抽象函数的应用

抽象函数的应用抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。例1：定义在R上的函数，当时，且对任意的，有，（1）求证：；（2）求证：对任意的，恒有；（3）证明：是上的增函数；（4）若，求的取值范围。例2已知函数,在R上有定义，对任意的有且（1）求证：为奇函数（2）若， 求的值例3已知函数对任意实数恒有且当，(1)判断的奇偶性；(2)求在区间3,3上的最大值；(3)解关于的不等式例4已知f(x)在(1，1)上有定义，f()1，且满足x，y(1，1)有f(x)f(y)f()证明：f(x)在(1，1)上为奇函数；对数列x1，xn1，求f(xn);求证例5已知函数，满足：对任意都有；（1）试证明：为N上的单调增函数；（2），且，求证：；（3）若，对任意,有，证明：.例6已知函数的定义域为，且同时满足： (1)对任意，总有；(2) (3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足例7对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证例8已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立。()求的值；()若,且对任意正整数,有, ,求数列an的通项公式；()若数列bn满足，将数列bn的项重新组合成新数列，具体法则如下：，求证：。例9定义在R上的函数f（x）满足，且时，f（x）0时，0f（x）1。（1）求证：f（0）=1，且当x1；（2）求证：f（x）在R上单调递减；（3）设集合，若，求a的取值范围。