流体应变率张量课件

流体应变率张量11.7 运动流体应变率张量 前面提到过速度梯度前面提到过速度梯度 ，它是流体作一维平行，它是流体作一维平行流动时，流体的剪切应变率分量，本节将讨论流流动时，流体的剪切应变率分量，本节将讨论流体做任意运动时的运动学特性，重点介绍运动流体做任意运动时的运动学特性，重点介绍运动流体的体的应变率张量应变率张量及其各分量的物理意义。及其各分量的物理意义。dydu流体应变率张量21.7.1 1.7.1 亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理V0VxyzOrM0V0Mr0VVVzzVyyVxxVVMV00)(zzVyyVxxVV显然，显然，是是M点相对于点相对于M0点的相对速度点的相对速度流体运动虽复杂，但取一微元体，分析其中的运动，将得到流体运动虽复杂，但取一微元体，分析其中的运动，将得到一些规律性认识。一些规律性认识。在时刻在时刻t的流场中取一点的流场中取一点 邻域中的任意邻域中的任意一点一点 ，设，设M0点的速度为点的速度为),()(00zyxMrM),()(zzyyxxMrrM由泰勒展开，邻点由泰勒展开，邻点M的速度的速度V流体应变率张量3写成分量形式：写成分量形式：zzwyywxxwwzzvyyvxxvvzzuyyuxxuuzyxzwywxwzvyvxvzuyuxuwvu用矩阵形式：用矩阵形式：流体应变率张量4021212102121210212121212121zvywzuxwywzvyuxvxwzuxvyuzwzvywzuxwywzvyvyuxvxwzuxvyuxuzwywxwzvyvxvzuyuxu对称对称反对称反对称xxyyzzxyxzyzyxzxzyxyzzxy根据矩阵运算法则流体应变率张量5zyxzyxzwywxwzvyvxvzuyuxuwvuxyxzyzzzzyzxyzyyyxxzxyxx000 xyzyxwzxzyxvyzzyxuyxzzzyzxxzyzyyyxzyxzxyxx或rrEVzzzyzxyzyyyxxzxyxxE其中流体的应变率张量或变形速率张流体的应变率张量或变形速率张量，对称的；量，对称的；流体应变率张量6kjizyx而而rrEMVVVMV)()(000与与M0点相同的平动速度点相同的平动速度流体变形流体变形在在M点引起的速度点引起的速度绕绕M0点转动在点转动在M点引起的速度点引起的速度这就是亥姆霍兹速度分解定理。这就是亥姆霍兹速度分解定理。是流体的转动角速度矢量是流体的转动角速度矢量流体应变率张量71.7.2 1.7.2 流体微团运动分析流体微团运动分析为了方便分析，考虑一些流体的特殊运动。为了方便分析，考虑一些流体的特殊运动。t时刻，选正时刻，选正六面体微团，如下图六面体微团，如下图研究其一侧面研究其一侧面abcdabcd，若，若a a点速度为点速度为u u、v v，则，则abcdxyzOxyzzyx流体应变率张量8(a) t(a) t时刻时刻(b) t(b) tt t时刻时刻a1b1c1d1流体应变率张量91.线变形分析（相对伸长速度）yvyyzwzz首先设只有应变率张量中的首先设只有应变率张量中的 其它均为其它均为0，xxxutxtutxxuutabaabbtababba1111因此， 表示线段 的相对伸长率（相对伸长速度）同理存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因)(, 0 xuuxuxux经过经过dt时刻，时刻，abcd 将运动到将运动到a1b1c1d1,如如左图左图,ab边的相对伸长率边的相对伸长率分别表示y、z方向线段的相对伸长率流体应变率张量10各边的相对伸长，将引起流体微团体积膨胀，在各边的相对伸长，将引起流体微团体积膨胀，在t t时时刻后，正方形体积刻后，正方形体积 ，已变为，已变为txzwztxyvytxxuxzyx111zzyyxxtzwyvxutzyxzyxzyx1110limVdivVzwyvxu如果如果 ，表示流体相对体积膨胀率为，表示流体相对体积膨胀率为0，流体是不，流体是不可压缩流体。可压缩流体。0 Vzyx流体微团的相对体积膨胀率为：流体微团的相对体积膨胀率为：常数（时时，处处）流体应变率张量112.2.角变形分析角变形分析( (角变形速度角变形速度) )txvxtxxv)tan(tyuytyyu)tan(yxxytxvyut21/ )(21lim0 xwzuzxxz21ywzvzyyz21考虑应变率张量中只有考虑应变率张量中只有0 xvyu和经过经过dtdt时刻，时刻，abcd abcd 将运动到将运动到a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1, ,产生了角变形，产生了角变形，badbad的减少量为的减少量为 )(平均角变形（剪切）变形率为平均角变形（剪切）变形率为意义类似。意义类似。直角的平均减小率直角的平均减小率流体应变率张量123.3.