对数函数及其性质

第 1 页 共 14 页 2 2 2 对数函数及其性质 1 对数函数的概念 1 定义 一般地 我们把函数 y log ax a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函 数的定义域是 0 2 对数函数的特征 特征Error 判断一个函数是否为对数函数 只需看此函数是否具备了对数函数的特征 比如函数 y log 7x 是对数函数 而函数 y 3log 4x 和 y log x2 均不是对数函数 其原因是 不符合对数函数解析式的特点 例 1 1 函数 f x a 2 a 1 log a 1 x 是对数函数 则实数 a 解析 由 a2 a 1 1 解得 a 0 1 又 a 1 0 且 a 1 1 a 1 答案 1 例 1 2 下列函数中是对数函数的为 1 y log a a 0 且 a 1 2 y log 2x 2 x 3 y 8log 2 x 1 4 y log x6 x 0 且 x 1 5 y log 6x 解析 序号 是否 理由 1 真数是 不是自变量 xx 2 对数式后加 2 3 真数为 x 1 不是 x 且系数为 8 不是 1 4 底数是自变量 x 不是常数 5 底数是 6 真数是 x 答案 5 2 对数函数 y log ax a 0 且 a 1 的图象与性质 1 图象与性质 a 1 0 a 1 第 2 页 共 14 页 图 象 1 定义域 x x 0 2 值域 y y R 3 当 x 1 时 y 0 即过定点 1 0 4 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 4 当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0 性 质 5 在 0 上是增函数 5 在 0 上是减函数 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在 y 轴右侧 其单调性取决于 底数 a 1 时 函数单调递增 0 a 1 时 函数单调递减 理解和掌握对数函数的图象和性 质的关键是会画对数函数的图象 在掌握图象的基础上性质就容易理解了 我们要注意数形结 合思想的应用 2 指数函数与对数函数的性质比较 解析式 y a x a 0 且 a 1 y log ax a 0 且 a 1 定义域 R 0 值域 0 R 过定点 0 1 1 0 单调性 单调性一致 同为增函数或减函数 性 质 奇偶性 奇偶性一致 都既不是奇函数也不是偶函数 3 底数 a 对对数函数的图象的影响 底数 a 与 1 的大小关系决定了对数函数图象的 升降 当 a 1 时 对数函数的图象 上 升 当 0 a 1 时 对数函数的图象 下降 底数的大小决定了图象相对位置的高低 不论是 a 1 还是 0 a 1 在第一象限内 自 左向右 图象对应的对数函数的底数逐渐变大 点技巧 对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿 1 0 点处把花扎 若是底数小于 1 左上穿点渐右下 若是底数大于 1 左下穿点渐右上 绕点旋转底变化 顺时方向底变大 可用直线 y 1 来切 自左到右 a 变大 例 2 如图所示的曲线是对数函数 y log ax 的图象 已知 a 从 中取值 34510 则相应曲线 C1 C 2 C 3 C 4 的 a 值依次为 第 3 页 共 14 页 A 34510 B 3 C 43510 D 3 解析 由底数对对数函数图象的影响这一性质可知 C 4 的底数 C3 的底数 C 2 的底数 C 1 的底数 故相应于曲线 C1 C 2 C 3 C 4 的底数依次是 510 答案 A 点技巧 根据图象判断对数函数的底数大小的方法 1 方法一 利用底数对对数函数图象 影响的规律 在 x 轴上方 底大图右 在 x 轴下方 底大图左 2 方法二 作直线 y 1 它与 各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数 由此判断各底数的大小 3 反函数 1 对数函数的反函数 指数函数 y a x a 0 且 a 1 与对数函数 y log ax a 0 且 a 1 互为反函数 2 互为反函数的两个函数之间的关系 原函数的定义域 值域是其反函数的值域 定义域 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称 3 求已知函数的反函数 一般步骤如下 由 y f x 解出 x 即用 y 表示出 x 把 x 替换为 y y 替换为 x 根据 y f x 的值域 写出其反函数的定义域 例 3 1 若函数 y f x 是函数 y a x a 0 且 a 1 的反函数 且 f 2 1 则 f x A log 2x B 12 C D 2 x 212log 第 4 页 共 14 页 解析 因为函数 y a x a 0 且 a 1 的反函数是 f x log ax 又 f 2 1 即 loga2 1 所以 a 2 故 f x log 2x 答案 A 例 3 2 函数 f x 3 x 0 x 2 的反函数的定义域为 A 0 B 1 9 C 0 1 D 9 解析 0 x 2 1 3 x 9 即函数 f x 的值域为 1 9 故函数 f x 的反函数的定义域为 1 9 答案 B 例 3 3 