福建师范大学21春《近世代数》离线作业2参考答案19

福建师范大学21春近世代数离线作业2参考答案1. 若可以由向量组1，2，m线性表出，则，1，2，m线性相关 若不能由向量组1，2，m线性表出，则，1，若可以由向量组1，2，m线性表出，则，1，2，m线性相关若不能由向量组1，2，m线性表出，则，1，2，m线性无关？例 上题中，1不能由2，3线性表出，但1，2，3线性相关2. 设函数f(x)在0，1上可微，对于0，1上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f&39;(x)1，证明：在(0，1)设函数f(x)在0，1上可微，对于0，1上每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f(x)1，证明：在(0，1)内有且仅有一个x，使f(x)=x3. 某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下： A 97 102某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下：A9710210396100101100B10010110398979910210198101在=0.05下，能否认为B种仪器的精度比A种仪器的精度高?一般地，物体的长度服从正态分布，但1，2未知，可以认为方差小的精度高，故待检假设为H0：，H1：，是单侧检验，计算得 F统计量 查表知F0.05(6，9)=3.37，经比较知F=1.7148F0.05(6，9)=3.37，故接受H0认为仪器B的精度不比仪器A高 4. 计算矩阵的指数函数eAt计算矩阵的指数函数eAtA有特征值=0，=i，=-i 对应于=0的特征向量u=u1，u2，u3T满足 可取特征向量u=1，0，0T，其中0为任意常数对应于=i的特征向量v=v1，v2，v3T满足 可取特征向量v=1+2i，i-2，1T，其中0为任意常数对应于=-i的特征向量w=w1，w2，w3T满足 可取特征向量w=1-2i，-2-i，1T，其中0为任意常数对应的齐次微分方程组有基解矩阵(取=1) 因为 ， 得 eAt=(t)-1(0) 5. 若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是( ) A B C D若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是()ABCDABC由收敛级数的基本性质可知：(A)，(B)，(C)均正确；(D)错误当S2=0时不成立6. 设f(x)=|x(1x)|，则( ) Ax=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点 Bx=0不是f(x)的极值点，但(设f(x)=|x(1-x)|，则()Ax=0是f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x)的拐点Bx=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点Cx=0是f(x)的极值点，(0，0)也是曲线y=f(x)的拐点Dx=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点C7. 在数域F上x23x2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0在数域F上x2-3x+2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： B8. 验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat)正确答案：(1)uxkcos(kx)sin(akt) uxxk2sin(kx)sin(akt) utaksin(kx)cos(akt)rnutta2k2sin(kx)sin(akt)rn综上utta2uxx成立；rnrn综上utta2uuxx成立；rn(3)uxcos(xat)uxxasin(xat) utacos(xat) utta2sin(xat)rn综上utta2uxx成立(1)uxkcos(kx)sin(akt)uxxk2sin(kx)sin(akt)utaksin(kx)cos(akt)utta2k2sin(kx)sin(akt)综上,utta2uxx成立；综上,utta2uuxx成立；(3)uxcos(xat)uxxasin(xat)utacos(xat)utta2sin(xat)综上,utta2uxx成立9. 设函数f(x)x2(x1)(x2)，则f(x)的零点个数为A0B1C2D3设函数f(x)x2(x1)(x2)，则f(x)的零点个数为A0B1C2D3正确答案：D详解因为f(0)f(1)f(2)0，因此f(x)在区间(0，1)和(1，2)上各至少有一个零点，又显然f(0)0，因此f(x)的零点个数为3，故应选(D)评注若直接计算f(x)有f(x)x(4x29x4)也可推导出f(x)的零点个数为310. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵证明：如果A为幂等矩阵，且AB，则B是幂等矩阵如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵证明：如果A为幂等矩阵，且AB，则B是幂等矩阵因AB，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵11. 某厂生产一种熔丝，规定熔丝熔化时间的方差不能超过400今从一批产品中抽取25个，测得其熔化时间的方差为388.