湖南省东部株洲二中六校高三12月联考数学理试题解析版

2016届湖南省东部株洲二中六校高三12月联考数学（理）试题一、选择题1已知全集U=R，集合，集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由得，所以,又因为，所以有，所以，故选C【考点】1对数函数的性质；2集合的运算；3二次函数性质【易错点睛】集合的代表元素是，即是求函数的定义域，而集合中的代表元素是，是求函数的值域一是求集合时容易都求成定义域，导致错误；另一种错误是一个求出的是关于的集合，另一个求的是关于的集合，认为交集是空集导致错误，实质是两者均为数集，是可以求交集的2已知复数满足，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由得，故选D【考点】复数运算3设为锐角，若cos，则sin的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：因为设为锐角，且，所以，所以，故选B【考点】1同角三角函数关系；2二倍角公式4某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如下图所示，其中茎为十位数，叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：日加工零件个数的样本均值，6名工人加工零件个数大于22件的有2人，所以从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为，故选C【考点】1茎叶图；2古典概型5已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：以、为直径的圆方程为，又因为点在圆上，所以，双曲线的渐近线一条方程为，且点在这条渐近线上，所以，又，解之得，所以双曲线方程为，故选C【考点】双曲线标准方程及几何性质6下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由程序框图可知，为及格的人数，为不及格人数，所以及格率，故选D【考点】程序框图7一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）侧视图正视图俯视图22A B C D【答案】D【解析】试题分析：同三视图可知，该几何体为一个半圆锥，圆锥的底面半径，高，所以半圆锥的体积，故选D【考点】1三视图；2旋转体体积8若，命题直线与圆相交；命题，则是的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为直线与圆相交，所以，即，所以或；当时，所以，所以有，而，所以是的必要不充分条件，故选A【考点】1充分条件与必要条件；2直线与圆的位置关系9已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：因为是偶函数，它在上是减函数，则，所以的取值范围是，故选C【考点】1函数的奇偶性；2函数的单调性；3，函数与不等式10已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当的面积最小时，的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：不等式表示平面区域为下图所示的边界及内部的点，由图可知，当点在线段上，且时，的面积最小，这时，所以，所以，故选B【考点】1线性规划；2直线与圆的位置关系【方法点睛】本题主要考查的是线性规划以及直线与圆的位置关系，属中档题线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误11如下图所示，已知点是的重心，过点作直线与，两边分别交于，两点，且，则的最小值为（ ）A2 B C D【答案】C【解析】试题分析：,又因为共线，所以有，且，所以，当且仅当时取等号，故选C【考点】1向量加减法的几何意义；2基本不等式【方法点睛】本题考查平面向量加减法的几何意义及基本不等式，通过用已知向量表示未知向量，即向量的基底思想，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将求运算结果最大值问题转化为函数的最大值问题，应用函数知识或基本不等式去求最值12设点P在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为曲线与曲线互为反函数，其图象关于直线对称，故可先求点到直线的最近距离，函数的导数为，由得，所以，所以当点为点时，点到直线的最近距离为，所以，故选D【考点】1反函数的性质；2导数的几何意义；3点到直线距离公式【名师点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图象间的关系、导数的几何意义以及点到直线的距离公式联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题二、填空题13如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 【答案】【解析】试题分析：的展开式的各项系数之和为，所以，所以，其展开式的通项为，由得，所以的系数是【考点】二项式定理14函数（）的单调递增区间是 【答案】【解析】试题分析：,由得，当时得函数在区间上的递增区间为【考点】1两角和与差公式；2三角函数的图象和性质15对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：关于的不等式的解集为，得解集为，即关于的不等式的解集为【考点】1推理与证明；2解不等式【方法点睛】本题考查了合情推理与不等式，重点考查了学生对归纳推理的理解与类比运用，意在考查学生观察、分析、归纳、推理、类比与判断的能力，关键是能从给出的不等式的解法中观察、归纳、总结出一般的规律，类比到新的知识，从而得到结论此题属中档题16已知椭圆的方程为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线与直线分别交于两点，若，则过三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 【答案】【解析】试题分析：设，由题意得，所以直线，令得，此时，即点在以为直径的圆上，所以点关于的对称点也在此圆上，即过三点的圆必过轴上不同于点的定点为椭圆的右焦点【考点】1椭圆的标准方程及几何性质；2圆的性质三、解答题17株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为， 等七组，其频率分布直方图如下图所示已知之间的参加者有8人（1）求和之间的参加者人数；（2）已知和之间各有名数学教师，现从这两个组中各选取人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有名数学教师的概率?