流体微团旋转分析（流体微团旋转分析（旋转角速度）4由于由于xxyy，a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1近似为菱形，近似为菱形，则有则有222/2/tyuxv转动角速度为转动角速度为yuxvttz21/lim0表示流体微团以（表示流体微团以（x x，y y，z z）为瞬心，绕平行于）为瞬心，绕平行于z z轴旋转的角轴旋转的角速度速度经过经过dtdt时刻，时刻，abcd abcd 将运动到将运动到a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1, ,对角线对角线acac经经 时间转动了角度时间转动了角度t从而从而流体应变率张量13存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因zvywx21xwzuy21也有类似的意义。也有类似的意义。它们三者一起组成了角速度矢量它们三者一起组成了角速度矢量 ，且有，且有Vrot21流体应变率张量14000021212102121210212121212121xyxzyzzzyzzxyzyyyxzxyxxxzvywzuxwywzvyuxvxwzuxvyuAzwzvywzuxwywzvyvyuxvxwzuxvyuxuE各分量都有明确的物理意义，其中三个代表线段的相对伸长率各分量都有明确的物理意义，其中三个代表线段的相对伸长率（速度），三个代表角变形率（速度），三个代表流体本身的自（速度），三个代表角变形率（速度），三个代表流体本身的自转角速度，另外速度散度转角速度，另外速度散度 代表流体体积相对膨胀率。代表流体体积相对膨胀率。V流体应变率张量15例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：cy 0 xuxx0yvyy221kyuxvxy221kyuxvzxyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）（顺时针方向为负）流体应变率张量16例：平面流场ux=ky，uy= kx （k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：cyxkxdykydx22（流线是同心圆族）线变形：0yyxx（无线变形）角变形：0 xy（无角变形）旋转角速度：kkkz21（逆时针的旋转）刚体旋转流动流体应变率张量171.有旋流动2.无旋流动00即：0 x0y0zzvywxwzuyuxv有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动流体应变率张量18例：速度场u=ay（a为常数），v=0，流线是平行于x轴的直线，此流动是有旋流动还是无旋流动？解：是有旋流zxyoux021)0(21aayuxv21相当于微元绕瞬心运动流体应变率张量19例：速度场ur=0 ，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyoruvupsinuucosuv 021yuxvz是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。22yxbyryrb22yxbxrxrb流体应变率张量201.7.3 1.7.3 流体运动的分类流体运动的分类 1.1.不可压缩流动和可压缩流动不可压缩流动和可压缩流动 这是从流体这是从流体微团运动微团运动分析结合分析结合物理性质物理性质的角度分类方法；的角度分类方法； 如果流体在运动过程中，质量不变的情况下，体积相对如果流体在运动过程中，质量不变的情况下，体积相对膨胀率很小，接近于零，意味着密度保持不变，此时可以膨胀率很小，接近于零，意味着密度保持不变，此时可以认为流动是不可压缩的。认为流动是不可压缩的。 体积膨胀率为体积膨胀率为0 0，则有，则有 密度不变可简单地记做密度不变可简单地记做0zwyvxuV常数（时时，处处）流体应变率张量210流体应变率张量220t流体应变率张量23流体应变率张量24流体应变率张量251.8 流体中的作用力与应力张量流体中的作用力与应力张量按作用方式分为体积力和表面力按作用方式分为体积力和表面力1.8.1 1.8.1 体积力体积力体积力的大小与流体的体积或质量成正比，与该体积或体积力的大小与流体的体积或质量成正比，与该体积或质量之外的流体存在与否无关。因此体积力是非接触力，质量之外的流体存在与否无关。因此体积力是非接触力，具有外力性质。具有外力性质。FxyzoAdFdFmFtzyxfm11limlim),(00体积力分布密度，单位是m/s2,与加速度单位相同又称质量力，它是作用在每个流体质点上的力，如重又称质量力，它是作用在每个流体质点上的力，如重力，电磁力，惯性力等。力，电磁力，惯性力等。