X的边缘分布密度为 又因为,当时,其他情形,显然所以,Y的边缘分布密度为3.9 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解,积分区域显然为三角形区域,当时,因此;其他情形,显然所以,X的边缘分布密度为同理,当时,因此其他情形,显然所以,Y的边缘分布密度为3.10 设二维随机向量的概率密度函数为(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度.解:(1)因为 所以 c = 6(2) 因为,当时,所以,X的边缘分布密度为 又因为,当时,所以,Y的边缘分布密度为3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.解:由T3.7知,X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时,Y的条件分布为 即 Y025P1/51/37/15(2)当X=3时,Y的条件分布为 即 Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时,X的条件分布为 即X13P3/41/4(4)当Y=2时,X的条件分布为 即X13P0.5810.419(5)当Y=5时,X的条件分布为 即X13P0.9460.0543.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 x 0,y0,都有 ,所以,X与Y是相互独立的.3.18 设二维随机向量的分布函数为解:因为 由于 所以,X与Y是相互独立的。3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y的概率密度函数.解:由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布,故X 与Y的边缘密度函数分别为:,记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,的概率密度函数可以写为当时,若,则;若或,被积函数为0,此时显然有.当时,若,则,若或,被积函数为0,此时显然有;的其他情形,显然有=0. 综合起来,有此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当时,积分区域要分成两个部分.3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为求的概率密度函数.解:记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页(3.7.3)式,的概率密度函数可以写为,于是有3.21 设二维随机向量的概率密度函数为求的概率密度函数.解: 根据书中72页(3.7.1)式,的概率密度函数可以写为当时,若,则,若或,被积函数为0,此时显然有;当时,若,则,若或,被积函数为0,此时显然有;的其他情形,显然有.综合起来,有3.22 设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.解:由于所以分布函数为由于服从参数为的指数分布,所以分布函数为 与相互独立,故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.23 设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.解:由于所以分布函数为由于,所以分布函数为 与相互独立,故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.24 设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.解:由于相互独立,根据P76公式(3.8.4),易知,于是的概率密度函数为: 其中,3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值.设它们是相互独立的随机变量, 且有相同的概率密度函数, 求的分布函数.3.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求(1) 到800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到3000 小时时所有元件都失效的概率.二、第三章定义、定理、公式、公理小结及补充:(1)联合分布离散型如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。设=(X,Y)的所有可能取值为,且事件=的概率为pij,称为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示: YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1这里pij具有下面两个性质:(1)pij0(i,j=1,2,);(2)连续型对于二维随机向量,如果存在非负函数,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=(X,Y)|axb,cyx1时,有F(x2,y)F(x1,y);当y2y1时,有F(x,y2) F(x,y1);(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即(4)(5)对于.(4)离散型与连续型的关系(5)边缘分布离散型X的边缘分布为;Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为(6)条件分布离散型在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为;在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为(7)独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布0随机变量的函数若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立, h,g为连续函数,则:h(X1,X2,Xm)和g(Xm+1,Xn)相互独立。特例:若X与Y独立,则:h(X)和g(Y)独立。例如:若X与Y独立,则:3X+1和5Y-2独立。(8)二维均匀分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)U(D)。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1 D1O 1 x图3.1yD211 O 2 x图3.2yD3dcO a b x图3.3(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为其中是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)N(由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即XN(但是若XN(,(X,Y)未必是二维正态分布。(10)函数分布Z=X+Y根据定义计算:对于连续型,fZ(z)两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。, Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互独立,其分布函数分别为,则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为:分布设n个随机变量相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的分布,记为W,其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性:设则t分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布,记为Tt(n)。F分布设,且X与Y独立,可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为Ff(n1, n2).
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