高中数学求值域的10种方法

第 1 页 共 13 页 求 函 数 值 域 的 十 种 方 法 一 直 接 法 观 察 法 对于一些比较简单的函数 其值域可通过观察得到 例 1 求函数 的值域 1yx 解析 函数 的值域为 0 1yx 练习 1 求下列函数的值域 32 1 yx xxf 42 4 1 2 y 2 10 参考答案 1 5 2 4 3 二 配 方 法 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型 形如 的函数的值域问题 均可使用配方法 2 Fxafbfxc 例 2 求函数 的值域 24y 1 x 解析 22 6x 1 31x 2 9x 23 65x 35y 函数 的值域为 24y 5 例 3 求函数 的值域 4 0 2 x 解析 本题中含有二次函数可利用配方法求解 为便于计算不妨设 配方得 利用二次函数的相关知识得 4 2 xfxf 4 0 2 xf 从而得出 0 0 2y 说明 在求解值域 最值 时 遇到分式 根式 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制 本题 为 xf 例 4 若 试求 的最大值 42 y0 yxyxlg 第 2 页 共 13 页 分析与解 本题可看成第一象限内动点 在直线 上滑动时函数 的最 Pxy42 yx xyxlgl 大值 利用两点 确定一条直线 作出图象易得 4 0 2 y 1 时 取最 2 0 lglg 4 lg 1 xyxyxyy 而 yxl 大值 2lg 练习 2 求下列函数的最大值 最小值与值域 142 xy 4 3 1 2 xy 1 0 42 xy 5 0 2 xy 5 x2 6 23yx 参考答案 3 2 1 3 5 73 4 6 0 三 反 函 数 法 反函数的定义域就是原函数的值域 利用反函数与原函数的关系 求原函数的 值域 适用类型 分子 分母只含有一次项的函数 即有理分式一次型 也可用于其它易反解出自变量的函 数类型 例 5 求函数 的值域 1 2 xy 分析与解 由于本题中分子 分母均只含有自变量的一次型 易反解出 从而便于求出反函数 x 反解得 故函数的值域为 1 2xyy 2 2 练习 1 求函数 的值域 32yx 2 求函数 的值域 abycxd 0 dxc 参考答案 1 2 3 a 第 3 页 共 13 页 四 分 离 变 量 法 适用类型 1 分子 分母是一次函数的有理函数 可用分离常数法 此类问题一般也可以利用反函数 法 例 6 求函数 的值域 25 xy 解 17 125xxx 函数 的值域为 7205 y y1 2y 适用类型 2 分式且分子 分母中有相似的项 通过该方法可将原函数转化为为 常 xfky 为 数 的形式 例 7 求函数 的值域 12 xy 分析与解 观察分子 分母中均含有 项 可利用分离变量法 则有x 2 221xxy 213 4 不妨令 从而 0 2 xfxgf 43 xf 注意 在本题中若出现应排除 因为 作为分母 所以 故 0 f f 0 g 1 3 y 另解 观察知道本题中分子较为简单 可令 求出 的值域 进而可得到 221xtx t 的值域 y 练习 1 求函数 的值域 1 32 x 参考答案 1 0 第 4 页 共 13 页 五 换 元 法 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数 可以考虑通过换元的 方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数 其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 当 根式里是一次式时 用代数换元 当根式里是二次式时 用三角换元 例 8 求函数 的值域 21yx 解 令 则 t0t 2tx 2215 4ytt 当 即 时 无最小值 函数 的值域为 12t 38xmax54yx 例 9 求函数 的值域 21 y 解 因 即 21 0 x x 故可令 cos 1cosincos1cosy2 1 4sin 2 4 5 0 in 24 0i 2 故所求函数的值域为 1 0 例 10 求函数 的值域 342xy 解 原函数可变形为 21xy 可令 X 则有 tan 22sin cos11xx 1sicoi42y 当 时 8 k max1y 当 时 2 in4 而此时 有意义 tan 第 5 页 共 13 页 故所求函数的值域为 41 例 11 求函数 的值域 sin cos yx 12x 解 1sincosix 令 则it 21incos xt 2211 yttt 由 sincosin 4txx 且 12 可得 t 当 时 当 时 2t max 32y t 324y 故所求函数的值域为 4 例 12 求函数 的值域 25yxx 解 由 可得250 故可令 cos x 545in10si 4y 0 544 第 6 页 共 13 页 当 时 4 max410y 当 时 in5 故所求函数的值域为 4 10 六 判 别 式 法 把函数转化成关于 的二次方程 通过方程有实数根 判别式x 0Fxy 从而求得原函数的值域 形如 不同时为零 的函数的值域 常用此0 2112abcy a2 方法求解 例 13 求函数 的值域 231xy 解 由 变形得 2x2 1 30yxy 当 时 此方程无解 1y 当 时 xR 2 4 yy 解得 又 13y 1 13 函数 的值域为 2x y 七 函 数 的 单 调 性 法 确定函数在定义域 或某个定义域的子集 上的单调性 求出函数 的值域 例 14 求函数 的值域 12yx 解 当 增大时 随 的增大而减少 随 的增大而增大 12x 函数 在定义域 上是增函数 12yx 2 函数 的值域为 12yx 1 2 第 7 页 共 13 页 例 15 求函数 的值域 1yx 解 原函数可化为 