用数学归纳法证明数列不等式

【例1】（2012全国大纲卷理22）函数，定义数列如下：，是过两点、的直线与轴交点的横坐标.（1） 证明:；（2）求数列的通项公式.【证】（1）证：直线的方程为，即，令，解得.下用数学归纳法证明： 当时，所以. 假设当时结论成立，即，则当时， 由，得，即，故.由知，对一切都有.从而，故.综上，.（2）解：由（1）知，则 ， ， ，得，故数列是首项为，公比为的等比数列. 因此，解得：.【例2】已知函数在开区间(0，1)内是增函数() 求实数a的取值范围；() 若数列满，证明：() 解：，由于f (x)在(0，1)内是增函数， ，即 在x(0，1)时恒成立 恒成立，而 2x21， ，即 ， 即为所求() 证明： 当n=1时，由题设知a1(0，1) 假设当n=k时，不等式成立，即ak(0，1)，则当n=k+1时，由()知，f(x)=ln(2x)+x在(0，1)上是增函数，即ak+1(0，1)，故n=k+1时命题成立.根据 知0an1，nN*又 ， 【例3】已知函数,数列满足：，证明：() ；() .证明：() 先用数学归纳法证明 当n=1时，由已知，结论成立. 假设当n=k时结论成立，即，因为时，所以在(0，1)上是增函数，又在0，1上连续，从而，即，故当n=k+1时，结论成立.由可知，对一切正整数都成立.又因为时，所以，综上所述.() 设函数，由()可知，当时，.从而,所以在（0，1）上是增函数.又，所以当时，0成立.于是，即，故【例4】已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.( )解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知 ()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而 () 因为 ,所以, , 所以 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = . 由 两式可知: .【例5】 设函数与数列满足以下关系： ，其中是方程的实根； ； 的导数.() 求证：；() 判断与的大小关系，并证明你的结论.() 证： 当时，不等式成立. 假设当时不等式成立，即，则时，则递增.，即时不等式也成立.由、知，对一切都成立. () 解：， 设，则， 递减，而， ， 即，亦即，. 【例6】（2005江西）已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n=1时，命题正确.2假设n=k时有 则 而又时命题正确.由1、2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n=k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以由1、2知，对一切 （2）下面来求数列的通项：所以,又bn=1，所以【拓展题】【例】、数列满足，且.（1）当时，求数列的通项公式； （2）若不等式对一切恒成立，求的取值范围； （3）当时，证明：.解：（1）当时，.（2），要使对一切恒成立，至少需使成立.下面先用数归法证明：当时，(略)，再由知恒成立.所以为所求.（3）当时，由(2)知，则由，从而，等号当且仅当时成立.（2009安徽理21）首项为正数的数列满足 （1）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；（2）若对一切都有，求的取值范围.略解：（1）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系得是奇数.（因为是偶数）根据数学归纳法，对任何，都是奇数.（2）（方法一）由知，当且仅当或.另一方面，若则；若，则根据数学归纳法，综合所述，对一切都有的充要条件是或.（方法二）由得于是或.，因为所以所有的均大于，因此与同号.根据数学归纳法，与同号.因此，对一切都有的充要条件是或.