某厂生产一种熔丝，规定熔丝熔化时间的方差不能超过400今从一批产品中抽取25个，测得其熔化时间的方差为388.58设熔化时间服从正态分布，根据所给数据，检查这批产品的方差是否符合要求(=0.05)设熔丝熔化时间为X，则XN(u，2)，依题意有n=25，s2=388.58 待检假设H0：202=400，H1：202=400 检验统计量，得拒绝域为 22(n-1)=0.052(24)=36.415. 由于22(n-1)，故接受H0，即这批产品的方差符合要求 12. 简述统计指标的分类。简述统计指标的分类。正确答案：统计指标可以按其研究的目的从不同角度进行分类：按指标反映的时间特点不同分为时点指标和时期指标；按指标计量单位的不同分为实物指标和价值指标；按指标反映总体特征的不同分为数量指标和质量指标。统计指标可以按其研究的目的从不同角度进行分类：按指标反映的时间特点不同,分为时点指标和时期指标；按指标计量单位的不同,分为实物指标和价值指标；按指标反映总体特征的不同,分为数量指标和质量指标。13. 求出等于下列表达式的一个二项式系数求出等于下列表达式的一个二项式系数运用Pascal公式，可得 还可运用组合学方法证明。这只要考虑对集合a1，a2，an，b1，b2，b3的k-组合以如下方式形成：从n个a中取k个a，再从3个b中取0个b；或者从n个a中取k-1个a，再从3个b中取1个b；或者从n个a中取k-2个a，再从3个b中取2个b；或者从n个a中取k-3个a，再从3个b中取3个b。因此 14. 矩阵设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_正确答案：应填1分析利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得详解因A的特征值的乘积等于A，又A为3阶矩阵，所以2A23A232348，故115. 试证明： 设fk(x)是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)0若有 (k=1,2,), 则试证明：设fk(x)是E上非负可积函数列，且fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x)0若有(k=1,2,),则证明 令Fk(x)=maxf1(x)，f2(x)，fk(x)，我们有0F(x)Fk+1(x)(kN)若记Fk(x)F(x)(k)，则 ，FL(E). 从而得 . 16. 从装有3只红球，2只白球的口袋中任意取出2只球，则事件“取到2只白球”的逆事件是( ) A取到2只红球 B取到从装有3只红球，2只白球的口袋中任意取出2只球，则事件“取到2只白球”的逆事件是()A取到2只红球B取到的白球数大于2C没有取到白球D至少取到1只红球D因为逆事件等同于否事件，而取到2只白球的否为至少取到1只红球17. 求二次曲线224y5y268y1000的主轴求二次曲线224y5y268y1000的主轴正确答案：主轴为612y110和2y20主轴为612y110和2y2018. 设(X1，X2，Xn)是取自正态总体N(，1)的一个样本，其中未知，-+试求k+C的双侧1-置信区间，其中k，C是常设(X1，X2，Xn)是取自正态总体N(，1)的一个样本，其中未知，-+试求k+C的双侧1-置信区间，其中k，C是常数，k0由于已知，选用样本函数的分布19. 设f(x)，g(x)是E上的非负可测函数。若 f(x)=g(x)， a.e.xE， 则 Ef(x)dx=Eg(x)dx设f(x)，g(x)是E上的非负可测函数。若f(x)=g(x)，a.e.xE，则Ef(x)dx=Eg(x)dx令E1=xE:f(x)g(x)，E2=EE1，m(E1)=0，于是有 EF(x)dx=Ef(x)E1(x)+E2(x)dx =E1f(x)dx+E2f(x)dx =E1g(x)dx+E2g(x)dx=Eg(x)dx 20. 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d 提示：应用综合除法 设2x3-x2+3x-5=a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d，求a，b，c，d提示：应用综合除法 由 可知，以x-2除f(x)得余数d；再以x-2除商q1(x)得余数c；再以x-2除第二次商q2(x)得余数b，易知a=2，也是第三次除法所得之商 算式如下： 结果有 f(x)=2x3-x2-3x-5 =2(x-2)3+11(x-2)2+23(x-2)+13 21. 设M=1，2，3)，与是M的置换：，求-1，-1设M=1，2，3)，与是M的置换：，求-1，-1 22. 求一组满足式(见上题)的不全为零的复系数多项式f(x)，g(x)和h(x)求一组满足式(见上题)的不全为零的复系数多项式f(x)，g(x)和h(x)msg:,data:,voicepath:23. 设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值设随机变量X的分布函数为，求X的概率密度f(x)的最大值当x0时，f(x)=xe-x，最大值f(1)=e-124. 总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为( )总体XN(，2)，检验假设H0：；x1，x2，x11是一个样本，=0.05，则H0的拒绝域为()或25. 判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？判别一个正项级数的收敛性，一般可以按怎样的程序选择审敛法？一般而言，经过一定的训练以后，往往根据所给正项级数的特点，大致可以确定使用何种审敛法来判定级数的收敛性，但这对初学者来说，有时可能感到困难，这时可按下面的程序进行考虑： (1)检查一般项，若，可判定级数发散否则进入(2). (2)用比值审敛法(或根值审敛法)判定倘若或极限不存在，则进入(3). (3)用比较审敛法或极限形式的比较审敛法若无法找到适用的参照级数，则进入(4). (4)检查正项级数的部分Sn和是否有界或判别Sn是否有极限 26. 