2016年中考数学复习专题36动点综合问题

专题36 动点综合问题解读考点知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题2年中考【2015年题组】1（2015牡丹江）在平面直角坐标系中，点P（x，0）是x轴上一动点，它与坐标原点O的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）ABC D【答案】A考点：动点问题的函数图象2（2015盐城）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿ADEFGB的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A B C D【答案】B【解析】试题分析：当点P在AD上时，ABP的底AB不变，高增大，所以ABP的面积S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，ABP的底AB不变，高不变，所以ABP的面积S不变；当点P在EF上时，ABP的底AB不变，高减小，所以ABP的面积S随着时间t的减小；当点P在FG上时，ABP的底AB不变，高不变，所以ABP的面积S不变；当点P在GB上时，ABP的底AB不变，高减小，所以ABP的面积S随着时间t的减小；故选B考点：1动点问题的函数图象；2分段函数；3分类讨论；4压轴题3（2015资阳）如图，AD、BC是O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿OCDO的路线匀速运动设APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）A BC D【答案】B考点：1动点问题的函数图象；2分段函数4（2015广元）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发按ABC的方向在AB和BC上移动记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（ ）A B C D【答案】D【解析】考点：1动点问题的函数图象；2压轴题；3动点型；4分段函数5（2015荆州）如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BCCDDA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动设P点运动时间为x（s），BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x0x1时，P点在BC边上，BP=3x，则BPQ的面积=BPBQ，解y=3xx=；故A选项错误；1x2时，P点在CD边上，则BPQ的面积=BQBC，解y=x3=；故B选项错误；2x3时，P点在AD边上，AP=93x，则BPQ的面积=APBQ，解y=（93x）x=；故D选项错误故选C考点：1动点问题的函数图象；2分段函数6（2015邵阳）如图，在等腰ABC中，直线l垂直底边BC，现将直线l沿线段BC从B点匀速平移至C点，直线l与ABC的边相交于E、F两点设线段EF的长度为y，平移时间为t，则下图中能较好反映y与t的函数关系的图象是（）A B C D【答案】B考点：1动点问题的函数图象；2数形结合7（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B，OAB=30，点P在x轴上，P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得P成为整圆的点P个数是（）A6 B8 C10 D12【答案】A考点：1切线的性质；2一次函数图象上点的坐标特征；3新定义；4动点型；5综合题8（2015乐山）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB则PAB面积的最大值是（）A8 B12 C D【答案】C【解析】试题分析：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，3），即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，点C（0，1）到直线的距离是=，圆C上点到直线的最大距离是=，PAB面积的最大值是=，故选C考点：1圆的综合题；2最值问题；3动点型9（2015庆阳）如图，定点A（2，0），动点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 【答案】（1，1）考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2垂线段最短；3动点型；4最值问题；5综合题10（2015三明）如图，在ABC中，ACB=90，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是_ 【答案】1考点：1翻折变换（折叠问题）；2动点型；3最值问题；4综合题11（2015凉山州）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），DOB=60，点P是对角线OC上一个动点，E（0，1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 【答案】（，）【解析】试题分析：连接ED，如图，点B的对称点是点D，DP=BP，ED即为EP+BP最短，四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），DOB=60，点D的坐标为（1，），点C的坐标为（3，），可得直线OC的解析式为：，点E的坐标为（1，0），可得直线ED的解析式为：，点P是直线OC和直线ED的交点，点P的坐标为方程组的解，解方程组得：，所以点P的坐标为（，），故答案为：（，）考点：1菱形的性质；2坐标与图形性质；3轴对称-最短路线问题；4动点型；5压轴题；6综合题12（2015咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BFAE交CD于点F，垂足为G，连结CG下列说法：AGGE；AE=BF；点G运动的路径长为；CG的最小值为其中正确的说法是 （把你认为正确的说法的序号都填上）【答案】由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，OC=，CG的最小值为OCOG=，故正确；综上所述，正确的结论有故答案为：考点：1四边形综合题；2综合题；3动点型；4压轴题13（2015江西省）如图，在ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，AOC=60，则当PAB为直角三角形时，AP的长为 【答案】或或2图（3）中，APB=90，AO=BO，APB=90，PO=AO=BO=2，又AOC=60，APO是等边三角形，AP=2；故答案为：或或2 考点：1勾股定理；2含30度角的直角三角形；3直角三角形斜边上的中线；4分类讨论；5动点型；6综合题；7压轴题。