北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

c b a D C A B 第一章 勾股定理 知识点一 勾股定理定义 画一个直角边为 3cm和 4cm的直角 ABC 量 AB的长 一个直角边为 5和 12的直角 ABC 量 AB的长 发现 32 42与 52的关系 5 2 122和 132的关系 对于任意的直角三角形也有这个性质吗 直角三角形两直角边 a b 的平方和等于斜边 c的平方 即 a 2 b2 c 2 1 如图 直角 ABC 的主要性质是 C 90 用几何语言表示 两锐角之间的关系 若 D为斜边中点 则斜边中线 若 B 30 则 B 的对边和斜边 给出证明 三边之间的关系 知识点二 验证勾股定理 知识点三 勾股定理证明 等面积法 例 1 已知 在 ABC 中 C 90 A B C 的对边为 a b c 求证 a 2 b 2 c2 证明 例 2 已知 在 ABC 中 C 90 A B C 的对边为 a b c 求证 a 2 b 2 c2 证明 知识点四 勾股定理简单应用 在 Rt ABC 中 C 90 1 已知 a 6 b 8 求 c 2 已知 b 5 c 13 求 a b b b b c cc ca a a a b b b b a a c c a a A C B D A B A B 知识点五 勾股定理逆定理 如果三角形的三边长为 满足 那么 这个三角形是直角三角形 cba 22cb 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤 先找出最大边 如 c 计算 与 并验证是否相等 2c2ab 若 则 ABC 是直角三角形 若 则 ABC 不是直角三角形 22 1 下列各组数中 以 a b c 为边的三角形不是 Rt 的是 A a 7 b 24 c 25 B a 7 b 24 c 24 C a 6 b 8 c 10 D a 3 b 4 c 5 2 三角形的三边长为 则这个三角形是 abc2 2 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 3 已知 则由此 为三边的三角形是 三角形 0 1 862 zyx zyx 知识点六 勾股数 1 满足 的三个正整数 称为勾股数 22cba 2 勾股数中各数的相同的整数倍 仍是勾股数 如 3 4 5 是勾股数 6 8 10 也是勾股数 3 常见的勾股数有 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 11 60 61 9 40 41 1 设 是直角三角形的三边 则 不可能的是 abcabc A 3 5 4 B 5 12 13 C 2 3 4 D 8 17 15 1 若线段 a b c 组成 Rt 则它们的比可以是 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 知识点七 确定最短路线 1 一只长方体木箱如图所示 长 宽 高分别为 5cm 4cm 3cm 有一只甲虫从 A出发 沿表面爬到 最近距离是多少 C 2 如图 一圆柱高 8cm 底面半径 2cm 一只蚂蚁从点 A爬到点 B处吃食 要爬行的最短路程 取 3 是 知识点八 逆定理判断垂直 1 在 ABC中 已知 AB2 BC2 CA2 则 ABC的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法确定 2 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 A BCD A B C D ABC 5米 3米 知识点九 勾股定理应用题 1 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一道有趣的问题 这个问题的意思是 有一个水池 水面是一个边长为 10尺的正方形 在水池正中央有一根新生的芦苇 它高出水面 1尺 如果把这根芦苇垂直拉向岸边 它的顶端恰好到 达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 2 如图为某楼梯 测得楼梯的长为5米 高3米 计划在楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要 米 3 一根直立的桅杆原长 25m 折断后 桅杆的顶部落在离底部的 5m处 则桅杆断后两部分各是多长 4 某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度 他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1米 当他们把绳子的下端 拉开 5米后 