知识点114 二元一次方程的应用(解答)

菁优网1（2011湘潭）九年级某班组织班团活动，班委会准备买一些奖品班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔2元/支，笔记本1元/本，且每样东西至少买一件（1）有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；（2）从上述方案中任选一种方案购买，求买到的钢笔与笔记本数量相等的概率考点：二元一次方程的应用；概率公式。专题：应用题。分析：（1）应设出两种奖品的件数，由钢笔和笔记本两种奖品的价格为15元列出方程，根据整数值来确定购买方案；（2）根据概率公式P（A）=，求解即可解答：解：（1）设钢笔和笔记本两种奖品各a，b件则a1，b1，2a+b=15当a=1时，b=13；当a=2时，b=11；当a=3时，b=9；当a=4时，b=7；当a=5时，b=5；当a=6时，b=3；当a=7时，b=1故有7种购买方案；（2）买到的钢笔与笔记本数量相等的购买方案有1种，共有7种购买方案17=，买到的钢笔与笔记本数量相等的概率为点评：考查了二元一次方程的应用和概率公式解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系注意根据整数值来确定购买方案2（2009柳州）某校积极推进“阳光体育”工程，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得1分（1）如果某班在所有的比赛中只得14分，那么该班胜负场数分别是多少？（2）假设比赛结束后，甲班得分是乙班的3倍，甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，请你求出甲班、乙班各胜了几场考点：二元一次方程的应用；一元一次方程的应用。专题：工程问题。分析：（1）设该班胜x场，则该班负（10x）场根据得分列方程求解；（2）设甲班胜了x场，乙班胜了y场，根据甲班得分是乙班的3倍，用x表示y再根据甲班获胜的场数不超过5场，且甲班获胜的场数多于乙班，列出不等式组求解解答：解：（1）设该班胜x场，则该班负（10x）场依题意得3x（10x）=14解之得x=6（3分）所以该班胜6场，负4场；（2）设甲班胜了x场，乙班胜了y场，依题意有：3x（10x）=33y（10y），化简，得3y=x+5，即y=由于x，y是非负整数，且0x5，xy，x=4，y=3所以甲班胜4场，乙班胜3场答：（1）该班胜6场，负4场（2）甲班胜4场，乙班胜3场点评：此题主要是根据得分列方程求解在（2）中列不等式组求得x，y的取值范围求解3（探索题）某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，可利用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载（1）请你给出三种不同的租车方案；（2）若8个座位的车子租金是300元/天，4个座位的车子租金是200元/天，请你设计费用最小的租车方案，并简述你的理由考点：二元一次方程的应用。专题：方案型。分析：通过理解题意可知球迷是36名，可租车有8座车和4座车，要求租用的车子不留空座，也不超载依此可列二元一次方程二元一次方程组在一般情况下有无数组解，但在实际问题中应根据实际情况进行讨论解答：解：（1）设8座车租x辆，4座车租y辆，则8x+4y=36，即2x+y=9，x，y为非负数，x可取0，1，2，3，4，则y依次为9，7，5，3，1，则租车方案有：8座车4辆，4座车1辆；8座车3辆，4座车3辆，8座车2辆，4座车5辆等（2）因8座车相对4座车的费用少，欲使费用最小，则必须多租8座车，所以符合要求的租车方案为：8座车4辆，4座车1辆，此时费用为：4300+1200=1400（元）点评：任意一个二元一次方程都有无数个解，但具体问题要具体分析，如本题中未知数的解都应是整数4一根长20米的钢管，刚好截成若干根长3米和2米的规格的钢管，则共几种不同的截法？考点：二元一次方程的应用。分析：设截得的3米的钢管有x根，2米的钢管有y根，根据已知条件可以列出方程3x+2y=20，而x、y都是整数，由此即可求出结果解答：解：设截得的3米的钢管有x根，2米的钢管有y根，则3x+2y=20，2y=203x，而x、y都是正整数，x0，y0，0x，并且203x必须是偶数，x是偶数，所以共有3种不同的截法点评：此题主要考查的是二元一次方程的整数解的问题，根据题意首先可以确定其中的未知数的取值范围，然后根据本身所具有的性质即可确定方程的特殊解5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：设需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142分，可列出二元一次方程讨论求解解答：解：设需x枚5分的，y枚7分的，恰好支付142，于是7x+5y=142所以y=28x+=28x由于7x142，所以x20，并且x，y为整数，从而x=1，6，11，16，的非负整数解为，所以，共有4种不同的支付方式点评：说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程6在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品，则可买80份奖品，问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书，可各买多少？