14（2015鄂尔多斯）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行若甲的速度是乙的速度的3倍，则它们第2015次相遇在边 上【答案】AB第三次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a=a，乙行的路程为4a=3a，在DC边相遇；第四次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a=a，乙行的路程为4a=3a，在AB边相遇；第五次相遇甲乙行的路程和为4a，甲行的路程为4a=a，乙行的路程为4a=3a，在AD边相遇；因为2015=，所以它们第2015次相遇在边AB上故答案为：AB考点：1一元一次方程的应用；2动点型15（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，B=90，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿ADC运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动设点P，Q运动的时间为t秒（1）从运动开始，当t取何值时，PQCD？（2）从运动开始，当t取何值时，PQC为直角三角形？【答案】（1）4；（2）t=6或（2）过P点，作PEBC于E，DFBC，DF=AB=8，FC=BCAD=1812=6，DC=10，当PQBC，PQC是直角三角形则：122t+t=6，t=6，此时P运动到了D处；当QPPC，如图1，PC=12+10-2t=22-2t，CQ=t，cosC=，解得：t=，当t=6或时，PQC是直角三角形考点：1平行四边形的判定与性质；2勾股定理的逆定理；3直角梯形；4动点型；5分类讨论；6综合题16（2015宿迁）已知：O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E（1）如图1，求证：EAEC=EBED；（2）如图2，若，AD是O的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图3，若ACBD，点O到AD的距离为2，求BC的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）4试题解析：（1）EAD=EBC，BCE=ADE，AEDBEC，EAEC=EBED；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F，B是弧AC的中点，BAC=ADB=ACB，且AF=CF=0.5AC又AD为O直径，ABC=90，又CFB=90，CBFABD，故CFAD=BDBC，ACAD=2BDBC；（3）如图3，连接AO并延长交O于F，连接DF，AF为O的直径，ADF=90，过O作OHAD于H，AH=DH，OHDF，AO=OF，DF=2OH=4，ACBD，AEB=ADF=90，ABD=F，ABEADF，1=2，BC=DF=4考点：1圆的综合题；2动点型；3相似三角形的判定与性质；4和差倍分；5综合题；6压轴题17（2015攀枝花）如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6如图2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒（1）当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；（2）当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；（3）点P在线段AB或线段BC上运动时，作PEx轴，垂足为点E，当PEO与BCD相似时，求出相应的t值【答案】（1）D（4，3），P（12，8）；（2）；（3）6（2）当点P在边AB上时，BP=6t，由三角形的面积公式得出S=BPAD；当点P在边BC上时，BP=t6，同理得出S=BPAB；即可得出结果；（3）设点D（，）；分两种情况：当点P在边AB上时，P（，），由和时；分别求出t的值；当点P在边BC上时，P（，）；由和时，分别求出t的值即可试题解析：（1）延长CD交x轴于M，延长BA交x轴于N，如图1所示：则CMx轴，BNx轴，ADx轴，BNDM，四边形ABCD是矩形，BAD=90，CD=AB=6，BC=AD=8，BD=10，当t=5时，OD=5，BO=15，ADNO，ABDNBO，即，BN=9，NO=12，OM=128=4，DM=96=3，PN=91=8，D（4，3），P（12，8）；当点P在边BC上时，P（，），若时，解得：t=6；若时，解得：（不合题意，舍去）；综上所述：当t=6时，PEO与BCD相似考点：1四边形综合题；2动点型；3分类讨论；4分段函数；5压轴题18（2015桂林）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动（1）直接写出抛物线的解析式： ；（2）求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，CED的面积最大？最大面积是多少？（3）当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使PCD的面积等于CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2），当t=5时，S最大=；（3）存在，P（，）或P（8，0）或P（，）利用三角形的面积公式即可求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C，D的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EFCD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DNCD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NHCD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标（2