双曲线及其标准方程教案

双曲线及其标准方程（第一课时）教学目标： 1掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义； 2能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程； 3能解决较简单的求双曲线标准方程的问题； 4培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。教学重点：双曲线的定义和标准方程。教学难点：双曲线标准方程的推导过程。教学过程： 一、创设情景，引入新课： 师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点和，定圆的圆心为，且半径为，动圆过定点，且与定圆相切。 （1）若，试求动圆圆心的轨迹；（2）若，试求动圆圆心的轨迹。（教师结合几何画板演示分析）： 师：当时，我们得到的轨迹是什么？ 生：是椭圆。 师：为什么？ 生：因为当时动圆内切于定圆，所以两个圆的圆心距满足，移项后可以得到：满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以、为定点，为定长的椭圆。 师：很好。那么，当呢，此时动圆与定圆相切有几种情况？ 生：有两种情况：内切和外切。 师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距满足 ，移项后可以得到：。(教师演示轨迹) 师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？ 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距满足 ，移项后可以得到：。(教师演示轨迹) 师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足即，圆心的轨迹我们称之为双曲线。二、新课讲解： 1、定义给出师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？ 生：双曲线是到平面上两个定点、的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？生：当时，表示的是双曲线的右支，当时，表示的是双曲线的左支。 2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）：师：这个常数2a有没有限制条件？ 生：有。这个常数2a要比焦距小。 师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下： （1）若a=0，则有即，此时轨迹为线段的中垂线； （2）若2a=,则有，此时轨迹为直线上除去线段中间部分，以、为端点的两条射线； （3）若2a,则根据三角形的性质，轨迹不存在。3、双曲线标准方程的推导过程： 师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之） 第一步：建立直角坐标系； 第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为和，M到焦点的距离差的绝对值等于2a； 第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： ； 第四步：建立方程：； 第五步：化简，得到教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是和的双曲线标准方程为，这里 师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习） 生（练习后）：此时的标准方程应该是。 4双曲线标准方程的探讨：师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关系如何？是不是？生：a、b、c满足等式，所以有，可以得到，但不能判断。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？ 生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为和，我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。 师：很好。如果我们知道的方程是，那么你如何寻找a？ 生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。 师：如果方程是呢？ 生：先化成标准方程。 师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5运用新知： 【练习】已知方程表示双曲线，则m的取值范围是_，此时双曲线的焦点坐标是_，焦距是_； 【变式】若将9改成，则m的取值范围是_。 【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为、，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 ， 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 所以， 所以所求双曲线的标准方程为。 【变式】已知两个定点的坐标为、，动点P到、的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。 解：因为，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为， 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 所以， 所以所求P点的轨迹方程为。【例2】已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点、的坐标分别为，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 ， 因为点、在双曲线上，所以点、的坐标适合方程，代入得： 可解得：。 所以所求双曲线得标准方程为：。【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点、的坐标分别为，求双曲线的标准方程。（分情况讨论） 【练习】（1）一边两个端点是和，顶点A满足， 求A的轨迹方程。 （2）一边的两个端点是和，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹。三、本课小结： 师：我们总结一下本节课我们学了什么？ 生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些简单的问题。四、作业：课本P108：2、3、4问题：一炮弹在M处爆炸，在、处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为2s，又知两地相距800m，并且此时的声速为，那么M点一定在哪条曲线上？