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：设每台计算器x元，每本数学竞赛讲座书y元，这笔钱为s元，根据题目的等量关系可列方程100（x+3y）=s=80（x+5y），求解解答：解：设每台计算器x元，每本数学竞赛讲座书y元，这笔钱为s元则有100（x+3y）=s=80（x+5y）化简得x=5y解得s=800y则这笔款可买数学竞赛讲座800本又y=，s=160x则这笔款可买计算器160台点评：本题考查理解题意能力，关键是找到等量关系钱数不变，然后从方程的特点求解7小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？考点：二元一次方程的应用。分析：通过理解题意，我们可以知道本题中存在一个等量关系，即钱数和买橡皮铅笔花去的数目是相等的，根据这一等量关系，可以列出方程求解作答解答：解：设小张买了x块橡皮，y支铅笔，则根据题意得方程：3x+11y=50这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解因为铅笔每支1角（1分），所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个若y=0，则x=，不是整数，不合题意；若y=1，则x=13，是整数，符合题意；若y=2，则x=，不是整数，不合题意；若y=3，则x=，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意所以，这个方程有两组正整数解，即或；答：5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔故答案为：2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔点评：本题解题的关键在于，找到题目中所给的等量关系，再根据这一等量关系，列出方程求解作答，另外应特别注意，实际问题实际分析8某山区有23名中小学生因贫困失学，一学校积极捐款帮助这23名学生失学儿童，已知捐助一名中学生要a元，一名小学生要b元下表是该学校各年级捐款数额与捐助贫困中小学生人数的部分情况：年级 捐款数额（元） 捐助中学生人数（名）捐助校学生人数（名） 初一 4000 2 4 初二 4200 3 3 初三 7400（1）求a，b的值；（2）请将初三年级捐助的贫困中小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）考点：二元一次方程的应用；统计表。专题：图表型。分析：（1）根据初一年级捐款数额=捐助中学生的钱数+捐助小学生的钱数，初二年级捐款数额=捐助中学生的钱数+捐助小学生的钱数的等量关系列出方程组求出a，b的值；（2）根据已知可知道九年级一共捐助了2312=11名学生，及九年级捐款数额=捐助中学生的钱数+捐助小学生的钱数的等量关系，列出方程组求出捐助小学生的人数和捐助在中学生的人数解答：解：（1）根据已知条件可以得可以得出a=800，b=600；（2）根据已知可知道九年级一共捐助了2312=11名学生设9年级捐助小学生为x人，捐助中学生为y人，就可以得出：就可以算出x=7，y=4年级 捐款数额（元） 捐助中学生人数（名）捐助校学生人数（名） 初一 4000 2 4 初二 4200 3 3 初三 7400 4 7点评：本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题考查从统计表中获取信息的能力及二元一次方程组的解法9为了鼓励节约用水，某供水公司对自来水的收费标准规定如下：每月每户用水不超过10立方米部分按0.45元/立方米收费；超过10立方米而不超过20立方米部分按0.80元/立方米收费；超过20立方米部分按1.50元/立方米收费；某月份A户比B户多缴水费7.10元，B户比C户多缴水费3.75元问A、B、C当月三户各缴水费多少元（自来水按整立方米数收费）？考点：二元一次方程的应用。分析：通过理解题意可知，本题中存在两个等量关系，即：A户比B户多缴水费7.10元，B户比C户多缴水费3.75元，结合本题实际情况，列出方程求解解答：解：由已知的数据3.75元存在小数位可以判断，C用户的用水量不会超过10立方米，因此可设C用户用水为x立方米（x为整数，且0x10），B户用水（10+y）立方米（y为整数，且0y10），A户用水为（20+z）立方米（z为整数，且0z），由第一组等量关系：B户比C户多缴水费3.75元，可列出方程：0.45x+3.75=0.8y+0.4510，即9x16y=15因为3能整除9和15，但不能整除16，故3比能整除y，又y介于0到10之间，故y可取值3、6、9，经验证只有y=3时x才为整数即：x=7同理，因为A户比B户多缴水费7.10元，可列出方程：0.8y+0.4510+7.10=1.5z+0.810+0.4510，即：8y15z=9，把y=3代入上式得：z=1，因此：A用户当月交水费为：1.51+0.810+0.4510=14（元），B用户当月交水费为：0.83+0.4510=6.9（元），C用户当月交水费为：0.457=3.15（元）答：A用户当月交水费为14元，B用户当月交水费为6.9元，C用户当月交水费为3.15元故答案为：A用户当月交水费为14元，B用户当月交水费为6.9元，C用户当月交水费为3.15元点评：此题是一道紧密联系生活实际的题，解题的关