）点A（0，8）、B（8，0），OA=8，OB=8，令y=0，得：，解得：，点E在x轴的负半轴上，点E（2，0），OE=2，根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，OD=8t，DE=OE+OD=10t，S=DEOC=（10t）t=，即=，当t=5时，S最大=；（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，当t=5时，OC=5，OD=3，C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，直线CD的解析式为：，过E点作EFCD，交抛物线与点P，如图1，过点E作EGCD，垂足为G，当t=5时，SECD=CDEG=，EG=，过点D作DNCD，垂足为N，且使DN=，过点N作NMx轴，垂足为M，如图2，综上所述：当CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使PCD的面积等于CED的最大面积，点P的坐标为：P（，）或P（8，0）或P（，）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3动点型；4存在型；5最值问题；6分类讨论；7压轴题19（2015淮安）如图，在RtABC中，ACB900，AC=6，BC=8动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒（1）当t 秒时，动点M、N相遇；（2）设PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由【答案】（1）；（2）S=；（3）在整个运动过程中，KAC的面积会发生变化，最小值为，最大值为4（3）分两种情况讨论，当P在BC上运动时，如图4，当P与C重合时，最小，当t=0是，M与A重合，N与B重合，如图5，此时三角形最大；当P在CA上运动时，如图6，过K作KEAC于E，过M作MFAC于F，可以得到=，而，故当时，的最小值=，当时，的最大值=综合可得到结论试题解析：（1）ACB900，AC=6，BC=8，AB=10，当M、N相遇时，有，；当时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近，如图1，AM=t，BN=3t，MN=104t，MG=GN=MN=，GB=GN+NB=，tanB=，PG=，S=MNPG= GNPG=；当时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C，如图2，MN=NB+AMAB=，GN=MG=，AM=t，AG= AMMG =，tanA=，PG=，S=MNPG= GNPG=；S=；（3）当P在BC上运动时，如图4，当P与C重合时，最小，过M作MFAC于F，则MFBC，MF=1.12，=ACMF=，当t=0是，M与A重合，N与B重合，此时三角形最大，如图5，此时BG=AG=5，cosB=，PB=，PC=BCPB=8=，=ACPC=，K是AP 的中点，=，当P在BC上运动时，KAC面积的最小值为，最大值为；综合可得：在整个运动过程中，KAC的面积会发生变化，最小值为，最大值为4考点：1三角形综合题；2动点型；3分类讨论；4最值问题；5分段函数；6压轴题 【2014年题组】1（2014年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿线段BO、OA匀速运动到点A，则OP的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（ ）ABCD【答案】D考点：1动点问题的函数图象；2分类思想的应用2（2014年贵州安顺）如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN=30，点B为劣弧AN的中点点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：作点B关于MN的对称点B，连接OA、OB、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得AB考点：1轴对称的应用（最短路线问题）；2圆周角定理；3等腰直角三角形的判定和性质3（2014年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按ABC的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）A B C D【答案】B【解析】考点：1单动点问题函数图象的分析；2由实际问题列函数关系式；3矩形的性质；4相似三角形的判定和性质；4（2014年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的O相切于点A，P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连接PA设PAx，PBy，则（xy）的最大值是 【答案】1【解析】试题分析：如答图，过点A作O的直径AC，连接PC,由已知和圆周角定理易得ABP和CPA的两对应角相等,ABPCPA， ，即当x=2时，的最大值是1考点：1圆周角定理；2相似三角形的判定和性质；3由实际问题列函数关系式；3二次函数的最值5（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则BEQ周长的最小值为_【答案】6考点：1单动点问题；2轴对称的应用（最短路线问题）；3正方形的性质；4勾股定理6（2014年浙江嘉兴中考）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，CBA=30，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DFDE于点D，并交EC的延长线于点F下列结论：CE=CF；线段EF的最小值为；当AD=2时，EF与半圆相切；若点F恰好落在BC上，则AD=；当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是其中正确结论的序号是 【答案】【解析】试题分析：如答图1，连接CD,根据轴对称的性质，CECD，DCEECD又DFDE，CD=CFCECF结论正确若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD=AB=8结论错误当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是ABC面积的2倍，为结论正确综上所述，结论正确的是考点：1轴对称的性质；2垂直线段的性质；3圆周角定理；4含30度角直角三角形的性质；5等边三角形的性质；6切线的判定7（2014年湖南衡阳）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向点移动同时，将直线以每秒个单位长度的速度向上平移，交于点，交于点，设运动时间为秒证明：在运动过程中，四边形总是平行四边形；当t取何值时，四边形为菱形？