若函数 y f x 的反函数图象过点 1 5 则函数 y f x 的图象必过点 A 5 1 B 1 5 C 1 1 D 5 5 解析 由于原函数与反函数的图象关于直线 y x 对称 而点 1 5 关于直线 y x 的对称点 为 5 1 所以函数 y f x 的图象必经过点 5 1 答案 A 4 利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值 对数函数的解析式 y log ax a 0 且 a 1 中仅含有一个常数 a 则只需要一个条件即可确 定对数函数的解析式 这样的条件往往是已知 f m n 或图象过点 m n 等等 通常利用待定 系数法求解 设出对数函数的解析式 f x log ax a 0 且 a 1 利用已知条件列方程求出常数 a 的值 利用待定系数法求对数函数的解析式时 常常遇到解方程 比如 logam n 这时先把对数 式 logam n 化为指数式的形式 an m 把 m 化为以 n 为指数的指数幂形式 m k n k 0 且 k 1 则解得 a k 0 还可以直接写出 再利用指数幂的运算性质化简 1 1 例如 解方程 loga4 2 则 a 2 4 由于 所以 又 a 0 所以 2 2 当然 也可以直接写出 再利用指数幂的运算性质 得12a 12 124 例 4 1 已知 f ex x 则 f 5 A e 5 B 5 e C ln 5 D log 5e 解析 方法一 令 t e x 则 x ln t 所以 f t ln t 即 f x ln x 所以 f 5 ln 5 方法二 令 ex 5 则 x ln 5 所以 f 5 ln 5 答案 C 第 5 页 共 14 页 例 4 2 已知对数函数 f x 的图象经过点 试求 f 3 的值 1 29 分析 设出函数 f x 的解析式 利用待定系数法即可求出 解 设 f x log ax a 0 且 a 1 对数函数 f x 的图象经过点 a 2 1 29 1log9af a f x 12293 13l f 3 1 133log l 例 4 3 已知对数函数 f x 的反函数的图象过点 2 9 且 f b 试求 b 的值 12 解 设 f x log ax a 0 且 a 1 则它的反函数为 y a x a 0 且 a 1 由条件知 a2 9 3 2 从而 a 3 于是 f x log 3x 则 f b log 3b 解得 b 123 5 对数型函数的定义域的求解 1 对数函数的定义域为 0 2 在求对数型函数的定义域时 要考虑到真数大于 0 底数大于 0 且不等于 1 若底数和 真数中都含有变量 或式子中含有分式 根式等 在解答问题时需要保证各个方面都有意 义 一般地 判断类似于 y log af x 的定义域时 应首先保证 f x 0 3 求函数的定义域应满足以下原则 分式中分母不等于零 偶次根式中被开方数大于或等于零 指数为零的幂的底数不等于零 对数的底数大于零且不等于 1 对数的真数大于零 如果在一个函数中数条并存 求交集 例 5 求下列函数的定义域 1 y log 5 1 x 2 y log 2x 1 5x 4 3 0 log 43 分析 利用对数函数 y log ax a 0 且 a 1 的定义求解 解 1 要使函数有意义 则 1 x 0 解得 x 1 所以函数 y log 5 1 x 的定义域是 x x 1 第 6 页 共 14 页 2 要使函数有意义 则 解得 x 且 x 1 54 0 21 x 45 所以函数 y log 2x 1 5x 4 的定义域是 1 3 要使函数有意义 则 解得 x 1 0 5 43 log 34 所以函数 的定义域是 0 5lyx 0 或 向 右 b0 或 向 下 b0时 两 函 数 图 象 相 同 当 x0时 的 图 象 关 于 y轴 对 称 函数 y log ax a 0 且 a 1 保 留 x轴 上 方 的 图 象 同 时 将 x轴 下 方 的 图 象 作 关 于 x轴 的 对 称 变 换 函数 y log ax a 0 且 a 1 例 7 1 若函数 y log a x b c a 0 且 a 1 的图象恒过定点 3 2 则实数 b c 的值 分别为 解析 函数的图象恒过定点 3 2 将 3 2 代入 y log a x b c a 0 且 a 1 得 2 log a 3 b c 又 当 a 0 且 a 1 时 log a1 0 恒成立 c 2 loga 3 b 0 b 2 答案 2 2 例 7 2 作出函数 y log 2 x 1 2 的图象 解 第一步 作函数 y log 2x 的图象 如图 第二步 将函数 y log 2x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位长度 得函数 y log 2 x 1 的图象 如图 第 8 页 共 14 页 第三步 将函数 y log 2 x 1 在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变换 得函数 y log 2 x 1 的图象 如图 第四步 将函数 y log 2 x 1 的图象 沿 y 轴方向向上平移 2 个单位长度 便得到所求函 数的图象 如图 8 利用对数函数的单调性比较大小 两个对数式的大小比较有以下几种情况 1 底数相同 真数不同 比较同底数 是具体的数值 的对数大小 构造对数函数 