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【例1】(2012全国大纲卷理22)函数,定义数列如下:,是过两点、的直线与轴交点的横坐标.(1) 证明:;(2)求数列的通项公式.【证】(1)证:直线的方程为,即,令,解得.下用数学归纳法证明: 当时,所以. 假设当时结论成立,即,则当时, 由,得,即,故.由知,对一切都有.从而,故.综上,.(2)解:由(1)知,则 , , ,得,故数列是首项为,公比为的等比数列. 因此,解得:.【例2】已知函数在开区间(0,1)内是增函数() 求实数a的取值范围;() 若数列满,证明:() 解:,由于f (x)在(0,1)内是增函数, ,即 在x(0,1)时恒成立 恒成立,而 2x21, ,即 , 即为所求() 证明: 当n=1时,由题设知a1(0,1) 假设当n=k时,不等式成立,即ak(0,1),则当n=k+1时,由()知,f(x)=ln(2x)+x在(0,1)上是增函数,即ak+1(0,1),故n=k+1时命题成立.根据 知0an1,nN*又 , 【例3】已知函数,数列满足:,证明:() ;() .证明:() 先用数学归纳法证明 当n=1时,由已知,结论成立. 假设当n=k时结论成立,即,因为时,所以在(0,1)上是增函数,又在0,1上连续,从而,即,故当n=k+1时,结论成立.由可知,对一切正整数都成立.又因为时,所以,综上所述.() 设函数,由()可知,当时,.从而,所以在(0,1)上是增函数.又,所以当时,0成立.于是,即,故【例4】已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:()()()若则当n2时,.( )解: ()先用数学归纳法证明,.(1)当n=1时,由已知得结论成立;(2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知 ()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而 () 因为 ,所以, , 所以 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = . 由 两式可知: .【例5】 设函数与数列满足以下关系: ,其中是方程的实根; ; 的导数.() 求证:;() 判断与的大小关系,并证明你的结论.() 证: 当时,不等式成立. 假设当时不等式成立,即,则时,则递增.,即时不等式也成立.由、知,对一切都成立. () 解:, 设,则, 递减,而, , 即,亦即,. 【例6】(2005江西)已知数列(1)证明(2)求数列的通项公式an.解:(1)方法一 用数学归纳法证明:1当n=1时,命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知,对一切nN时有方法二:用数学归纳法证明:1当n=1时,; 2假设n=k时有成立, 令,在0,2上单调递增,所以由假设有:即也即当n=k+1时 成立,所以由1、2知,对一切 (2)下面来求数列的通项:所以,又bn=1,所以【拓展题】【例】、数列满足,且.(1)当时,求数列的通项公式; (2)若不等式对一切恒成立,求的取值范围; (3)当时,证明:.解:(1)当时,.(2),要使对一切恒成立,至少需使成立.下面先用数归法证明:当时,(略),再由知恒成立.所以为所求.(3)当时,由(2)知,则由,从而,等号当且仅当时成立.(2009安徽理21)首项为正数的数列满足 (1)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;(2)若对一切都有,求的取值范围.略解:(1)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,则由递推关系得是奇数.(因为是偶数)根据数学归纳法,对任何,都是奇数.(2)(方法一)由知,当且仅当或.另一方面,若则;若,则根据数学归纳法,综合所述,对一切都有的充要条件是或.(方法二)由得于是或.,因为所以所有的均大于,因此与同号.根据数学归纳法,与同号.因此,对一切都有的充要条件是或.
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