4章指数函数与对数函数

1 课题 4 1 指数与指数运算 教学目标 知识目标 复习整数指数幂的知识 了解 n 次根式的概念 理解分数指数幂的定义 能力目标 掌握根式与分数指数幂之间的转化 会利用计算器求根式和分数指数幂的值 培养计算工具使用技能 教学重点 分数指数幂的定义 教学难点 根式和分数指数幂的互化 教学设计 通过复习二次根式而拓展到 n 次根式 为分数指数幂的介绍做好知识铺垫 复习整数指数幂知识以做好衔接 3 加大学生动手计算的练习 巩固知识 4 小组讨论 学习计算器的使用 培养计算工具使用技能 教学备品 教学课件 课时安排 2 课时 90 分钟 教学过程 揭示课题 4 1 1 根式 创设情景 兴趣导入 问题 如果 则 x 3 x 叫做 9 的 平方根 29x 如果 则 x x 叫做 3 的 平方根 3 如果 则 x 2 x 叫做 8 的 立方根 8 如果 则 x 2 x 叫做 8 的 立方根 3x 2 解决 如果 那么 叫做 的平方根 二次方根 其中 叫做 的算术平方根 2xa xa a 如果 那么 叫做 的立方根 三次方根 33 动脑思考 探索新知 概念 一般地 如果 那么 叫做 的 次方根 nxan N且 1 xan 说明 1 当 n 为偶数时 正数 的 n 次方根有两个 分别表示为 和 其中 叫做n an 的 n 次算数根 零的 n 次方根是零 负数的 n 偶 次方根没有意义 a 例如 81 的 4 次方根有两个 它们分别是 3 和 3 其中 3 叫做 81 的 4 次算术根 即 4813 2 当 n 为奇数时 实数 的 n 次方根只有一个 记作 ana 例如 的 5 次方根仅有一个是 2 即 532 概念 形如 的式子叫做 的 次根式 其中 叫做根指数 叫做被开方na1n N且 anna 数 运用知识 强化练习 1 读出下列各根式 并计算出结果 1 2 3 4 3758138 2 填空 1 25 的 3 次方根可以表示为 其中根指数为 被开方数为 2 12 的 4 次算术根可以表示为 其中根指数为 被开方数为 3 7 的 5 次方根可以表示为 其中根指数为 被开方数为 4 8 的平方根可以表示为 其中根指数为 被开方数为 3 课堂练习 P 60学中做 1 及 P61学中做 2 自我探索 使用工具 准备计算器 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书 小组完成计算器计算根式的方法 计算下列各题 精确到 0 0001 1 2 3 4 330 56440 5723 3 4 1 2 分数指数幂 知识回顾 复习导入 问题 计算 322 02423 215 解决 整数指数幂 当 时 n Nna 并且规定当 时 0a n 探究 将整数指数幂的概念进行推广 124 动脑思考 探索新知 看下面的例子 0 36236 aa 412xx 这就是说 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时 根式可以表示为分数指数 幂的形式 为了把整数指数幂的概念推广到分数指数幂 进而从有理指数幂推广到无理指数幂 我们规定 这里略去了其合理性的说明 其中 1 mna 0 amn N 且 其中 1 nmn1 n 且 不难想到 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂无意义 这样就将整数指数幂推广到有理数指数幂 巩固知识 典型例题 例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式 1 2 3 47a5a32a 分析 要把握好形式互化过程中字母的位置对应关系 按照规定 先正确找出公式中的 m 4 与 n 再进行形式的转化 解 1 故 7 4m74a 2 故 5n353 3 故 231a 例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式 1 2 3 3x34a51a 分析 要把握好形式互化过程中字母位置的对应关系 按照规定逆向进行形式的转化 解 1 故 3n 2m23x 2 故 443a 3 故 5n 35531 说明 将根式写成分数指数幂的形式或将分数指数幂写成根式的形式时 要注意规定 中的 m n 的对应位置关系 分数指数的分母为根式的根指数 分子为根式中被开方数的 指数 运用知识 强化练习 1 将下列各根式写成分数指数幂的形式 1 2 3 4 