发现下端刚好触地面 你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗 综合练习一 一 选择题 1 下面几组数 7 8 9 12 9 15 m 2 n2 m2 n2 2mn m n均为正整数 m n 其中能 2a1 2 组成直角三角形的三边长的是 A B C D 2已知一个 Rt 的两边长分别为 3和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7或 25 3 三角形的三边长为 则这个三角形是 abcba2 2 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 4 ABC 的三边为 a b c 且 a b a b c 2 则 A a边的对角是直角 B b 边的对角是直角 C c边的对角是直角 D 是斜三角形 5 以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有 6 7 8 8 15 17 7 24 25 12 35 37 9 40 41 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 将直角三角形的三边扩大相同的倍数后 得到的三角形是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不是直角三角形 7 若 ABC的三边a b c满足 a b a 2 b2 c2 0 则 ABC是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 8 如图 90 5 8 11 则 的长为 CBABCDA A 10 B 11 C 12 D 13 9 如图 山坡 的高 5 水平距离 12 若在山坡上每隔 0 65 栽一棵茶树 则从上到下共 mmm A 19 棵 B 20 棵 C 21 棵 D 22 棵 10 Rt ABC 中 90 所对的边分别是 若 2 则 的值是 abc2ab2c A 6 B 8 C 10 D 4 11 下列各组数据中 不能构成直角三角形的一组数是 9 12 15 B 1 C 0 2 0 3 0 4 D 40 41 9453 12 已知 一轮船以 16海里 时的速度从港口 A出发向东北方向航行 另一轮船以 12海里 时的速度同时从港口 A出 发向东南方向航行 离开港口 2小时后 则两船相距 A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里 二 填空题 1 在 Rt ABC 中 C 90 若 a 5 b 12 则 c 若 a 15 c 25 则 b 若 c 61 b 60 则 a 若 a b 3 4 c 10 则 SRt ABC 2 现有长度分别为 2 3 4 5 的木棒 从中任取三根 能组成直角三角形 则其周长为 cmcm cm 3 勾股定理的作用是在直角三角形中 已知两边求 勾股定理的逆定理的作用是用来证明 4 如图中字母所代表的正方形的面积 AB 4025 A B81 25 5 在 ABC中 C 90 若 a 5 b 12 则 c 6 ABC中 AB AC 17cm BC 16cm 则高AD S ABC 7 在Rt ABC中 有一边是2 另一边是3 则第三边的平方是 8 在 ABC 中 AC 17 cm BC 10 cm AB 9 cm 这是一个 三角形 按角分 9 已知一个三角形的三边长分别是 12cm 16cm 20cm 则这个三角形的面积为 三 简答题 1 判断正误 并指出为什么 1 ABC 的两边为 3和 4 求第三边 解 由于三角形的两边为 3和 4 所以它的第三边 c为 5 2 若已知 ABC 为直角三角形 则第三边为 5 2 在 ABC中 BC m 2 n2 AC 2mn AB m 2 n2 m n 求证 ABC是直角三角形 3 求斜边长 17厘米 一条直角边长 15厘米的直角三角形的面积 画图求解 4 已知一艘轮船以 16 的速度离开港口向东北方向航行 另一艘轮船同时离开港口 以 12 的速度向东南 kmh kmh 方向航行 它们离开港口一个半小时相距多少千米 画图求解 5 如图 一根旗杆在离地面 9米处断裂 旗杆顶部落在离旗杆底部 12米处 旗杆折断之前有多高 12米 9米 3m 4 m 20m 6 如图 在四边形 ABCD中 BAD DBC AD 3 AB 4 BC 12 求 CD 90 90 家庭作业 一 基础达标 1 下列说法正确的是 A 若 a b c 是 ABC 的三边 则 a2 b 2 c 2 B 若 a b c 是 Rt ABC 的三边 则 a2 b 2 c 2 C 若 a b c 是 Rt ABC 的三边 90 A 则 a2 b 2 c 2 D 