键在于找出题目中所给的等量关系，根据这一等量关系列出方程作答10一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人由于m2，n32，依题意有22m+1=n（m1）解答：解：设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人由于m2，n32，依题意有22m+1=n（m1）所以n=22+因为n为自然数，所以23/m1为整数，因此m1=1，或m1=23，即m=2或m=24当m=2时，n=45（不合题意，舍去）；当m=24时，n=23（符合题意）所以旅客人数为：n（m1）=23（241）=529（人）答：起初有汽车24辆，有乘客529人点评：本题考查理解题意能力，并且注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性，并根据情况做具体讨论11现有某物质73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问最省运费是多少元？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：要求最省运费，就要看看每吨运费用那辆车便宜，657=9，505=10，可看出多用载重量7吨的卡车的运费最省解答：解：设用载重量7吨的卡车x辆，载重量5吨的卡车y辆7吨的卡车每吨的运费为657=9，5吨的卡车每吨的运费为505=10，故多用载重量7吨的卡车运费最省7x+5y=73x=x，y都为整数，故y=2时，x=9659+502=685（元）答：最省运费为685元点评：本题考查理解题意的能力，关键是找到哪辆车运一吨最便宜，然后根据要多用运一吨运费便宜的车和未知数为整数的特点求解12兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等问这顶草帽值多少钱？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：设有x只羊，兄弟俩反复取10元钱y次，弟弟最后得到的钱z元，x220y=10+z草帽的钱数为，z为1，2，3，4，5，6，7，8，9解答：解：设有x只羊，兄弟俩反复取10元钱y次，弟弟最后得到的钱z元x220y=10+zy1，z为1，2，3，4，5，6，7，8，9x=6或14或16z=6草帽的钱数为=2故草帽的钱数为2元点评：本题考查理解题意的能力，关键是三个未知数，然后列方程求解13一楼房内有6家住户，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴，这幢楼住户共订有A、B、C、D、E、F六种报纸，已知每家至少订有1种报纸，且赵、钱、孙、李、周分别订了其中2、2、4、3、5种报纸，而A、B、C、D、E五种报纸在这幢楼里分别有1、4、2、2、2家订户，若吴姓住户订有x种报纸，报纸F在这幢楼里有y家订户，试写出一个含有x、y的等式，并求出x、y的值考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：首先根据这幢楼内订阅的报纸总数是一定的，列出方程组：2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y找出x与y间的关系表达式根据题意找出隐含条件x1，y6，x、y均为正整数那么分y=0、1、2、3、4、5、6七种情况讨论，最终得出符合题意的x、y取值即可解答：解：根据题意有：2+2+4+3+5+x=1+4+2+2+2+y5+x=y，即yx=5又x1，y6，x、y均为正整数，当y=0、1、2、3、4、5时，不合题意舍去；当y=6时，x=1答：x=1，y=6点评：本题考查二元一次方程的应用解决本类题目的关键是认真阅读题目找到等量关系，列出方程；再根据隐含条件，尽量所求未知数的取值，讨论得到最终结果14把一根lm长的金属线材，截成长为23cm和13cm的两种规格，用怎样的方案截取材料利用率最高？求出最高利用率（利用率=，截口损耗不计）考点：二元一次方程的应用。专题：优选方案问题。分析：首先假设1m的金属线材截取长为23cm的线材x根，截取长为13cm的线材y根则材料的利用率=再根据题意列出关系式23x+13y100，x、y满足的条件：1x4，1y7，x、y都是整数，且23x+13y即可能接近100最后就x=1、2、3、4时讨论y、的取值情况，值最大者即为最佳方案解答：解：设1m的金属线材截取长为23cm的线材x根，截取长为13cm的线材y根则材料的利用率=由题意得 23x+13y100，1x4，1y7，x、y都是整数，且23x+13y即可能接近100当x=1时，y=5，=88%；当x=2时，y=4，=98%；当x=3时，y=2，=95%；当x=4时，y=0不合题意舍去设1m的金属线材截取长为23cm的线材2根，截取长为13cm的线材4根则材料利用率最高，最高利用率为98%点评：本题考查了二元一次不等式的应用解决本题的关键是根据题目中的隐含条件确定x的取值，进而得到y、的取值15有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，问有多少种不同的分法？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题；分类讨论。