5 6 3934741a45 3320432a 2 将下列各分数指数幂写成根式的形式 1 2 3 4 5 6 354 325 8 341 345 23 自我探索 使用工具 准备计算器 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书 小组完成利用计算器计 算分数指数幂的方法 1 利用计算器求下列各式的值 精确到 0 0001 1 2 3 3445 531 4 2 利用计算器求下列各式的值 精确到 0 0001 1 2 3 23 53321 5 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行学习的 你的学习效果如何 继续探索 活动探究 1 读书部分 教材章节 4 1 2 课后练习 P 62 学中做 3 第 1 2 题 3 实践调查 了解计算器的其他计算使用方法 4 1 3 指数运算 回顾 整数指数幂的运算法则为 1 mna 2 3 nb 其中 m 归纳 运算法则同样适用于有理数指数幂的情况 动脑思考 探索新知 概念 当 为有理数时 有pq pa qpa ppab 运算法则成立的条件是 出现的每个有理数指数幂都有意义 说明 可以证明 当 为实数时 上述指数幂运算法则也成立 pq 巩固知识 典型例题 例 1 计算下列各式的值 1 2 3 130 54816 3692 分析 1 题中的底为小数 需要首先将其化为分数 有利于运算法则的利用 2 题中 首先要把根式化成分数指数幂 然后再进行化简与计算 6 解 1 113130 25 2 28 2 871634434 3 1133322 9 1211036623 说明 3 题中 将 9 写成 将 6 写成 使得式子中只出现两种底 方便于化简及 运算 这种尽可能将底的化同的做法 体现了数学中非常重要的 化同 思想 例 2 计算下列各式 8461 365112213 baba 0 1075 解 422 86431864132 原 式 05aba 原 式 357102531072 原 式 例 3 化简下列各式 1 2 423ab1122ab 3 535 分析 化简要依据运算的顺序进行 一般为 先括号内 再括号外 先乘方 再乘除 最 后加减 也可以利用乘法公式 解 43431621621022199abbabab 7 21111222abababa 35533255 1232335555 baba 1aba 说明 作为运算的结果 一般不能同时含有根号和分数指数幂 3 题的结果也可以写成 但是不能写成 本章中一般不要求将结果中的分数指数幂化为根式 51ab 15 运用知识 强化练习 1 计算下列各式 1 2 3 34927 396 2513482 2 化简下列各式 1 m 0 2 32 m 048521213 abba 3 4 5 03a 34251182 233ab 课题 4 2 幂函数 教学目标 知识目标 通过几个常见的幂函数 了解幂函数的图象特点 能力目标 能够正确判断出哪些函数是幂函数 培养学生的计算技能 通过对幂函数图形的作图与观察 培养学生的计算工具使用能力与观察能力 教学重点 幂函数的图象特征与简单性质 教学难点 幂函数的图象特征与简单性质 教学设计 通过 描点法 作图认识幂函数的图象 通过利用软件的大量作图 总结图象规律 教学备品 8 教学课件 课时安排 2 课时 90 分钟 教学过程 揭示课题 4 2 幂函数 知识回顾 复习导入 问题 观察函数 回忆三个函数的图象和相关性质 yx 21yx 探究 由于 故这三个函数都可以写成 的形式 1yx1yx yx R 动脑思考 探索新知 概念 一般地 形如 的函数叫做幂函数 其中指数 为常数 底 为自变量 yx R x 巩固知识 典型例题 例 1 指出幂函数 y x 和 y x 的定义域 并在同一个坐标系中作出它们的图象 32 1 分析 首先分别确定各函数的定义域 然后再利用 描点法 分别作出它们的图象 解 函数 y x 的定义域为 R 函数 y x 的定义域为 3 2 1 0 分别设值列表如下 以表中的每组 的值为坐标 描出相应的点 再用光滑的曲线依次联结这些点 xy yx 分别得到函数 y x3 和函数 的图象 如下图所示 2 1 x 2 1 0 1 2 y x3 8 1 0 1 8 x 0 411 4 9 y 210 1 2 3 9 总结 这两个函数的定义域不同 在定义域内它们都是增函数 两个函数的图象都经过坐标 原点和点 1 1 