若 a b c 是 Rt ABC 的三边 C 则 a2 b 2 c 2 2 ABC 的三条边长分别是 则下列各式成立的是 A B cba C D 22cba 3 直角三角形中一直角边的长为 9 另两边为连续自然数 则直角三角形的周长为 A 121 B 120 C 90 D 不能确定 4 斜边的边长为 cm17 一条直角边长为 cm8的直角三角形的面积是 5 假如有一个三角形是直角三角形 那么三边 a b c之间应满足 其中 边是直角所对的边 如果一 个三角形的三边 a b 满足 22 那么这个三角形是 三角形 其中 b边是 边 b边所对的 角是 6 一个三角形三边之比是 6 0 则按角分类它是 三角形 7 如图 已知 ABC 中 9 15BA C 以直角边 BC为直径作 半圆 则这个半圆的面积是 8 一长方形的一边长为 cm3 面积为 2c 那么它的一条对角线长是 二 综合发展 1 如图 一个高 4 宽 的大门 需要在对角线的顶点间加固一个木条 求木条 的长 2 一个三角形三条边的长分别为 cm15 20 c5 这个三角形最长边上的高是多少 3 如图 小李准备建一个蔬菜大棚 棚宽 4m 高 3m 长 20m 棚的斜面用塑料薄膜遮盖 不计墙的厚度 请计算阳 光透过的最大面积 4 如图 有一只小鸟在一棵高 13m的大树树梢上捉虫子 它的伙伴在离该树 12m 高 8m的一棵小树树梢上发出友好 的叫声 它立刻以 2m s的速度飞向小树树梢 那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起 D A B C AC B 勾股定理综合二 1 如图 一块直角三角形的纸片 两直角边 AC 6 BC 8 现将直角边 AC沿直线 AD折叠 使它落在斜边 AB上 且与 AE重合 则 CD等于 2 已知 如图长方形 ABCD中 AB 3 cm AD 9 cm 将此长方形折叠 使点 B与 D重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 cm2 3 已知 将正长方形纸片 ABCD折叠两次 第一次折痕为 AC 第二次折痕为 AE 且点 D落在 F处 若长方形长为 4 宽为 3 求 DE 4 已知 如图 ABC中 C 90 AD是角平分线 CD 15 BD 25 求 AC的长 分类讨论思想 1 在 Rt ABC中 已知两边长为 3 4 则第三边的长为 2 在 Rt ABC中 已知两边长为 5 12 则第三边的长为 3 等腰三角形的两边长为 10和 12 则周长为 底边上的高是 面积是 4 一个直角三角形 有两边长分别为 6和 8 下列说法正确的是 A 第三边一定为 10 B 三角形的周长为 25 C 三角形的面积为 48 D 第三边可能为 10 确定三角形形状 1 已知 a b c 是 ABC 的三边 且 a2c2 b 2c2 a 4 b 4 试判断三角形的形状 2 在 ABC 中 BC 1997 AC 1998 AB 2 1997 1998 则 ABC 是否为直角三角形 为什么 3 若 ABC 的三边 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 则 ABC 为 三角形 填锐角 直角或钝角 4 已知三角形的三边分别是 n 2 n n 2 当 n是多少时 三角形是一个直角三角形 A C D B A D B C B A C D 第 14题 图 E 1 题 A B C D E F A B E F D C 第 2 题 最短距离问题 1 如图 A B 两个小集镇在河流 CD的同侧 分别到河的距离为 AC 10千米 BD 30 千米 且 CD 30千米 现在要在 河边建一自来水厂 向 A B 两镇供水 铺设水管的费用为每千米 3万 请你在河流 CD上选择水厂的位置 M 使铺设 水管的费用最节省 并求出总费用是多少 2 如图 一个牧童在小河的南 4km的 A处牧马 而他正位于他的小屋 B的西 8km北 7km处 他想把他的马牵到小河边 去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最短路程是多少 3 如图 在菱形 ABCD中 对角线 AC 6 BD 8 点 E F 分别是 边 AB BC 的中点 点 P在 AC上运动 在运动过程中 存在 PE PF的最小值 则这个最小值是 4 如图 在直角 ABC 中 AB 4 BAC 45 BAC 的平分线交 BC于点 D M N 分别是 AD和 AB上的动点 则 BM MN的最小值是 5 如图 在正方形 ABCD的边 AB上连接等腰直角三角形 然后在等腰直角三角形 的直角边上连接正方形 无限重复上 述过程 如果第一个正方形 ABCD的边长为 1 那么第 n个正方形的面积为 A B C D L 5米 3米 