千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第83炼-特殊值法解决二项式展开系数问题

第十章 第83炼 特殊值法解决二项式展开系数的问题 排列组合，二项式定理第83炼 特殊值法解决二项式展开系数问题一、基础知识：1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式3、常用赋值举例：（1）设，令，可得： 令，可得： ，即：（假设为偶数），再结合可得：（2）设 令，则有：，即展开式系数和 令，则有：，即常数项 令，设为偶数，则有： ，即偶次项系数和与奇次项系数和的差 由即可求出和的值二、典型例题：例1：已知，则的值为_思路：观察发现展开式中奇数项对应的指数幂为奇数，所以考虑令，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到的值解：令可得： 令可得： 可得：答案：例2：已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令，得到，只需再求出即可。令可得，所以答案：B例3：设，则的值为（ ）A. B. C. D. 思路：所求，在恒等式中令可得：，令时，所以答案：A例4：若，则等于（ ）A. B. C. D. 思路：虽然展开式的系数有正有负，但与对应系数的绝对值相同，且均为正数。所以只需计算展开的系数和即可。令，可得系数和为，所以答案：A例5：若，则_思路：所求表达式可变形为：，从而只需求出和系数和即可。令可得：，令可得：，所以答案：2014例6：若，且，则等于（ ）A. B. C. D. 思路：由可得或，解得，所求表达式只需令，可得答案：A例7：若，则（ ）A. B. C. D. 思路：所求表达式中的项呈现2的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令，可得：，令可得：，所以，所以所求表达式变形为：，而，所以，从而表达式的值为答案：D例8：已知 ，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 思路：在恒等式中令可得系数和，与条件联系可考虑先求出，令，可得，展开式中为最高次项系数，所以，所以，即，解得答案：B例9：若，则的值是（ ）A. B. C. D. 思路：观察所求式子中项的系数刚好与二项展开式中所在项的次数一致，可联想到幂函数求导：，从而设，恒等式两边求导再令可解得的值，再在原恒等式中令计算出即可解：设令可得：而在中，令可得：答案：D例10：若等式对于一切实数都成立，则（ ）A. B. C. D. 思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积分。例如：，再利用赋值法令即可得到所求表达式的值解：，两边同取不定积分可得： 令可得： 令可得： 答案：B小炼有话说：（1）本题可与例9作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。（2）在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找的原函数，要注意其原函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数“C”，再利用赋值法求出的值即可