例 2 指出幂函数 的定义域 并作出函数图象 2yx 分析 考虑到 因此定义域为 由于 故函数为偶10 21 x 函数 其图象关于 y 轴对称 可以先作出区间 内的图象 然后再利用对称性作出函 数在区间 内的图象 0 解 的定义域为 由分析过程知道函数为偶函数 在区间2x 0 内 设值列表如下 0 以表中的每组 的值为坐标 描出相应的点 再用光滑的曲线依次联结各点 xy yx 得到函数在区间 内的图象 再作出图象关于 y 轴对称图形 从而得到函数 0 的图象 如下图所示 2 xy 总结 这个函数在 内是减函数 函数的图象不经过坐标原点 但是经过点 1 1 0 理论升华 整体建构 x 121 2 y 4 1 10 一般地 幂函数 具有如下特征 yx 1 随着指数 取不同值 函数 的定义域 单调性和奇偶性会发生变化 yx 2 当 时 函数图象经过原点 0 0 与点 1 1 当 时 函数图象不经过原点 0 0 0 0 但经过 1 1 点 运用知识 强化练习 1 指出函数 的定义域 并在同一坐标系中作出他们的图象 4 131xy 和 2 在同一坐标系中作出函数 的图象 并指出它们都经过哪几个特殊的点 2 13 xy和 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行学习的 你的学习效果如何 继续探索 活动探究 1 读书部分 教材章节 4 2 2 课后作业 练习册 P20 练习二 幂函数 3 实践调查 了解常见幂函数的性质特点 课题 4 3 指数函数及其性质 教学目标 知识目标 理解指数函数的图象及性质 了解指数模型 了解指数函数的应用 能力目标 会画出指数函数的简图 会判断指数函数的单调性 了解指数函数在生活生产中的部分应用 从而培养学生分析与解决问题能力 教学重点 11 指数函数的概念 图象和性质 指数函数的应用实例 教学难点 指数函数的应用实例 教学设计 以实例引入知识 提升学生的求知欲 描点法 作图与软件的应用相结合 有助于观察得到指数函数的性质 知识的巩固与练习 培养学生的思维能力 实际问题的解决 培养学生分析与解决问题的能力 以小组的形式进行讨论 探究 交流 培养团队精神 教学备品 教学课件 课时安排 2 课时 90 分钟 教学过程 揭示课题 4 3 指数函数及其性质 创设情景 兴趣导入 问题 某种物质的细胞分裂 由 1 个分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个 4 个分裂成 8 个 知道分裂的次数 如何求得细胞的个数呢 解决 设细胞分裂 次得到的细胞个数为 则列表如下 xy 分裂次数 x 1 2 3 x 细胞个数 y 2 4 8 2 由此得到 2 x N 归纳 函数 中 指数 x 为自变量 底数 2 为常数 2 xy 动脑思考 明确新知 概念 一般地 形如 的函数叫做指数函数 其中底 为常量 指数函xya a0 且 1 12 数的定义域为 值域为 R 0 例如 都是指数函数 12 3 8xxxxyy 动手探索 感受新知 问题 利用 描点法 作指数函数 y 和 y 的图象 2x1 x 解决 设值列表如下 以表中的每一组 x y 的值为坐标 描出对应的点 x y 分别用光滑的曲线依次联结 各点 得到函数 y 和 y 的图象 如下图所示 21 归纳 观察函数图象发现 1 函数 和 y 的图象都在 x 轴的上方 向上无限伸展 向下无限接近于 x2x 1 x 轴 2 函数图象都经过 0 1 点 3 函数 y 的图象自左至右呈上升趋势 函数 y 的图象自左至右呈下降趋势 x 1 2x 推广 x 3 2 1 0 1 2 3 y 2 18421 2 4 8 y 1 x 8 4 2 1 1 13 利用软件可以作出 a 取不同值时的指数函数的图象 动脑思考 明确新知 一般地 指数函数 具有下列性质 xy 01a 且 1 函数的定义域是 值域为 2 函数图象经过点 0 1 即当 时 函数值 0 x1y 3 当 时 函数在 内是增函数 当 时 函数在 内是减函 1a 01a4x 2 因为 底 所以函数 在 内是减函 33xxy 1a 3xy 数 3 因为 底 所以 函数 在 13322xxxy 321 59 a 32xy 内是增函数 例 3 已知指数函数 的图象过点 求 的值 精确到 0 01 xfa 92 4 1 2 f 分析 首先由函数图象过点 可以确定底 得到函数的解析式 然后用计算器求出函92 4 a 数值 解 由于函数图象过点 