分析：设分成5米长的有x条，分成3米长的有y条，则有：5x+3y=38（称之为不定方程），x，y为非负整数解，可讨论求结果解答：解：设分成5米长的有x条，分成3米长的有y条，则有：5x+3y=38（称之为不定方程）下面求此方程的非负整数解由得：y0x最大取0x7用x=0，1，2，3，4，5，6，7代入式：当x=0时，不为整数，舍去当x=1时，y=11为非负整数，符合条件当x=2时，不为整数，舍去当x=3时，不为整数，舍去当x=4时，y=6为非负整数，符合条件当x=5时，不为整数，舍去当x=6时，不为整数，舍去当x=7时，y=1为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为，故有3种不同的分法点评：本题根据题意列出方程，然后根据x，y都取非负整数，讨论求解即可16有这样的两位数，交换该数数码所得的两位数与原数的和是一个完全平方数例如，29就是这样的两位数，因为29+92=121=112请你找出所有这样的两位数考点：二元一次方程的应用。专题：数字问题。分析：设十位数字为a，个位数字为b，这个两位数就为10a+b，交换位置后为10b+a，（10a+b）+（10b+a）=11a+11b=11（a+b），因而a+b是11的倍数，即a+b=11k，且k是完全平方数，根据a，b的取值讨论k的取值，从而得到解解答：解：设这个两位数十位数字为a，个位数字为b10a+b）+（10b+a）=11a+11b=11（a+b）因而a+b是11的倍数，即a+b=11k，且k是完全平方数由a9，b9，即a+b18，所以k=1，a+b=11，符合条件的有8组，检验后，两位数有8个，29.38，47，56，65，74，83，92点评：本题考查的是数字问题，关键是两位数的十位数字是a，个位数字是b，然后根据题意列方程求解17某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示： 月 日 摘要数量（米） 单价（元/米） 金额（元） 1 13 全毛花呢XX 49.36 XXX7.28所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7.28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：首先假设所卖呢料数量为x米，金额前三位数为y，根据金额=单价数量，金额数字的特点列出方程49.36x=10y+7.28根据表中数据可判断出x的取值范围，为了取整数因而令，根据该式，可讨论符合条件的t取值进而得到x取值，问题得解解答：解：设所卖呢料数量为x米，金额前三位数为y则由题意得 49.36x=10y+7.28，即y=，1007.2849.36x9997.28，即21x203，令，则x=，必为整数，且21x203解得t=3，于是x=98，金额为49.3698=4837.28元答：所卖呢料米数为98米，金额为4837.28元点评：本题考查二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程，充分运用题目中的隐含条件判断x取值范围，并引入了t未知数以确定x的具体取值，这是不定方程的典型题例18一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天？考点：二元一次方程的应用。专题：行程问题。分析：设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天则x+y+z=60，根据题目说明可列方程17x25y=2425，即25y17x=1这里x、y是正整数，现设法求出的一组合题意的解，然后计算出z的值为此，用辗转相除法先求出的一组特殊解（x0，y0），（这里x0，y0可以是负整数）即x0=3，y0=2下面再求出的合题意的解再由不定方程的知识可知令x=3+25t，y=2+17t，则x+y=42t5，t为整数按题意0x+y60，此时t可确定，x+y的值即可确定，那么z值就确定解答：解：设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天则由题意得 x+y+z=60，17x25y=2425，即25y17x=1先求出的一组特殊解（x0，y0），（这里x0，y0可以是负整数）用辗转相除法25=l17+8，17=28+1，故1=1728=172（2517）=317225与的左端比较可知，x0=3，y0=2由不定方程的知识可知，的一切整数解可表示为x=3+25t，y=2+17t，x+y=42t5，t为整数按题意0x+y60，故仅当t=1时才合题意，这时x+y=425=37，z=60（x+y）=23答：考察队在生态区考察的天数是23天点评：本题考查二元一次方程的应用本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希望学生仔细领会所用方法19一个家电维修中心有技术员工和辅助员工共15人，技术员工数是辅导员工数的2倍家电维修中心计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A元和“辅导员工个人奖金”B元两种标准发放，其中AB800，并且A，B都是100的整数倍（1）求该家电维修中心中技术员工和辅导员工的人数；（2）求本次奖金发放的具体方案？考点：二元一次方程的应用。