D C B A 综合练习三 一 选择题 1 直角三角形一直角边长为12 另两条边长均为自然数 则其周长为 A 30 B 28 C 56 D 不能确 定 2 直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm 另一直角边长为 6 cm 则它的斜边长 A 4 cm B 8 cm C 10 cm D 12 cm 3 已知一个 Rt 的两边长分别为 3和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 4 等腰三角形的腰长为 10 底长为 12 则其底边上的高为 A 13 B 8 C 25 D 64 5 五根小木棒 其长度分别为 7 15 20 24 25 现将他们摆成两个直角三角形 其中正确的是 7152407152041572052041 A B C 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7 如图小方格都是边长为 1的正方形 则四边形 ABCD的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 8 三角形的三边长为 abcba2 2 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 9 ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地 已知 C 90 AC 30 米 AB 50 米 如果要在这块空地上种植 草皮 按每平方米草皮 a元计算 那么共需要资金 A 50 a元 B 600 元 C 1200 a元 D 1500 a元 10 如图 AB CD 于 B ABD 和 BCE 都是等腰直角三角形 如果 CD 17 BE 5 那么 AC的长为 A 12 B 7 C 5 D 13 第 10题 第 11题 第 14题 E A B CD A B D C E 二 填空题 11 如图为某楼梯 测得楼梯的长为5米 高3米 计划在楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要 米 12 在直角三角形 ABC中 斜边 2 则 22ABC 13 直角三角形的三边长为连续偶数 则其周长为 14 如图 在 ABC 中 C 90 BC 3 AC 4 以斜边 AB为直径作半圆 则这个半圆的面积是 第 15题 第 16题 第 17题 15 如图 校园内有两棵树 相距 12米 一棵树高 13米 另一棵树高 8米 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树 的顶端 小鸟至少要飞 米 16 如图 ABC中 C 90 AB垂直平分线交 BC于 D若 BC 8 AD 5 则 AC等于 17 如图 四边形 ABD是正方形 AE垂直于 B 且 AE 3 B 4 阴影部分的面积是 18 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大 的正方形的边和长为 7cm 则正方形 A B C D 的面积之和为 cm 2 三 解答题 19 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个 鸟儿捉鱼 的问题 小溪边长着两棵棕榈树 恰好隔岸相望 一棵树高是 30肘尺 肘尺是古代的长 度单位 另外一棵高 20肘尺 两棵棕榈树的树干间的距离是 50肘尺 每棵树的树顶上都停着一只鸟 忽然 两只鸟 同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼 它们立刻飞去抓鱼 并且同时到达目标 问这条鱼出现的地方离开比较高的 棕榈树的树跟有多远 20 如图 已知一等腰三角形的周长是 16 底边上的高是 4 求这个三角形各边的长 A B C D 第 18 题图 7cm A B C D L 第 21 题图 21 如图 A B 两个小集镇在河流 CD的同侧 分别到河的距离为 AC 10千米 BD 30 千米 且 CD 30千米 现在要 在河边建一自来水厂 向 A B 两镇供水 铺设水管的费用为每千米 3万 请你在河流 CD上选择水厂的位置 M 使铺 设水管的费用最节省 并求出总费用是多少 22 如图所示的一块地 ADC 90 AD 12m CD 9m AB 39m BC 36m 求这块地的面积 23 如图 一架 2 5米长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AC上 这时梯足 B到墙底 端 C的距离为 0 7米 如果梯子的顶端沿墙下滑 0 4米 那么梯足将向外移多少米 C A1 B1 A B C A D B