求直线l1：与直线l2：的公垂线方程求直线l1：与直线l2：的公垂线方程根据题意知公垂线的方向向量可取 ， l1与公垂线所确定平面1的法向量为 , 点(9，-2，0)在平面1上，故1的方程为 -16(x-9)-27(y+2)-17(z-0)=0, 即 16x+27y+17z-90=0. 同理，l2与公垂线所确定平面H2的法向量为 , 点(0，-7，7)在平面2上，故2的方程为 58(x-0)+6(y+7)+31(z-7)=0, 即 58x+6y+31z-175=0. 1与2的交线即为l1与l2的公垂线，故公垂线方程为 27. 平面2x-y=1的位置是( ) A与y轴平行 B与xoy面垂直 C与x轴平行 D与xoy面平行平面2x-y=1的位置是()A与y轴平行B与xoy面垂直C与x轴平行D与xoy面平行B28. 在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?在曲线y=x3上哪一点的切线平行于直线y-12x-1=0?哪一点的法线平行于直线y+12x-1=0?y=3x2曲线y=x3上点(x，y)处切线斜率k=3x2； 曲线y=x3上点(x，y)处法线斜率 直线y-12x-1=0的斜率k1=12 今3x2=12x2=4x=2 在曲线y=x3上点(-2，-8)和点(2，8)处的切线平行于 直线y-12x-1=0 直线y+12x-1=0的斜率k2=-12 令 在曲线y=x3上点和点处的法线平行于 直线y+12x-1=0 29. 已知f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=_已知f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=_正确答案：(1/2)(x2-xy)(1/2)(x2-xy)30. 曲线( ) (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线曲线()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线D直线x=0及y=1分别是该曲线的铅直渐近线与水平渐近线31. 求使直线0，y0，2y10分别变为直线y0，y0，2y10的仿射变换求使直线0，y0，2y10分别变为直线y0，y0，2y10的仿射变换正确答案：设所求仿射变换为：rn 解：设所求仿射变换为：rnrn 由此得到：y(a11a21)(a12a22)y(a13a23)rn 因为直线0对应直线y0于是有rnrn 又直线y0对应直线y0于是有rnrn 同理直线2y10对应直线2y10有rnrn 由、可解得a13a230a11a21rn a12a222rn 因此所求仿射变换为：rn设所求仿射变换为：解：设所求仿射变换为：由此得到：y(a11a21)(a12a22)y(a13a23)因为直线0对应直线y0,于是有又直线y0对应直线y0,于是有同理直线2y10对应直线2y10,有由、可解得a13a230,a11a21,a12a222因此所求仿射变换为：32. 直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和 (1) (2) (3) (4),m1 (5)，a,bR+直接证明下列级数的敛散性如果收敛，求其和(1)(2)(3)(4),m1(5)，a,bR+(1)因为，所以 于是因此级数收敛，且其和为 (2)因为 所以 于是 因此级数收敛，且其和为 (3)因为 ，所以 因为不存在，所以不存在，故级数发散 (4)因为 而m1，所以，于是因此级数收敛，且其和为m (5)因为，所以和均收敛，且 ， 根据收敛级数的性质得知收敛，且其和为 33. 求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。12R234. 9某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话的9某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，试求他拨号不超过三次就能接通电话的概率是多少?若记得最后一位是奇数，则此概率又是多少?此人必定在十次之内接通此号码，将此十次看做是10个箱子，编号为1，2，10把正确的号码看做一个球，此球置于第n号箱子中，表示此人拨n次才能接通电话，球的放置方法共10种以4表示“不超过三次就能接通电话”这一事件，则A的有利场合就是将球置入前三个箱子中，共有三种，故P(A) =3/10=0.3 若记得最后一位是奇数，则多只需拨五次就能接通电话。故样本点总数为5，P(A) =3/5=0.6 35. 两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是_。两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是_。参考答案：一条二次曲线36. f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )正确答案： 37. G是n个结点、m条边的无向简单图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉v结点的图)中有_个结点，_条边G是n个结点、m条边的无向简单图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉v结点的图)中有_个结点，_条边n-1$m-k38. 