分析：（1）题中有两个等量关系：技术员工人数+辅助员工人数=15，技术员工人数=辅助员工人数2，直接设未知数，列出二元一次方程组求解；（2）先由等量关系：技术员工人数A+辅助员工人数B=20000，可以得出A与B的一个关系式，又AB800，转化成一元一次不等式组，求出A与B的取值范围，再根据A，B都是100的整数倍，确定方案解答：解：（1）设该家电维修中心有技术员工x人、辅助员工y人则 ，解得 答：该家电维修中心有技术员工10人、辅助员工5人；（2）由10A+5B=20000，得2A+B=4000AB800，800BA1600，并且A，B都是100的整数倍，本次奖金发放的具体方案有3种：方案一：技术员工每人1600元、辅助员工每人800元；方案二：技术员工每人1500元、辅助员工每人1000元；方案三：技术员工每人1400元、辅助员工每人1200元点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用列方程组解应用题时，关键是从题目中找到等量关系；解不等式时，如果有两个未知数，需要先找到一个等量关系，用含有一个未知数的代数式去表示另外一个未知数，转化成一元一次不等式求解集20某项工程甲队需12天完成，乙队需9天完成，若允许两队同时按整日工作，试找出在时间上不超过一周（7天）的施工方案考点：二元一次方程的应用。分析：本题需要分两种情况讨论，设甲乙合作x天，然后甲单独做y天，设甲乙合作x天，然后乙单独做y天，根据完成总工作量为1及完工的天数不超过7天可得出两个关系式，从而联立讨论即可得出答案解答：解：设甲乙合作x天，然后甲单独做y天，且x、y为正整数由题意得， 此时解得y，又整日安排两队工作，没有满足题意的解；设甲乙合作x天，然后乙单独做y天，且x、y为正整数此时解得：y，又整日安排两队工作，满足题意的只有：x=4，y=2；综上可得共有1种方案可以使这项工程完工的天数不超过7天点评：此题属于应用类题目，涉及了二元一次方程及二元一次不等式的知识，解答本题的关键是根据题意列出方程及不等式，难点在于根据关系组讨论符合题意的x、y的组合，另外本题所分的两种情况容易遗漏，同学们需细心思考21现有1 克2克3克重的天平砝码，要用10个砝码称出重20克的物体（1）在取出的砝码中，设有3 个1克的，那么，3克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有哪几种情况呢？（设任一种砝码至少取一个）考点：二元一次方程的应用；一元一次方程的应用。分析：（1）设2克的砝码用x个，则由已知3克的应该用（103x）个，根据已知列方程求出x，从而求出3克重的砝码应有多少个；（2）设1克的砝码有a个，2克的砝码有b个，则3克的砝码有（10ab）个，根据已知列出方程得出a、b的关系，从而解答：解：（1）由于20=31+17，故设2克的砝码用x个，则3克的应该用（103x）个故17=2x+3（103x），则x=4，103x=3答：3克重的砝码应有3个；（2）设1克的砝码有a个，2克的砝码有b个，则3克的砝码有（10ab）个20=a+2b+3（10ab）=a+2b+303a3b即b+2a=10则，数量 1克砝码1242克砝码8623克砝码124点评：此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知列出方程和二元一次方程22学期即将结束，为了表彰优秀，班主任王老师用W元钱购买奖品若以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品设钢笔单价为x元/支，笔记本单价为y元/本（1）请用y的代数式表示x（2）若用这W元钱全部购买笔记本，总共可以买几本？（3）若王老师用这W元钱恰好能买30份同样的奖品，可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品（两种奖品都要有）请求出所有可能的a，b值考点：二元一次方程的应用。专题：方程思想。分析：根据题意可知：（1）本题中的相等关系是“以2支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品”和“以2支钢笔和6本笔记本为一份奖品，则可以买40份奖品”，列方程组求解即可；（2）由（1）把w元用y的代数式表示，再除以y即得（2）设可以选择a支钢笔和b本笔记本作为一份奖品列方程60（2x+3y）=30（ax+by），解出后分情况讨论解答：解：（1）由题意得：60（2x+3y）=40（2x+6y），（2分）化简得：（1分）（2）60（2x+3y）y=360（本）（2分）答：总共可以买卖360本；（1分）（3）由题意得：60（2x+3y）=30（ax+by），把代入得：（1分）解得此方程的正整数解为，（3分）点评：此题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键23阅读下列材料，然后解答后面的问题：我们知道二元一次方程组的求解方法是消元法，即可将它化为一元一次方程来解，可求得方程组有唯一解我们也知道二元一次方程2x+3y=12的解有无数个，而在实际问题中我们往往只需要求出其正整数解下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整数解的过程：由2x+3y=12得：y=x、y为正整数，则有0x6又y=4为正整数，则为正整数，所以x为3的倍数又因为0x6，从而x=3，代入：y=4=22x+3y=12的正整数解为问题：（1）若 为正整数，则满足条件的x的值有几个（）A、2 B、3 C、4 D、5 （2）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元/本，钢笔单价为5元/支，问有几种购买方案？ （3）试求方程组 的正整数解考点：二元一次方程的应用。分析：（1）根据为正整数，即可得出x20，进而求出符合要求的答案；（2）根据3x+5y=35，得y=7x，进而分析得出即可；（3）利用（2）中计算方法，得出x，y的取值，进而求出即可解答：解：（1）为正整数，即可得出x20，且x2=1，或2，或3或6，满足条件的x的值有4个故选C；（2）设购买了笔记本x本，钢笔y支，根据题意得出：3x+5y=35，由题意可得：3x+5y=35，得y=7x，x，y为正整数，则有：0x，又y=7x，为正整数，则x为正整数，x为5的倍数，又0x，从而得出x=5或10，代入：y=4或1，有两种购买方案：购买的笔记本5本，钢笔4支，购买的笔记本10本，钢笔1支；（3）两式相加消去z得5x+2y=22，由上题方法可得：或，将代入方程2x+y+z=10得出z=0（不合题意舍去）将，代入方程2x+y+z=10得出z=1，原方程组的解集为：点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用以及多元方程组的解法，正确利用已知正整数解这一条件是解题关键24七年级一位小记者写了如下一篇通讯稿：12月5日下午，我校隆重举行了第八届“吕道奎奖学金”颁奖典礼我校全体老师、2009年“吕道奎奖学金”获得者以及近两千名在校生均参加了这次的寿春盛典，部分学生家长也受邀出席本次奖学金获奖者有27位优秀的上届毕业生及一位九年级在校生，其中一等奖每人10000元，二等奖每人2000元，奖金总额达80000元（1）你知道一等奖及二等奖各有多少人吗？（请列方程或方程组解答）（2）看了这则报道你觉得你应该怎样努力学习，争取荣誉？考点：二元一次方程的应用。分析：（1）设获得一等奖的学生有x人，那么二等奖的学生有（28x）人，而一等奖的奖金为每人10000元，二等奖的奖金为每人2000元，然后利用奖金总额为80000元即可列出方程，解方程就求出一等奖的学生人数（2）结合自身情况说明解答：解：（1）设获得一等奖的学生有x人，那么二等奖的学生有（28x）人，依题意得：10000x+2000（28x）=80000，x=328x=25答：获得一等奖的学生有3人，二等奖学金有25人（2）看了这则报道我应该把各门功课学好，做一名优秀的学生，争取获得各项奖学金点评：本题考查了一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解25王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：此题王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故应分两种情况，可设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为09的整数），根据已知列出二元一次方程，通过分析讨论得出王亮今年可能是多少周岁解答：解：设王亮出生年份的十位数字为x，个位数字为y（x、y均为09的整数）王亮的爷爷今年80周岁了，王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前故应分两种情况：2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为2000+10x+y，依题意，得 2012（2000+10x+y）=2+0+x+y，整理，得 y= x、y均为09的整数，x=0，此时y=5，王亮的出生年份是2005年，今年7周岁8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为1900+10x+y，依题意，得 2012（1900+10x+y）=1+9+x+y，整理，得11x=1022y，故x为偶数，又y=，09，7x9，x=8，此时y=7，王亮的出生年份是1987年，今年25周岁 14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁15分点评：此题考查的知识点是二元一次方程的应用，关键是分两种情况得出二元一次方程，由整数得出结论26某农户家有900棵良种柑桔树2006年收获时，在柑桔树林中先随机采摘了四次进行统计，得到数据如下表（单位：千克）：采摘的次数第一次采摘第二次采摘第三次采摘第四次采摘每次采摘的柑桔树的棵数2433平均每棵柑桔树上柑桔的重量17141816（1）根据样本平均数估计该农户2006年的柑桔的总产量约是多少千克？（2）若市场上良种柑桔售价为每千克3元，则该农户2006年卖柑桔的收入将达多少元？（3）已知该农户2004年卖柑桔的收入为30000元，根据以上估算，试求卖柑桔收入的年平均增长率？考点：二元一次方程的应用；用样本估计总体；加权平均数。分析：（1）首先利用图表求出样本平均数，再用900样本平均=总产量（2）总产量3元/千克=收入，（3）设出平均增长率为x，则2005年柑桔的收入为：30000（1+x），2006年柑桔的收入为：30000（1+x）（1+x）=43200，解方程即可解答：解：（1）样本平均数为=16kg，这年的柑桔的总产量为16900=14400kg；（2）该农户这年卖柑桔的收入将达314400=43200元；（3）设该农户卖柑桔收入的年平均增长率为x，依题意得：30000（1+x）2=43200解之，得x1=20%，x2=2.2（舍去）答：该农户卖柑桔收入的年平均增长率为20%点评：此题主要考查了加权平均数，样本估计总体，以及二元一次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，表示出每年的收入272008年春假期间，西子中学八（3）班48人春游时被安排划船游杭州西湖班长首先去了解船只的租金情况，在管理处发现租金价格表如下：船型每船限载人数（人）租金（元/每小时）大船53小船32根据班主任规定每人划船2小时下面两个问题需要你帮助班长提前做好：（1）现要求同时租两种船，请你写出租船的方案；（2）选择怎样的方案时所付租金最少？