请指出此时以点为圆心、长为半径的圆与直线的位置关系并说明理【答案】（1）证明见解析；（2）当时，四边形ACDP为菱形；以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切试卷解析：（1）直线AB与x轴相交于点A（-4，0），与y轴相交于点B（0，3），易求直线AB的解析式为：yAB=x+3将直线y=x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移t（0t5）秒得到直线CD，OD=0.6t， D（0，0.6t） ，直线CD的解析式为yCD=x+0.6t，在直线CD中，点C在x轴上，令y=0，则x=-0.8t，C（-0.8t，0），OC=0.8t，在RtOCD中，CD=，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动t（0t5）秒，AP=t，AP=CD=t，又kAP=kAB=kCD=，APCD，APCD，AP=CD=t，在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形（2）欲使四边形ACDP为菱形，只需在平行四边形ACDP中满足条件AC=CD，即4-0.8t=t,解得，当时，四边形ACDP为菱形；过点D作DEAB于点E，连结AD，AD是菱形ACDP的对角线，AD平分OAB，又DOAO，DEAB，DE=DO=R，点D到直线AB的距离点D到直线AO的距离，以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切考点：1平行四边形的判定；2菱形的判定；3直线与圆的位置关系8（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动以CP，CO为邻边构造PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为秒（1）当点C运动到线段OB的中点时，求的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MNPE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设PCOD的面积为S当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的的值；若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围【答案】（1），（，0）；（2）证明见解析；（3）1，5；S或S20第二种情况，当点N在CE边上时，由EFNEOC求解,当1t时和当t5时，分别求出S的取值范围,当1t时，S=t（62t）=2（t）2+,t=在1t范围内，S当t5时，S=t（2t6）=2（t）2，S20试题解析：（1）OB=6，C是OB的中点，BC=OB=32t=3，即t=OE=，E（，0）（2）如图1，连接CD交OP于点G,在平行四边形PCOD中，CG=DG，OG=PG，AO=PO，AG=EG 四边形ADEC是平行四边形（）当点C在BO的延长线上时，第一种情况：如答图4，当点M在DE边上时,MFPD，EMFEDP即，解得t=第二种情况：如答图5，当点N在CE边上时，NFOC，EFNEOC即，解得t=5 综上所述，所有满足条件的t的值为1，5考点：1平行四边形的判定；2相似三角形的判定和性质；3二次函数的性质；4分类思想的应用考点归纳归纳 1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质【例1】如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3cm，BC=4cm动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得PBC为等腰三角形BAC【答案】符合要求的t的值有3个，分别是 ，4，（秒）【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，此题要分类讨论三边中腰的情况，所以应有3种可能，然后利用两腰相等即可得出答案试题解析：在RtABC中，ACB=90，AC=3cm，BC=4cmAB=5 cm 考点：等腰三角形的性质与判定归纳 2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合【例2】如图，在RtABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：如图，过点C作CHAB交AB于点H，交AD于点P，过点P作PQAC于点考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2角平分线的性质；3勾股定理；4直角三角形的面积归纳 3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=2，点E在边AD上，ABE=45，BE=DE，连接BD，点P在线段DE上，过点P作PQBD交BE于点Q，连接QD设PD=x，PQD的面积为y，则能表示y与x函数关系的图象大致是（）【答案】C【解析】试题分析：ABE=45，A=90，ABE是等腰直角三角形，AE=AB=2，BE=AB=2，BE=DE，PD=x，PE=DEPD=2x，PQBD，BE=DE，QE=PE=2x，又ABE是等腰直角三角形（已证），点Q到AD的距离=（2x）=2x,PQD的面积y=x（2x）=（x22x+2）=（x）2+,即y=（x）2+，纵观各选项，只有C选项符合考点：动点问题的函数图象1年模拟1（2015届北京市平谷区中考二模）如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2，则AB边上的高是（ ） A3 B4 C5 D6【答案】B考点：1动点问题的函数图像；2动点型2（2015届北京市门头沟区中考二模）在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）设OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（ ）A B C