故 即 f 294a 由于 且 故 3 0 32a 14 因此 函数的解析式为 3 2xf 所以 1 23 6f 运用知识 强化练习 1 判断下列函数在 内的单调性 1 2 3 0 9xy 2xy 23xy 2 已知指数函数 满足条件 求 f 0 13 的值 精确到 0 001 xfa8 7f 3 求下列函数的定义域 1 2 21xy 381xy 动手探索 运用新知 问题 某市 2008 年国内生产总值为 20 亿元 计划在未来 10 年内 平均每年按 8 的增长率增 长 分别预测该市 2013 年与 2018 年的国内生产总值 精确到 0 01 亿元 分析 国内生产总值每年按 8 增长是指后一年的国内生产总值是前一年的 1 8 倍 解决 设在 2008 年后的第 年该市国民生产总值为 亿元 则xy 第 1 年 y 20 1 8 20 1 08 第 2 年 y 20 1 08 1 8 20 21 08 第 3 年 y 20 1 8 20 21 083 由此得到 第 x 年该市国内生产总值为 且 1 x 10 201 8 xy N 当 时 得到 2013 年该市国内生产总值为5x 亿元 5 9 3 当 时 得到 2018 年该市国民生产总值为10 y 20 43 18 亿元 10 8 结论 预测该市 2013 年和 2018 年的国民生产总值分别为 29 39 亿元和 43 18 亿元 归纳 15 函数解析式可以写成 的形式 其中 为常数 底 a 0 且 a 1 函数模型xyca 0c 叫做指数模型 当 a 1 时 叫做指数增长模型 当 0 a0 即零和负数没有对数 巩固知识 典型例题 例 1 将下列指数式写成对数式 1 2 4 26 137 3 4 0 xy 分析 依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系 bba log 18 解 1 2 12lg46 271log3 3 4 4lo3 10lyx 例 2 将下列对数式写成指数式 1 2 lg5 3log481 3 4 10lo32l 分析 依照上述公式 由右至左对应好各字母的位置关系 解 1 2 52 4138 3 4 0 例 3 求下列对数的值 1 2 log 7log1 分析 1 题可以利用性质 2 2 题可以利用性质 1 解 1 由于底与真数相同 由对数的性质 2 知 1 3l 2 由于真数为 1 由对数的性质 1 知 0 7log1 运用知识 强化练习 1 将下列各指数式写成对数式 1 2 352 20 9 81 3 4 0 8x 347 2 把下列对数式写成指数式 1 2 1log42 3log2 3 4 5l60 1l 3 求下列对数的值 1 2 7log0 5log 3 4 1321 动脑思考 形成新知 以 10 为底的对数叫做常用对数 简记为 如 记为 10logNlg10lo2lg 以无理数 e e 2 71828 在科学研究和工程计算中被经常使用 为底的对数叫做自然 19 对数 简记为 如 记为 elogNlnelog5ln 自我探索 使用工具 准备计算器 观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书 小组完成利用计算器计 算对数的方法 1 计算下列各式的值 精确到 0 0001 1 2 3 lglgln10 4 5 6 ln lo4 2log36 2 用计算器计算下列各式的值 精确到 0 0001 1 2 3 lg38lg ln 84 4 5 6 n 962o070 2og5 创设问题 自我探究 问题 等式 是否成立 lg25 l7g2l5 10 等式 是否成立 lo1l4lo8 22llog4l3 等式 是否成立 3lg2l63lgl 解决 请利用计算器验证 结论 lg25 l1022logl4log3 3log2l8 动脑思考 探索新知 概念 对数的运算法则 法则 1 M 0 N 0 lglgN 法则 2 M 0 N 0 法则 3 n n 为整数 M 0 lgl 巩固知识 典型例题 例 4 用 表示下列各式 lgxylz 20 1 2 3 lgxyzlgxyz23lgxyz 分析 要正确使用对数的运算法则 解 1 lgxyzlgylz 2 lgx lgxyz 3 2 23lgxyz2lgy3lzl12l3 运用知识 强化练习 用 表示下列各式 lxyl 1 2 3 glgxyz2lg yx 