某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵树苗作样本，测得苗高=59.34cm，=49.16cm试以95%的可靠性估计的两种方案对杨树苗的高度有无影响这是已知双总体均值的双侧假设检验，=0.05，待检假设 H0：1=2， 选U估计量由=59.34，=49.16，1=20，2=18，n1=n2=60，得 查表得z0.025=1.96，经比较知|u|=2.93z0.025=1.96，故拒绝H0，认为两种方案对杨树苗的高度有显著影响 39. 设A为三阶非零矩阵，r(AB)=1，则正确的是_ (A)t=2时，r(A)=1 (B)t=2时，r(A)=2 (C)f2时，r(A)=1 (D)设A为三阶非零矩阵，r(AB)=1，则正确的是_(A)t=2时，r(A)=1(B)t=2时，r(A)=2(C)f2时，r(A)=1(D)t2时，r(A)=2C当t=2时，有 ，|B|=0，B不可逆 当t2时，r(B)=3，从而B可逆，则r(AB)=r(A)=1 故应选(C). 40. 已知P(A)=a，P(B)=n，P(AB)=c，求：(1)；(2);(3);(4)已知P(A)=a，P(B)=n，P(AB)=c，求：(1)；(2);(3);(4)(1) (2) (3) (4) 41. 判别式小于0的二次多项式的虚根是两个互相共轭的复数。( )判别式小于0的二次多项式的虚根是两个互相共轭的复数。( )正确答案： 42. 试以“佐恩引理”定理作为出发点，来证明“策莫罗选择公理”定理试以“佐恩引理”定理作为出发点，来证明“策莫罗选择公理”定理设X=A(A中各集两两互不相交)，为含于X中且与每个A至多有一个公共元的集所成的类 =B:BX且与每个A至多有一公共元显然按包含的关系成一非空半序集再令的任一非空全序子集，E0=E(E)，下证E0 E0X则x1，x2E2，即E2与中某个A有两个公共元，这与E2相矛盾，因此E0与中每个元至多有一公共元，从而E0为的上确界。根据佐恩引理，有极大元，设为M。 现在证明M与每个A必有一个公共元。如若不然，则有某个A，使取A，因中各集互不相交，知M与每个A至多有一公共元，故M，且以M为真子集，这与M是的极大元矛盾了。 综上知，M与每个A有且仅有一个公共元a。对于每个A，令f(A)=a，则f就是所求的映射， 43. 求圆心在(b，0)，半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积求圆心在(b，0)，半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积圆的方程为 (x-b)2+y2=a2 显然，此环状体的体积等于由右半圆周x2=2(y)=b+和左半圆周分别与直线y=-a，y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所产生的旋转体之差，因此所求的环状体的体积 由几何意义知其值为 44. 有效数字越多，相对误差越_有效数字越多，相对误差越_小45. 设服从泊松分布，且已知P=1=P=2，求P=4设服从泊松分布，且已知P=1=P=2，求P=4由P=1=P=2，得，所以=2 因此 46. 已知下列非齐次线性方程组()、()： () ()已知下列非齐次线性方程组()、()：()()对方程组()的增广矩阵施行初等行变换： 由r(A)=r()=34知，方程组()有无穷多解，且原方程组()等价于方程组 (*) 令x4=1，代入方程组(*)对应的齐次方程组中，求得基础解系为=(1，1，2，1)T. 求特解：令x4=0，得 x1=-2，x2=-4，x3=-5. 故所求通解为 x=k(1,1,2,1)T+(-2,-4, 5,0)T$由1的结论可知，方程组()的通解为 x1=-2+k，x2=-4+k，x3=-5+2k，x4=k， 分别将上述解代入方程组()，得 整理可得 由于方程组()的通解中的k可取任意常数，故 m-2=0, n-4=0, t=6, 即 m=2, n=4, t=6 47. 已知当x0时，函数，若函数f(x)在点x=0处连续，则函数值f(0)=_已知当x0时，函数，若函数f(x)在点x=0处连续，则函数值f(0)=_2由于函数f(x)在点x=0处连续，因而函数值f(0)等于极限注意到在x0的过程中，恒有x0，这时函数，因此所求函数值 于是应将“2”直接填在空内 48. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A)f(x)必有间断点(B)(x)2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 49. 集合A=1，2，3，4，下列*运算，哪些代数系统(A，*)是群?集合A=1，2，3，4，下列*运算，哪些代数系统(A，*)是群?不是群。因为普通加法对于A是不封闭的。$是群。因为A=N5-0，5是素数。所以(A，)是群。$不是群。因为*不是封闭运算，也不是可结合运算。50. 若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导函数，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(ax1x2x3b)，证明：在(x1，x3)内至少有一点，使若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导函数，且f(x1)=f(x2)=f(x3)(ax1x2x3b)，证明：在(x1，x3)内至少有一点，使得f()=0显然f(x)在(a，b)内连续可导，故f(x)在x1,x2及x2，x3上连续，在(x1，x2)及(x2，x3)上可导，于是由罗尔定理知，2(x2，x3)，使得 f(1)=f(2)=0 (12)，又，故f(x)在1，2上连续可导，再次应用罗尔定理知， 使得f()=0， (x1，x3)