考点：二元一次方程的应用。分析：（1）设租大船x艘，小船y艘，根据有48人去划船可列出方程，且船数是整数，可列方程求解（2）然后根据大船小船的租金不同，根据方案求出钱数，选择付租金少的方案解答：解：（1）设租大船x艘，小船y艘，5x+3y=48y=16，当x=3时，y=11，当x=6时，y=6，当x=9时，y=1，所以有3种租船方案（2）当x=3，y=11时，租金为：33+112=31元当x=6，y=6时，36+26=30元当x=9，y=1时，39+21=29元故当大船为9艘，小船为1艘时最省钱点评：本题考查二元一次方程的应用，关键是设出两个未知数，列出方程，根据方程的解是整数求出方案，然后根据方案求出钱数，然后求出最省钱的方案28刘老师装饰厨房需用 480 块某品牌的同一种规格的瓷砖，我市盛世商贸城装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，请你帮助刘老师制定一种购买方案，使购买瓷砖所付费用最少考点：二元一次方程的应用。专题：应用题；方案型。分析：求支付费用最少，要先考虑各种有可能的购买方案，然后进行对比解题规律：实际问题中的包数应为整数解答：解：设购买大包装x包，小包装y包，根据题意，得50x+30y=480 因为x、y为非负整数，所以方程的解为或 或或当x=0，y=16时，所付费用为：030+1620=320（元）；当x=3，y=11时，所付费用为：330+1120=310（元）；当x=6，y=6时，所付费用为：630+620=300（元）；当x=9，y=1 时，所付费用为：930+120=290（元）所以购买大包装9包，小包装1包所付费用最少，费用为290元点评：本题考查的是二元一次方程的应用，关键注意用多种方案考虑问题，将现实生活中的事件与数学思想联系，读懂题目不等式之间的关系即可解要注意：实际问题中的包数应为整数29为节约用水，某地对民用水收费作如下规定：每月用户不超过24度的按9角收费；超过24度时，超过部分按每度2元收费同时，为了结算方便，规定水费按整度收取某月，该地按此规定收费，甲户比乙户多交水费9元6角，问该月甲、乙两户各交水费多少钱？考点：二元一次方程的应用。分析：根据9.6不能被0.9和2.0整除，可以得出所以甲必超过24度，乙不到24度，进而得出符合要求的方程，求出方程组的解即可解答：解：因为最终甲户比乙户多交电费9角6分，而用电度数按整数计算，9.6不能被0.9和2.0整除，所以甲必超过24度，乙不到24度，设甲用电（24+x）度，乙用电（24y）度 2x+0.9y=9.6（x，y必须是整数） 只有x=3 时y=4 符合要求，所以：甲 27度 27.6元 乙 20度 18元，答：该月甲、乙两户各交水费是27.6元，18元点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，得出甲必超过24度，乙不到24度，进而设出甲用电（24+x）度，乙用电（24y）度 是解决问题的关键30甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时，当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行，甲、乙二人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇，则A、B两地的距离是多少？考点：二元一次方程的应用。专题：行程问题。分析：从题意可知按原来的速度4小时可走两个来回，都提高速度后个小时可走两个来回，可列出方程求解解答：解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，由题意可得：可得：x+y=18A、B两地的距离=2（x+y）=218=36答：A、B两地的距离是36千米点评：本题考查理解题意能力，关键是看出提高速度前两个来回所用的时间，和提高速度后两个来回所用的时间，做为等量关系列出方程求解31已知长方形ABCD中，点E在AB边上且AE=BC，F为EB的中点，M为AD边的一个三等分点（1）画出相应图形，并求出图中线段的条数；（2）若图中所有线段的长均为整数，且这些长度之和为39，求长方形ABCD的面积；（3）若点G、H在边DC上，N在BC上，且BN=AM，DG=AE，CH=BF，分别连接MN、EG、FH求所得图形中所有长方形的面积的和考点：二元一次方程的应用；比较线段的长短。专题：几何综合题；数形结合。