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行学习的 你的学习效果如何 继续探索 活动探究 1 读书部分 教材章节 4 4 2 课后练习 教材 P76 习题 4 4 3 课后作业 练习册 P22 练习四 对数与对数运算 课题 4 5 对数函数及其性质 教学目标 知识目标 了解对数函数的图象及性质特征 了解对数函数的实际应用 能力目标 观察对数函数的图象 总结对数函数的性质 培养观察能力 通过应用实例的介绍 培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力 教学重点 对数函数的图象及性质 21 教学难点 对数函数的应用中实际问题的题意分析 教学设计 实例引入知识 提升学生的求知欲 描点法 作图与软件的应用相结合 有助于观察得到指数函数的性质 知识的巩固与练习 培养学生的思维能力 实际问题的解决 培养学生分析与解决问题能力 小组的形式进行讨论 探究 交流 培养团队精神 教学备品 教学课件 课时安排 2 课时 90 分钟 教学过程 揭示课题 4 5 对数函数及其性质 创设情景 兴趣导入 问题 某种物质的细胞分裂 由 1 个分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个 那么 知道分裂 得到的细胞个数如何求得分裂次数呢 解决 设 1 个细胞经过 y 次分裂后得到 x 个细胞 则 x 与 y 的函数关系是 写成对数式为2yx 此时自变量 x 位于真数位置 2logyx 动脑思考 探索新知 概念 一般地 形如 的函数叫以 为底的对数函数 其中 a 0 且 a 1 对数函数的logayx a 定义域为 值域为 R 0 例如 都是对数函数 3logyx ly12lx 运用知识 强化练习 利用 描点法 作函数 和 的图象 2logyx xy21l 函数的定义域为 取 x 的一些值 列表如下 0 22 以表中 x 的值 与函数 对应的值 y 为坐标 描出点 用光滑曲线依次联结各点 得到函数2logyx xy 的图象 以表 4 6 中 x 的值与函数 对应的值 y 为坐标 描出点 l 21log y 用光滑曲线依次联结各点 得到函数 的图象 如下图所示 xy 观察函数图象发现 1 函数 和 的图象都在 x 轴的右边 2logyx xy21l 2 图象都经过点 0 3 函数 的图象自左至右呈上升趋势 函数 的图象自左至右呈下降趋2logyx xy21log 势 动脑思考 探索新知 一般地 对数函数 a 0 且 a 1 具有下列性质 logyx 1 函数的定义域是 值域为 R 0 2 当 时 函数值 x y 3 当 a 1 时 函数在 内是增函数 当 0 a0 得 所以函数 的定义域为 2log 4 y 4 2 由 得 0 xIn 1 所以 的定义域为 ly 运用知识 强化练习 1 选择题 1 若函数 的图象经过点 则底 logayx 2 1 a A 2 B 2 C D 12 2 下列对数函数在区间 0 内为减函数的是 A B lgyx 12logyx C D lnl 2 作出下列函数的图象并判断它们在 内的单调性 0 1 2 3logyx 13logyx 巩固知识 典型例题 碳 14 的半衰期为 5730 年 古董市场有一幅达 芬奇 1452 1519 的绘画 测得其碳 14 的 含量为原来的 94 1 根据这个信息 请你从时间上判断这幅画是不是赝品 使用计算器 解 设这幅画的年龄为 画中原来碳 14 含量为 根据题意有 xa 157300 94 2xa 消去 a 后 两边取常用对数 得 24 lg0 941lg0 573x 解得 5l x 因为 这幅画约在达 芬奇 54 岁时完成 所以从时间上看不是赝22 品 运用知识 强化练习 某钢铁公司的年产量为 a 万吨 计划每年比上一年增产 10 问经过多少年产量翻一 番 保留 2 位有效数字 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容 重点和难点各是什么 自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法 你是如何进行学习的 你的学习效果如何 继续探索 活动探究 1 读书部分 教材章节 4 5 2 课后练习 教材 P79 习题 4 5 及 P81 复习参考题四 3 课后作业 练习册 P23 练习五 对数函数及其性质 及 P24 25 自测题四