2019全国2卷理科数学试题详解

2019 全国 2 卷理科数学试题详解一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。1.设集合则解析：或选2.设则在复平面对应的点位于第一象限第二象限第三象限第四象限解析：，对应点位于复平面第三象限，选3.已知则解析：，选4. 年 月 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥” 。鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行 ， 点是平衡点，位于地月连线的延长线上，设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为根据牛顿运动定理和万有引力定律，满足方程：设由于的值很小，因此在近似计算中则 的近似值为解析：，选5.演讲比赛共有为评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、一个最低分，得到个有效评分。个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是中位数平均数方差极差解析：不妨把个原始评分从小到大排序记作：去掉剩余个有效评分为，由数字特征定义知，不变的数字特征是中位数，选6.若则解析：由函数的基本性质知，当时，只有成立，选7.设，为两个平面，则的 充要条件是内有无数条直线与平行内有两条相交直线与平行，平行于同一条直线，垂直于同一平面解析：由面面平行的判定定理知，正确，选8.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则解析：抛物线的焦点为所以椭圆焦点在轴上 ，由题知，又，选9.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是解析：由的函数图象可知，周期为且在区间单调递增的函数是，选10. 已知则解析：，11. 设为双曲线：，又，的右焦点，选为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点若则的离心率为解析：由题知，选12. 设函数若对任意的定义域为都有，满足且当则的取值范围是时，解析：，时，时，时，时时时，时，故当时，令，得，结合图象时，都有都有二、填空题：本题共4 小题，每题，5 分，共选20 分。13. 我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为解析：平均正点率估计值为，填14. 已知是奇函数，且当时，若则解析：已知是奇函数，且当时，填15.的内角，的对边分别为若则的面积为解析：，由余弦定理知的面积填16. 中国有悠久的金石文化，印信时金石文化的代表之一。印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员孤独信的印信形状是“半正多面体” 图半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体。半正多面体体现了数学的对称美。图是一个棱数为的半正多面体，它的所有顶点都在同一正方体的表面上，且此正方体的棱长为，则该半正多面体共有个面 ，其棱长为（本题第一空分，第二空分。）解析：由图知，该半正多面体的面数为，设所求棱长为则由题知，第一空填，第二空填三、解答题：共分。第题为必考题。第、题为选考题。（一）必考题：共60 分17. （12 分）如图，长方体的底面是正方形 、点在棱上，证明：平面若求二面角的正弦值解析：在正方体中，平面平面，又，且，平面，平面底面是正方形，若，由知平面，则，为等腰直角三角形，取则，以为坐标原点，以，分别为轴如图建立空间直角坐标系则设平面的法向量则取则设平面的法向量则取则二面角的正弦值为18. （12 分）分制乒乓球比赛，每赢一球得分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得分的一方获胜，该局比赛结束。甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立。在某局双方后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束。求求事件“且甲获胜”的概率。解析：用甲表示甲发球时甲得分，用乙表示乙发球时乙得分，用甲表示甲发球时乙得分，用 乙表示乙发球时甲得分，甲先发球,X=2 ，甲:乙为 10:12 或 12:10 时比赛结束。则甲乙甲乙甲先发球 ，且甲获胜，则甲：乙为时比赛结束则且甲获胜甲乙甲乙甲乙甲乙事件“且甲获胜”的概率为19. （12 分）已知数列和满足证明：是等比数列，是等差数列求和的通项公式解析：得：，即得：，即又，是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公差为的等差数列由知，20.(12分 )已知函数讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线 。解析：且在上单调递增，在，上单调递增 。在和，上各有一个零点有且仅有两个零点设是的一个零点 ，则，在点处的切线斜率为在点处的切线方程为：，即设该切线与切于，又且，曲线在点处的切线也是曲线的切线且切点为21 （ 12 分）已知点，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线求的方程，并说明是什么曲线过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交与点证明：是直角三角形求面积的最大值解析：设直线与的斜率分别为，点，动点，：曲线是去掉左右顶点，长轴长为焦点为的椭圆设则由题知直线斜率存在且不为，则直线的方程为直线的方程为，且，由与，联立得解得，直线的斜率为，是直角三角形由得的面积令则在单调递减 ，时， 取得最大值 ，最大值为面积的最大值为二) 选考题：共10 分。请考生在第22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 【选修 4-4 ：坐标系与参数方程】 （ 10 分）在极坐标系中，为极点，点在曲线：上 直线 过点且与垂直，垂足为当时，求及 的极坐标方程当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程解析：点在曲线：上，当时，设，则直线的极坐标方程为设则即在线段上，且，点轨迹的极坐标方程为，23. 【选修 4-5 ：不等式选讲】 (10 分 )已知当时，求不等式的解集若时，求的取值范围解析：当时，不等式的解集为，当，且时，的取值范围是