流体应变率张量26若已知f，则作用在有限体积 内流体上的总体积力为：d fFb重力场中：忽略体积力：gmG0f惯性力：amI直线惯性力rmR2曲线惯性力流体应变率张量271.8.2 1.8.2 表面力与应力表面力与应力表面力是接触力，本质上是内力，但流体与固体接触面上的表表面力是接触力，本质上是内力，但流体与固体接触面上的表面力，对流体是外力。面力，对流体是外力。xyzoAnPA可定义可定义 dAPdAPpAn0lim 称为称为应力矢量应力矢量，简称应力，单位，简称应力，单位N/m2,表示表示t时刻在点（时刻在点（x，y，z）上作用以）上作用以n为法线的单位面积流体上的表面力。为法线的单位面积流体上的表面力。表面力表面力是外界作用在所考察流体接触面上的力。力的大小是外界作用在所考察流体接触面上的力。力的大小和接触面的大小成正比，与流体质量无关。和接触面的大小成正比，与流体质量无关。流体应变率张量28ApnpnnpntPnn注：注：（1）pn的下标的下标n表示所考察流体面表示所考察流体面外法线方向，因此，作用在与之接外法线方向，因此，作用在与之接触的表面应力表示为触的表面应力表示为 ，根据牛顿，根据牛顿第三定律有第三定律有 ，所以，所以 充分显示了应力的内力本充分显示了应力的内力本质。质。ApApnn（2）在粘性不能忽略的运动流体中，在粘性不能忽略的运动流体中， pn的作用方向并不与考的作用方向并不与考查面垂直，此时可将分解：查面垂直，此时可将分解：tpnppntnnn一旦pn已知，则作用在整个面上的表面力的合力已知，则作用在整个面上的表面力的合力dApPnAnnppnp流体应变率张量291.8.3 1.8.3 流场中任一点的应力状态流场中任一点的应力状态应力张量应力张量下面将推导应力下面将推导应力 与与 的关系，并引出应力张量。的关系，并引出应力张量。为研究一点处面元上的表面力，先在流体中以为研究一点处面元上的表面力，先在流体中以M M点为顶点做一点为顶点做一个微四面体，如图，设个微四面体，如图，设MAMAx x，MBMBy ,MC = z,ABCABC的的法向单位矢量为法向单位矢量为 ：npnnkznjynixnn),cos(),cos(),cos(或简写为knjninnzyx设ABC的面积为S，于是MBC、 MCA、 MAB的面积可分别以Sx、 Sy、 Sz 表示为zzyyxxSnSSnSSnSyp-yxzABCMp-zp-xpnnSh31四面体体积流体应变率张量30受力分析 作用在四面体上的力有表面力和质量力（包括惯性力），表面力与面积成正比，为二阶小量；质量力与体积成正比为三阶小量，当四面体缩小为一点，忽略三阶小量，则表面力的合力将等于0，则有0SpSpSpSpnzzyyxxzzyyxxppppppzzyyxxSnSSnSSnS由得zzyyxxnnpnpnpp在直角坐标系中的投影zzzyyzxxznzzzyyyyxxynyzzxyyxxxxnxnpnpnppnpnpnppnpnpnpp流体应变率张量31写成矩阵形式 zzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxnznynxpppppppppnnnppp现将上式写成为PnpnzzzyzxyzyyyxxzxyxxpppppppppP其中称为应力张量，分量第一个下标表示应力作用面法向，第二个下标表示应力的投影方向。根据力矩平衡xyzpxpypzpxypxzpxxpyypyzpyxpzxpzxpzzM.,zyyzzxxzyxxypppppp流体应变率张量32zzyyxxnnpnpnpp表明了表面应力 与外法向单位矢量 的关系npn zzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxnznynxpppppppppnnnppp除了表示二者之间的关系外还引入了应力张量，且应力张量不再与 有关，并只与空间点位置和时间有关。由九个分量组成的应力张量完全表达了给定点M及给定时刻的应力状态。一旦该时刻在该处的面积元从而其外法向单位矢量 确定后，则该面积元上的应力就随之确定： ， 不再与 有关，它只是空间点M及时间t的函数。nntMPnpn,tMP,n自然，应力张量各分量与坐标系的选择有关，但正如矢量的分量也与坐标的选取有关，矢量本身与坐标选取无关一样，应力张量也不依赖于坐标的选取，它们只是时间和空间点函数。流体应变率张量331.8.4 1.8.4 静止流体与运动的无粘性流体中的应力张量静止流体与运动的无粘性流体中的应力张量六个切应力分量均为六个切应力分量均为0 0nnznznnynyxnxnnnzzznzyyynyxxxnxpnppnppnpnpppnppnppnpnn又由于流体只能承受压力而不能承受拉力，因此令由于流体只能承受压力而不能承受拉力，因此令nnzzyyxxpppppIppppP100010001000000于是ppnn压强流体应变率张量34npPnpn上式说明了流体中静压力的两个重要特性： 流场中一点静压强（压力）大小各向等值，即与过同一点作用面的方位无关，因此p是个标量物理量，它只是该点的空间坐标的函数;1. 