D【答案】C考点：1动点问题的函数图像；2动点型3（2015届山东省日照市中考模拟）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿ABCDA运动一周，则P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）【答案】D【解析】试题分析：由于点P是在正方形的边上移动，所以P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的图象表示为D故选D考点：1动点问题的函数图象；2动点型4（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿回到点A，下面可以近似地刻画小江与中心点O的距离S随时间t变化的图象是（ ）【答案】C考点：1动点问题的函数图象；2动点型5（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图在RtABC中，ACB=90，BAC=30，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（ ）A B C D【答案】B考点：1动点问题的函数图象；2动点型6（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AEEC运动到点C时停止，点Q从点A沿折线ABBC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s如果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），APQ的面积为y（cm2），则y与t的函数关系的图象可能是（ ）A B C D【答案】B考点：1动点问题的函数图象；2动点型；3分段函数；4分类讨论7（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=x2上的一个动点（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：PNM=QNM【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR直线y=-1，PH直线y=-1，垂足为R，H，那么QRMNPH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：PH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出QNR=PNH，根据等角的余角相等，可得出QNM=PNM试题解析：（1）设点P的坐标为（x0，x20），则PM=x20+1；又因为点P到直线y=-1的距离为，x20-（-1）=x20+1，所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切；考点：1二次函数综合题；2动点型8（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，RtABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接PQ（1）若BPQ与ABC相似，求t的值；（2）连接AQ、CP，若AQCP，求t的值【答案】（1）t=1或时，BPQBCA；（2）t=试题解析：根据勾股定理得：BA=10；（1）分两种情况讨论：当BPQBAC时，BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，解得，t=1，当BPQBCA时，解得，t=；t=1或时，BPQBCA；（2）过P作PMBC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM，ACQ=PMC，ACQCMP，解得t=考点：1相似三角形的判定与性质；2动点型；3分类讨论9（2015届北京市平谷区中考二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（5，0），B（3，2），点C在线段OA上，BC=BA，点Q是线段BC上一个动点，点P的坐标是（0，3），直线PQ的解析式为y=kx+b（k0），且与x轴交于点D（1）求点C的坐标及b的值；（2）求k的取值范围；（3）当k为取值范围内的最大整数时，过点B作BEx轴，交PQ于点E，若抛物线y=ax25ax（a0）的顶点在四边形ABED的内部，求a的取值范围【答案】（1）点C的坐标是（1，0），b=3；（2）；（3）试题解析：解：（1）直线y=kx+b（k0）经过P（0，3），b=3过点B作BFAC于F，A（5，0），B（3，2），BC=BA，点F的坐标是（3，0）点C的坐标是（1，0）（2）当直线PC经过点C时，k=3当直线PC经过点B时，k=；（3）且k为最大整数，k=1则直线PQ的解析式为y=x+3抛物线y=ax25ax（a0）的顶点坐标是，对称轴为解方程组，得即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，解得考点：1一次函数综合题；2动点型10（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）（10分）如图，抛物线y=x22x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG=2DQ，求点F的坐标【答案】（1）A（3，0）；B（1，0）；C（0，3）；（2）；（3）（4，5）或（1，0）（3）设F（n，n22n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得试题解析：解：（1）由抛物线y=x22x+3可知，C（0，3），令y=0，则0=x22x+3，解得x=3或x=1，（3）M点的横坐标为2，抛物线的对称轴为x=1，N应与原点重合，Q点与C点重合，DQ=DC，把x=1代入y=x22x+3，解得y=4，D（1，4）DQ=DC=，FG=2DQ，FG=4，设F（n，n22n+3），则G（n，n+3），点G在点F的上方，（n+3）（n22n+3）=4，解得：n=4或n=1F（4，5）或（1，0）考点：1二次函数综合题；2最值问题；3动点型11（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，在四边形ABCD中，ABBC，CDBC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）（1）求点N的运动速度；（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