利用对数函数的单调性比较大 小 要注意 明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值 明确对数函数的底数与 1 的大 小关系 最后根据对数函数的单调性判断大小 2 底数不同 真数相同 若对数式的底数不同而真数相同时 可以利用顺时针方向底数增 大画出函数的图象 再进行比较 也可以先用换底公式化为同底后 再进行比较 3 底数不同 真数也不同 对数式的底数不同且指数也不同时 常借助中间量 0 1 进行比 较 4 对于多个对数式的大小比较 应先根据每个数的结构特征 以及它们与 0 和 1 的大小 情况 进行分组 再比较各组内的数值的大小即可 注意 对于含有参数的两个对数值的大小比较 要注意对底数是否大于 1 进行分类讨论 例 8 1 比较下列各组中两个值的大小 1 log31 9 log 32 2 log 23 log 0 32 3 log a log a3 141 分析 1 构造函数 y log 3x 利用其单调性比较 2 分别比较与 0 的大小 3 分类讨论底 数的取值范围 解 1 因为函数 y log 3x 在 0 上是增函数 所以 f 1 9 f 2 所以 log31 9 log 32 2 因为 log23 log 21 0 log 0 32 log 0 31 0 第 9 页 共 14 页 所以 log23 log 0 32 3 当 a 1 时 函数 y log ax 在定义域上是增函数 则有 loga log a3 141 当 0 a 1 时 函数 y log ax 在定义域上是减函数 则有 loga log a3 141 综上所得 当 a 1 时 log a log a3 141 当 0 a 1 时 log a log a3 141 例 8 2 若 a2 b a 1 试比较 log ba log ab 的大小 logabl 分析 利用对数函数的单调性或图象进行判断 解 b a 1 0 1 b 0 log ab log aa 1 log b1 log ba log bb 即 0 log ba 1 loga 由于 1 b 0 1 由 logba logblog 2lb a2 b 1 1 2 0 即 logba logblog logab logba lla 9 利用对数函数的单调性解对数不等式 1 根据对数函数的单调性 当 a 0 且 a 1 时 有 logaf x log ag x f x g x f x 0 g x 0 当 a 1 时 log af x log ag x f x g x f x 0 g x 0 当 0 a 1 时 log af x log ag x f x g x f x 0 g x 0 2 常见的对数不等式有三种类型 形如 logaf x log ag x 的不等式 借助函数 y log ax 的单调性求解 如果 a 的取值不确 定 需分 a 1 与 0 a 1 两种情况讨论 形如 logaf x b 的不等式 应将 b 化为以 a 为对数的对数式的形式 再借助函数 y log ax 的单调性求解 形如 logaf x log bg x 的不等式 基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值 利 用对数函数的单调性来脱去对数符号 同时应保证真数大于零 取交集作为不等式的解集 形如 f logax 0 的不等式 可用换元法 令 t log ax 先解 f t 0 得到 t 的取值范 围 然后再解 x 的范围 第 10 页 共 14 页 例 9 1 解下列不等式 1 1177logl 4 xx 2 logx 2x 1 logx 3 x 解 1 由已知 得 解得 0 x 2 43 0 x 当 0 x 1 时 有 解得 0 x 3x 23 所以原不等式的解集是 1 或 例 9 2 若 1 求 a 的取值范围 2log3a 解 1 1 1 即 2lala 2logllog3aaa 1 当 a 1 时 y log ax 为增函数 a 结合 a 1 可知 a 23 32 2 当 0 a 1 时 y log ax 为减函数 a 结合 0 a 1 知 0 a 233 a 的取值范围是 2 或 10 对数型函数单调性的讨论 1 解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键 一是看底数是否大于 1 当底数未明 确给出时 则应对底数 a 是否大于 1 进行讨论 二是运用复合法来判断其单调性 三是注意其 定义域 2 关于形如 y log af x 一类函数的单调性 有以下结论 函数 y log af x 的单调性与函数 u f x f x 0 的单调性 当 a 1 时相同 当 0 a 1 时 相反 第 11 页 共 14 页 例如 求函数 y log 2 3 2x 的单调区间 分析 首先确定函数的定义域 函数 y log 2 3 2x 是由对数函数 y log 2u 和一次函数 u 3 2x 复合而成 求其单调区间或值域时 应从函数 u 3 2x 的单调性 值域入手 并结 合函数 y log 2u 的单调性考虑 解 由 3 2x 0 解得函数 y log 2 3 2x 的定义域是 32 设 u 3 2x x 32 u 3 2x 在 上是减函数 且 y log 2u 在 0 上单调递增 32 函数 y log 2 3 2x 在 上是减函数 32 函数 y