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0BA1 由的四分之一圆弧OB及折线BAO组成顺时针闭曲线L，计算(1) (2) 分析 闭曲线L由三部分组成，因此应分三部分作积分，对弧长的曲线积分(1)与曲线方向无关，而积分(2)要注意曲线方向是顺时针方向的对于BA，因为=1,以为参数所以BA段的曲线积分只能化为对的定积分，同理AO段，只能化为对的定积分解 先计算积分(1)，写出各段曲线方程，对应各段曲线方程，求出(用参数方程较好)：, ().BA：=1(以为自变量)() ， AO： =0(以为自变量) () ，于是 =+.再计算积分(2)，写出各段曲线方程，直接化为定积分计算如下： 弧段OB:,t 由变到，. BA： =1，自变量由=1变到=0 ,. AO: y=0, 自变量由=1变到=0,.于是 =+.积分(2)若用格林公式将更为简便因为，再注意曲线的方向是顺时针方向，对于它所围成的区域D而言，是反向的，因此格林公式中二重积分前应取负号，于是=2.注 利用格林公式计算曲线积分常常是简便的，但是在应用格林公式时应注意，围成闭区域D的曲线L的方向对D而言必须是正向的，否则在公式左端应取负号，如上题中的积分，2 证明在整个面上是某个二元函数的全微分，并求出这样一个二元函数.解 在全平面上恒成立，所以 是某个二元函数的全微分，且 . 三、总结 1 曲线积分的计算方法是化为定积分计算，化为定积分计算的关键是选择恰当的参数方程，并注意积分限的确定，这也是两类曲线积分计算方法的重要区别. 2 对于坐标的曲线积分应首先考察积分是否与路径无关，即考察是否恒成立.(1) 当在单连通区域内恒成立时,若为闭曲线，则由等价命题可知若为非闭曲线，则积分与路径无关，可选取较为简洁的路径代替作积分，通常是选取平行于坐标轴的直线代替,(2) 当时,若P，Q具有连续的偏导数，可以直接应用格林公式，当然格林公式中二重积分的计算应比原曲线积分的计算简便，
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