（3）组织者从之间的参加者（其中共有名女教师，其余全为男教师）中随机选取名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列和数学期望【答案】（1）12；（2）；（3）分布列为：数学期望为【解析】试题分析：（1）由频率直方图可求出年龄在之间频率为，由此可计算样本的总人数，由所有长方形面积之和为可求出年龄在之间的频率及人数；（2）至少有名数学教师的对立事件为无数学教师，分别先求出年龄在与年龄在之间选两人至少有一名数学教师的概率，由相互独立事件的积事件之即可；（3）年龄在之间的人数为6人，其中女教师4人，所以的可能取值为，分别求出其概率即可写出分布列、求出期望试题解析：（1）年龄在之间的频率为0045=02所以总人数，因为所以年龄在之间的志愿者人数为（2）记事件B=从年龄在之间选出的人中至少有名数学教师因为年龄在之间的人数为12，所以记事件C=从年龄在之间选出的人中至少有名数学教师因为年龄在之间的人数为8，所以则 （3）年龄在之间的人数为6人，其中女教师4人的可能取值为1，2，3；分布列为：数学期望为【考点】1频率分布直方图；2古典概型；3离散型随机变量的分布列与期望18已知的角的对边分别为，其面积，且；等差数列中，且，公差数列的前项和为，且，（1）求数列、的通项公式；（2）设， 求数列的前项和【答案】（1）,；（2）【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式及余弦定理可求出的值，从而求出数列的首项及公差，即可求数列的通项公式；由得当n2时， ，两式相减得到数列递推公式可知数列为等比数列，从而可求数列的通项公式；（2）用公组求和，即分为一个等差数列与一个等比数列分别求和即可试题解析：（1）， 又 ， ， 从而 故可得：， ， 当n=1时，当n2时， ，两式相减， 得数列为等比数列， （2） = = 【考点】1三角形面积公式与余弦定理；2等差数列与等比数列的定义、性质与求和公式19如图，在四棱锥中，底面梯形中，平面平面，是等边三角形，已知，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）由所给及勾股定理可证，即，由面面垂直的性质可得平面，又平面，由面面垂直的判定定理可证结论成立；（2）法一：向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量知识求出平面与平面的法向量，求两法向量的夹角即可；法二：几何法，即利用线面关系找到二面角的平面角求之即可；（3）由直接计算，求出的值即可试题解析：（1）证明：在中，由于,故又，又，故平面平面 （2）法一、如图建立空间直角坐标系，, ，设平面的法向量, 由令, 设平面的法向量, 由，令 ，,二面角的余弦值为 法二、由（1）知平面，所以平面平面过作交于，则平面再过作交于，连结，则就是二面角的平面角由题设得由勾股定理得：所以二面角的余弦值为 （3）【考点】1面面垂直的判定与性质；2空间向量的应用；3多面体的体积【方法点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在20如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、（1）若直线，的斜率存在，并记为，求证：为定值；（2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【答案】（1）见解析；（2）为定值【解析】试题分析：（1）设直线的直线方程分别为、，由圆心到直线的距离等于半径可以得到、，由此可得是方程的两个不相等的实数根,由违达定理可知，由点在椭圆上可得；（2）分直线与直线与椭圆方程联立，可得，直接计算，并将代入表达式即可得到的和为定值试题解析：（1）因为直线：以及：与圆相切，所以 , 化简得： 同理：， 所以， 因为点在椭圆C上，所以，即，所以 （2）是定值，定值为9理由如下：法一：（i）当直线、不落在坐标轴上时,设,联立解得 所以，同理，得， 由，所以 （ii）当直线、落在坐标轴上时,显然有，综上： 法二：（i）当直线、不落在坐标轴上时,设,因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 即 ， 所以，整理得，所以，所以（ii）当直线、落在坐标轴上时,显然有，综上：【考点】1椭圆的定义与几何性质；2直线与圆的位置关系；3直线与椭圆的位置关系21已知函数，（1）设若函数在处的切线过点，求的值；当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且（），求证：当时，【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）求函数的导数，求出切线的斜率，且，所以可求出切线方程，将点点代入切线方程即可；当，可得,讨论函数的单调性，当时，函数在上单调递增，这时只要函数的最小值即可；当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，这时只要函数的最小值即可，综合两种情况可求出的取值范围；（2）由题意有等价于，构造函数，求导得，又在区间上恒成立，故函数在区间上是增函数，所以恒成立，可证不等式成立试题解析：（1）由题意，得，所以函数在处的线斜率， 又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得（2）当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而 当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增所以函数在上有最小值为，令，解得，所以 综上所述，（3）由题意，而等价于， 令， 则，且，令，则，因， 所以 所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即【考点】1导数的几何意义；2导数与函数的单调性、极值；3函数与不等式【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值，属难题应用导数求极值应注意三点：1求单调区时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；2时，不一定是极值点；3求最值时，就注意极值点与所给区间的的关系，关系不确定时应分类讨论22如图，AB是O的直径，C、F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D连接CF交AB于点E（1）求证：DE2=DBDA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）因为DF2=DBDA，所以只要证即可，连接，由，又，所以有，由此可得，可证结论成立；（2）由圆幂定理可求出,从而可求出直径及半径，进一步求出，由勾股定理即可求的长试题解析：（1）证明：连接OF因为DF切O于F，所以OFD=90所以OFC+CFD=90BACDEOF因为OC=OF，所以OCF=OFC因为COAB于O，所以OCF+CEO=90所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O的切线，所以DF2=DBDA所以DE2=DBDA（2）解：DF2=DBDA，DB=2，DF=4DA= 8， 从而AB=6， 则又由（1）可知，DE=DF=4， BE=2，OE=1从而 在中，【考点】圆及圆的性质23已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】试题分析：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，在直角坐标条件下求出曲线的圆心坐标和半径，将直线的参数方程化为普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）将圆化为参数方程形式，代入由三角公式化简可求其取值范围试题解析：（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为： 直线的直角坐标方程为： 圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为 ：或（2）曲线的方程可化为，其参数方程为： 为曲线上任意一点，的取值范围是 【考点】1极坐标与直角坐标互化；2参数方程与普通方程互化；3圆的参数方程的应用24选修4-5：不等式选讲设函数（1）当，时，求使的取值范围；（2）若恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由指数函数的单调性可知等价于分区间讨论去绝对值解不等式即可；（2）由指数函数性质可知，由绝对值不等式性质进行转化可求的取值范围试题解析：（1）由于是增函数，等价于 当时，则式恒成立，当时，式化为，即，当时，式无解综上，取值范围是（2）而由 要恒成立，只需，可得的取值范围是-5，5 10分【考点】1含绝对值不等式的解法；2指数函数的性质；3函数与不等式试卷第19页，总20页