log 2 3 2x 的单调减区间是 32 例 10 1 求函数 y log a a a x 的单调区间 解 1 若 a 1 则函数 y log at 递增 且函数 t a a x递减 又 a a x 0 即 ax a x 1 函数 y log a a a x 在 1 上递减 2 若 0 a 1 则函数 y log at 递减 且函数 t a a x递增 又 a a x 0 即 ax a x 1 函数 y log a a a x 在 1 上递减 综上所述 函数 y log a a a x 在其定义域上递减 析规律 判断函数 y log af x 的单调性的方法 函数 y log af x 可看成是 y log au 与 u f x 两 个简单函数复合而成的 由复合函数单调性 同增异减 的规律即可判断 需特别注意的是 在 求复合函数的单调性时 首先要考虑函数的定义域 即 定义域优先 例 10 2 已知 f x x2 ax a 在 上是增函数 求 a 的取值范围 1log1 2 解 是函数 f x 的递增区间 说明 是函数 u x 2 ax a 的递减区间 1 由于是对数函数 还需保证真数大于 0 令 u x x 2 ax a f x 在 上是增函数 12log 1 2 u x 在 上是减函数 且 u x 0 在 上恒成立 1 2 第 12 页 共 14 页 即 1 20 au 1 0 42a 1 a 12 满足条件的 a 的取值范围是 12a 11 对数型函数的奇偶性问题 判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是 1 求函数的定义域 当定义域关于原点不对称时 则此函数既不是奇函数也不是偶函数 当定义域关于原点对称时 判断 f x 与 f x 或 f x 是否相等 2 当 f x f x 时 此函数是偶函数 当 f x f x 时 此函数是奇函数 3 当 f x f x 且 f x f x 时 此函数既是奇函数又是偶函数 4 当 f x f x 且 f x f x 时 此函数既不是奇函数也不是偶函数 例如 判断函数 f x x R a 0 且 a 1 的奇偶性 2log1 a 解 f x f x 2log1a 2l a log a x2 1 x 2 log a1 0 f x f x f x 为奇函数 例 11 已知函数 f x a 0 且 a 1 logx 1 求函数 f x 的定义域 2 判断函数 f x 的奇偶性 3 求使 f x 0 的 x 的取值范围 分析 对于第 2 问 依据函数奇偶性的定义证明即可 对于第 3 问 利用函数的单调性去 掉对数符号 解出不等式 解 1 由 0 得 1 x 1 故函数 f x 的定义域为 1 1 2 f x f x log1a log1a 又由 1 知函数 f x 的定义域关于原点对称 函数 f x 是奇函数 第 13 页 共 14 页 3 当 a 1 时 由 0 log a1 得 1 解得 0 x 1 1logax x 当 0 a 1 时 由 0 log a1 得 0 1 解得 1 x 0 logx 故当 a 1 时 x 的取值范围是 x 0 x 1 当 0 a 1 时 x 的取值范围是 x 1 x 0 12 对数型函数模型的实际应用 地震震级的变化规律 溶液 pH 的变化规律 航天问题等 可以用对数函数模型来研 究 此类题目 通常给出函数解析式模型 但是解析式中含有其他字母参数 其解决步骤是 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 抓住关键的词和量 理顺数量关系 2 建模 将文字语言转化成数学语言 利用数学知识 求出函数解析式模型中参数的值 3 求模 求解函数模型 得到数学结论 4 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论 由此看 直接给定参数待定的函数模型时 利用待定系数法的思想 代入已知的数据得到 相关的方程而求得待定系数 一般求出函数模型后 还利用模型来研究一些其他问题 代入法 方程思想 对数运算性质 是解答此类问题的方法精髓 例 12 我国用长征二号 F 型运载火箭成功发射了 神舟 七号载人飞船 实现了中国历史 上第一次的太空漫步 令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家 其 中 翟志刚完全出舱 刘伯明的头部和手部部分出舱 在不考虑空气阻力的条件下 假设火箭 的最大速度 y 单位 km s 关于燃料重量 x 单位 吨 的函数关系式为 y kln m x kln 2 4ln 2 k 0 其中 m 是箭体 搭载的飞行器 航天员的重量和 当燃料重量为 1 m 吨时 e 火箭的最大速度是 4 km s 1 求 y f x 2 已知长征二号 F 型运载火箭的起飞重量是 479 8 吨 箭体 搭载的飞行器 航天员 燃料 火箭的最大速度为 8 km s 求装载的燃料重量 e 2 7 精确到 0 1 解 1 由题意得当 x 1 m 时 y 4 e 则 4 kln m 1 m k ln 4ln 2 解得 k 8 所以 y 8ln m x 8ln 4ln 2 即 y lnmx 2 由于 m x 479 8 则 m 479 8 x 令 解得 x 302 1 479 88ln 故火箭装载的燃料重量约为 302 1 吨 第 14 页 共 14 页