1x 2 令 显然 在 上为无上界的增函数 121 xyx2y 所以 在 上也为无上界的增函数 所以当 x 1 时 有最小值 原函数有最大值21y 2 显然 故原函数的值域为0y 0 适用类型 2 用于求复合函数的值域或最值 原理 同增异减 例 16 求函数 的值域 4log221x 分析与解 由于函数本身是由一个对数函数 外层函数 和二次函数 内层函数 复合而成 故可令 配方得 由复合函数的单调性 同增异减 2 4 0txxt 2 4 0 4t tx 所 以 知 y 八 利 用 有 界 性 一般用于三角函数型 即利用 等 1 cos 1 sin xx 例 17 求函数 的值域 cosin3xy 解 由原函数式可得 可化为 sy 21si yxy 即 23n1 xR si 即 2311y 解得 4 y 第 8 页 共 13 页 故函数的值域为 2 4 注 该题还可以使用数形结合法 利用直线的斜率解题 cos0in3ixy 例 18 求函数 的值域 12xy 解 由 解得 12 xxy 0 x 0y 1y 函数 的值域为 12x 九 图 像 法 数 形 结 合 法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义 如两点的 距离公式直线斜率等等 这类题目若运用数形结合法 往往会更加简单 一目了然 赏心悦目 例 19 求函数 的值域 3 5 yx 解 2 8x 3 5x 的图像如图所示 3 5 yx 由图像知 函数 的值域为 yx 8 例 20 求函数 的值域 22 x 解 原函数可化简得 2 8 yx 上式可以看成数轴上点 P x 到定点 A 2 间的距离之和 B 由上图可知 当点 P 在线段 AB 上时 8 10yxA 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时 2 xB 8 5 3 o y x 第 9 页 共 13 页 故所求函数的值域为 10 例 21 求函数 的值域 226345yxx 解 原函数可变形为 2222 3 0 01 yx 上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和 Px3 AB 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时 22min 3 1 43y 故所求函数的值域为 43 例 22 求函数 的值域 2261345yxx 解 将函数变形为 22 0 01 x 上式可看成定点 A 3 2 到点 P x 0 的距离与定点 到点 的距离之差 B 0 x P 即 yPB 由图可知 1 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时 如点 则构成 根据三 ABP 角形两边之差小于第三边 有 22 3 1 6BA 即 26y 2 当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时 有 2PBA 综上所述 可知函数的值域为 26 第 10 页 共 13 页 例 23 求函数 的值域 x ycos2in3 分析与解 看到该函数的形式 我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 将12x yk 原函数视为定点 2 3 到动点 的斜率 又知动点 满足单位圆的方程 从而问题 sin cox sin cox 就转化为求点 2 3 到单位圆连线的斜率问题 作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相 切时取得 从而解得 326 y 点评 本题从函数本身的形式入手 引入直线的斜率 结合图形 从而使问题得到巧解 例 24 求函数 的值域 xy 1 分析与解答 令 则 uv 0 vu22 vuyvu 原问题转化为 当直线 与圆 在直角坐标系 的第一象限有公共点时 求直线y2 o 的截距的取值范围 由图 1 知 当 经过点 时 vu 0 min 当直线与圆相切时 22maxOCDy 所以 值域为 2 2 2O V UA B C D E 第 11 页 共 13 页 十 不 等 式 法 利用基本不等式 求函数的32 ababca bcR 最值 其题型特征解析式是和式时要求积为定值 解析式是积时要求和为定值 不过有时需要用到拆项 添项和两边平方等技巧 例 25 求函数 的值域 2211 sin cos 4yxx 解 原函数变形为 222222 sinco sincos1e3tatnco5yxxx 当且仅当 tt 即当 时 等号成立4 xk z 故原函数的值域为 5 例 26 求函数 的值域 2sinyx 解 4sico2nx 42222316sic8 sin ini 7yxx 当且仅当 即当 时 等号成立 22sinsixx 2sin3x 由 可得 2647y 839y 故原函数的值域为 十 一 多 种 方 法 综 合 运 用 第 12 页 共 13 页 例 27 求函数 的值域 23xy 解 令 则 0 tt 21t 1 当 时 当且仅当 t 1 即 时取等号 所以t 21ytt 1x 102y 2 当 t 0 时 y 0 综上所述 函数的值域为 0 2 注 先换元 后用不等式法 例 28 求函数 的值域 2341xxy 解 2432411xx22 令 则 tan2x 21cosx si1 2211coinsiiny 27si416 当 时 in maxy 当 时 si1 in2 此时 都存在 故函数的值域为 tan2 17 6 注 此题先用换元法 后用配方法 然后再运用 的有界性 sin 第 13 页 共 13 页 总之 在具体求某个函数的值域时 首先要仔细 认真观察其题型特征 然后再选择恰 当的方法 一般优先考虑直接法 函数单调性法和基本不等式法 然后才考虑用其他各种特 殊方法