2. 一点上的静压（压力）总是垂直指向过该点的作用面流体应变率张量35例题：流体内某处的应力张量为例题：流体内某处的应力张量为102021210P问：作用于平面问：作用于平面x3yz1外侧（离开原点一侧）上的应力矢外侧（离开原点一侧）上的应力矢量是什么？这个平面上的应力矢量的法向和切向分量是什么？量是什么？这个平面上的应力矢量的法向和切向分量是什么？解：对平面解：对平面x3yz1外侧法向矢量为外侧法向矢量为kjikjin3111313112故 375111102021210 131 111Pnpn流体应变率张量36该应力矢量在平面该应力矢量在平面x3yz1外侧法向分量为外侧法向分量为1129111113111 375111nppnnn又设应力矢量的切向分量为 ，则np22nnnnppp故112611291183222nnnppp流体应变率张量37复习思考题 1. 1. 何为连续介质？流体力学中为什么要引入连续何为连续介质？流体力学中为什么要引入连续介质假设？什么条件下不可以应用连续介质假设？介质假设？什么条件下不可以应用连续介质假设？ 2. 2. 流体力学有哪些研究方法？各方法的优缺点是流体力学有哪些研究方法？各方法的优缺点是什么？什么？ 3. 3. 什么是牛顿内摩擦定律？它的应用条件是什么？什么是牛顿内摩擦定律？它的应用条件是什么？什么是牛顿流体和非牛顿流体？什么是牛顿流体和非牛顿流体？ 4. 4. 流体的动力粘性系数和运动粘性系数有何不同？流体的动力粘性系数和运动粘性系数有何不同？各自的单位是什么？各自的单位是什么？ 5. 5. 流体粘性与哪些因素有关？它们随温度是如何流体粘性与哪些因素有关？它们随温度是如何变化的？变化的？一、概念一、概念流体应变率张量38 6. 6. 什么是理想流体？为什么要引进理想流体这一什么是理想流体？为什么要引进理想流体这一概念？理想流体有无能量损失？概念？理想流体有无能量损失？ 7. 7. 什么情况下要考虑流体的压缩性？为什么液体什么情况下要考虑流体的压缩性？为什么液体通常可以看成不可压缩流体，气体在速度小于通常可以看成不可压缩流体，气体在速度小于100m/s100m/s时也可以看做是不可压缩流体？时也可以看做是不可压缩流体？ 8. 8. 描述流体运动有哪两种方法？两种方法有什么描述流体运动有哪两种方法？两种方法有什么不同？两种方法是如何转换的？不同？两种方法是如何转换的？ 9. 9. 什么是流线与迹线，流线有什么性质？在什么什么是流线与迹线，流线有什么性质？在什么情况下流线与迹线重合？流线与迹线的方程是什情况下流线与迹线重合？流线与迹线的方程是什么么? ?如何从流线性质的角度解释非流线型物体在运如何从流线性质的角度解释非流线型物体在运动时形状阻力大？动时形状阻力大？流体应变率张量39 10. 10. 什么是物质导数？拉格朗日描述和欧拉描述下有何什么是物质导数？拉格朗日描述和欧拉描述下有何不同？不同？ 11. 11. 在欧拉法中，质点加速度由哪两部分组成的？在欧拉法中，质点加速度由哪两部分组成的？ 12. 12. 什么是平均流速，为什么要引入平均流速这一概念？什么是平均流速，为什么要引入平均流速这一概念？ 13. “13. “均匀流一定是恒定流（定常流），非均匀流一定均匀流一定是恒定流（定常流），非均匀流一定是非定常流是非定常流”, ,这种说法是否正确？如何判别流动是均这种说法是否正确？如何判别流动是均匀流还是非均匀，定常还是非定常？匀流还是非均匀，定常还是非定常？ 14. 14. 什么是一维、二维和三维流动，什么条件下流体流什么是一维、二维和三维流动，什么条件下流体流动可以简化成一维，二维流动是平面流动吗？动可以简化成一维，二维流动是平面流动吗？ 15. 15. 什么是不可压缩流动？如何判别？什么是不可压缩流动？如何判别？ 16. 16. 流体速度分解与刚体速度分解有什么相同点和不同流体速度分解与刚体速度分解有什么相同点和不同点？点？ 17. 17. 如何判别流动特征（包括线变形、角变形、有旋还如何判别流动特征（包括线变形、角变形、有旋还是无旋？）（记住应变率张量、旋转角速度等各分量的是无旋？）（记住应变率张量、旋转角速度等各分量的物理意义及表达式）物理意义及表达式）流体应变率张量40 18. 18. 什么是体积力（质量力）？单位质量力是如什么是体积力（质量力）？单位质量力是如何定义的？常见的体积力都包括哪些？何定义的？常见的体积力都包括哪些？ 19. 19. 什么是表面力，应力？什么是表面力，应力？ 20. 20. 为什么一点的应力状态可以用过该点的三个为什么一点的应力状态可以用过该点的三个正交平面上的应力来描述，如何用一点的应力张正交平面上的应力来描述，如何用一点的应力张量表示过该点任意作用面上的应力。量表示过该点任意作用面上的应力。 21. 21. 静止或运动的无粘性流体应力张量如何表达？静止或运动的无粘性流体应力张量如何表达？静压力有何特性？静压力有何特性？