值【答案】（1）点N的运动速度是每秒个单位长度；（2）当x=2或x=时，矩形EMNF为正方形；（3）当x=时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是试题解析：（1）由题意得：MC=x，ABBC，EMBC，ABEM，EMCABC，即，EM=x，四边形EMNF为矩形，EM=FN=x，CDBC，BC=CD，DBC=45，BFN是等腰直角三角形，BN=FN=x，又，点N的运动速度是每秒个单位长度；（2）当点M、N相遇时，有x+x=4，解得：x=，当点M到达点B时，点N停止运动，此时x=4若矩形EMNF为正方形，则：FN=MN，当0x时，FN=x，MN=4x，x=4x，解得：x=2，当x4时，EM=4x，MN=x（4x）=x4，4x=x4，解得：x=，综上可得，当x=2或x=时，矩形EMNF为正方形；（3）当0x时，S=x（4x）=（x）2+，当x=时，S最大，最大值是当x4时，S=（4x）（x4）=（x）2+，抛物线开口向下，且对称轴为直线x=，当x=时，S最大，最大值是综上可得，当x=时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是 考点：1四边形综合题；2分类讨论；3最值问题；4二次函数的最值；5动点型；6综合题12（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（-1，0）（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题【答案】（1）B（4，0），C（0，2）；（2）y=-x2+x+2；（3）a=2时，S四边形CDBF的最大值为；E（2，1）；（4）存在（4）先求得CD的长，然后根据CDP是以CD为腰的等腰三角形，求得CP1=DP2=DP3=CD，作CE对称轴于E，得出EP1=ED=2，DP1=4，从而求得P1（，4），P2（，），P3（，-）试题解析：解：（1）令x=0，则y=-x+2=2；令y=0，则0=-x+2，解得x=4，所以B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B的坐标代入得，解得，该二次函数的关系式为y=-x2+x+2；（4）存在，如图3，抛物线y=-x2+x+2的对称轴x=-，OD=，C（0，2），OC=2，在RTOCD中，由勾股定理得CD=，CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD，如图所示，作CE对称轴于E，EP1=ED=2，DP1=4，P1（，4），P2（，），P3（，-） 考点：1二次函数综合题；2动点型；3最值问题；4二次函数的最值13（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点E（1）求证：PA=PE；（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；（3）在（2）的条件下，当P滑动到BD的延长线上时（如图3），请你直接写出AP：PE的比值【答案】（1）证明见解析；（2）AP：PE=5：4；（3）AP：PE=5：4；试题解析：（1）证明：过P作PMAB于M，PNBC于N，四边形ABCD是正方形，ABD=45，MPB=45=ABD，PM=BM，同理BP=BN，四边形ABCD是正方形，ABC=90=BMP=BNP，四边形BMPN是正方形，PM=PN，MPN=90，APE=90，都减去MPE得：APM=NPE，PMAB，PNBC，AMP=PNE，在APM和EPN中，APMEPN（ASA），AP=PE；（2）解：四边形ABCD是矩形，BAD=C=90，PMB=PNB=90，PMAD，PNCD，BPMBDA，BNPBCD，（3）解：AP：PE=5：4考点：1相似形综合题；2动点型14（2015届山东省日照市中考一模）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=-x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2-x+3；（2）（11，36）、（，）、（，）；点E的坐标为（2，1）【解析】试题解析：（）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：，抛物线的解析式为y=x2-x+3联立，解得：或，点B的坐标为（4，1）过点B作BHx轴于H，如图1C（3，0），B（4，1），BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，BH=CH=1BHC=90，BCH=45，BC=同理：ACO=45，AC=3，ACB=180-45-45=90，tanBAC=；PGA=ACB=90，PAQ=CAB，PGABCA，AG=3PG=3x则P（x，3-3x）把P（x，3-3x）代入y=x2-x+3，得x2-x+3=3-3x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）如图2，当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：AG=PG=x，则P（x，3-x），把P（x，3-x）代入y=x2-x+3，得综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）过点E作ENy轴于N，如图3在RtANE中，EN=AEsin45=AE，即AE=EN，点M在整个运动中所用的时间为=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时，DCD=DNO=NOC=90，四边形OCDN是矩形，ND=OC=3，ON=DC=DC对于y=x2-x+3，当y=0时，有x2-x+3=0，解得：x1=2，x2=3，D（2，0），OD=2，ON=DC=OC-OD=3-2=1，NE=AN=AO-ON=3-1=2，点E的坐标为（2，1）考点：1二次函数综合题；2动点型；3存在型；4最值问题；5分类讨论；6综合题15（2015届山东省济南市平阴县中考二模）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC；（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由【答案】（1）当t=时，PQBC（2）y=-t2+3t（3）不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分（4）cm（3）如果将三角形ABC的周长