分析：（1）任意两点都可以组成一条线段，所以n条线段可以组成条线段（2）根据题意列出二元一次方程组，再根据求二元一次方程的正整数解解答（3）根据图形，把长方形的长和宽分别计算出来，然后计算出所求长方形的面积解答：解：（1）AB边上共有4个点，AB边上共有6条线段；AD边上共有3个点，AB边上共有3条线段，DC边上共有1条线段，BC边上共有1条线段，6+3+1+1=11（条），故共11条线段（2）根据题意设AE=BC=x，EF=FB=y，AB边上共有6条线段，长度和AE+AF+AB+EF+EB+FB=3x+7y，AD边上共有3条线段，长度和为AM+AD+MD=2x，BC=x，DC=x+2y，以上11条线段的长度和为7x+9y，得，7x+9y=39，因为所有线段的长均为整数，解得：x=3，y=2，ABCD的面积为73=21（3）所有长的和为3+5+7+2+4+2=23，所有宽的和1+2+3=6，所有长方形的面积和为623=138点评：本题主要考查二元一次方程整数解的求法，数形结合的方法经常是解决一些几何问题的常用方法32长春至吉林现有铁路长为128千米，为了加快长春与吉林的经济一体化发展，有关部门决定新修建一条长春至吉林的城际铁路，城际铁路全长96千米开通后，城际列车的平均速度将为现有列车平均速度的2.25倍，运行时间将比现有列车运行时间缩短小时求城际列车的平均速度考点：二元一次方程的应用。分析：设现有列车的平均速度为x千米/小时，那么城际列车的平均速度2.25千米/小时，设现在列车的运行时间为y小时，那么城际列车的运行时间为（y）小时，根据路程=速度时间，可列方程组求解解答：解：设现有列车的平均速度为x千米/小时，现在列车的运行时间为y小时，解得642.25=144千米/小时城际列车的平均速度144千米/小时点评：本题考查理解题意的能力，关键是知道路程=速度时间，设出现有列车的平均速度和时间，表示出城际列车的速度和时间，从而列方程组求解33有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的4倍刚好等于这个两位数求这个两位数考点：二元一次方程的应用。专题：数字问题。分析：分析题目可以知道，本题存在了两个等量关系，即：个位上的数字十位上的数字=2；4（十位上的数字+个位上的数字）=这个两位数的值，根据这两个等量关系，列方程求解解答：解：假设这个两位数十位上数字为a，个位上数字为b，则由题目可得方程：ba=2，4（a+b）=10a+b，联立求解解得：a=2，b=4；故这个两位数是24故答案为24点评：解决此类问题的关键在于找出，题目中所提到的等量关系，理出方程求解34一长途货运站有货车若干辆，一货主计划运送A、B两种不同型号的商品箱，若货车的容积为44m3，每件A型商品箱的体积为3m3，每件B型商品箱的体积是4m3（1）若安排每辆货车同时装运A、B两种型号的商品箱，则有几种装运方案？（2）若装运每件A型商品箱的费用是30元，装运每件B型商品箱的费用是42元，那么货主应选择哪种装运方案比较省钱？考点：二元一次方程的应用。专题：优选方案问题。分析：（1）首先根据题意假设货车装A、B两种型号商品箱分别是x件、y件根据隐含条件确定x、y均为大于零的整数，且3x+4y=44，讨论x、y的取值，是否符合题意即可，找到可行方案；（2）将（1）找到的方案代入30x+42y比较，取最小值即为所求最省钱的方案解答：解：（1）设货车装A、B两种型号商品箱分别是x件、y件则由题意得 3x+4y=44又x、y均为大于零的整数，当y=1时，显然不合题意舍去；当y=2时，x=12；当y=3、4时，显然不合题意舍去；当y=5时，x=8；当y=6、7时，显然不合题意舍去；当y=8时，x=4；当y=9、10、11时，显然不合题意舍去故装运方案是每辆货车安排装运A、B两种型号商品箱依次是12、2；8、5；4、8共3种方案（2）当选装运A、B两种型号商品箱依次是12、2时，商品总运费=3012+422=444（元）；当选装运A、B两种型号商品箱依次是8、5时，商品总运费=308+425=450（元）；当选装运A、B两种型号商品依次是4、8时，商品总运费=304+428=456（元）显然，货主应选择装运A、B两种型号商品箱依次是12件、2件的方案装运比较省钱答：（1）故装运方案是每辆货车安排装运A、B两种型号商品箱依次是12、2；8、5；4、8共3种方案；（2）货主应选择装运A、B两种型号商品箱依次是12件、2件的方案装运比较省钱点评：本题考查了二元一次方程的应用，方案设计型试题是检测学生的创造性思维的一种题型这类题要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题，使学生接受挑战，进入发明、创造的角色，具有较强的素质要求，体现创新意识的培养本题就是一类通过数据计算和处理进行方案设计35某校七年级初一（20）班组织由男生和女生组成的小组去参加义务植树活动，男生每人植树4棵，女生每人植树3棵，全组共植树48棵，设男生有x人，女生有y人（1）请列出关于x、y的二元一次方程：4x+3y=48；（2）在下面的表格中写出该组男生人数、女生人数的所有可能情况：男生人数（x）369女生人数（y）1284（3）根据你列的方程，再编一个类似的实际问题考点：二元一次方程的应用。专题：应用题。分析：（1）由题意可得等量关系：男生植树的棵树+女生植树的棵树=48棵；（2）男生和女生人数都为整数，分别讨论二元一次方程的整数解；（3）编应用题时一定要符合实际情况解答：解：（1）由题意得：男生植树4x棵；女生植树3x棵；4x+3y=48；（2）x，y表示学生人数，必须为正整数，也就是求4x+3y=48的正整数解，当x=3时，y=12，当x=6时，y=8，当x=9时，y=4，（3）汶川地震过后，某班小学生捐款献爱心，有的学生捐3元，有的捐4元，全班共捐款48元，算一算有多少捐3元，有多少捐4元的学生？点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，根据方程编应用题是一个开放