复变函数定义

复变函数一一定义邻域一定义 1.11.1 点的汀 邻域指：7 7- -iJiJ-I-I 二-I-I 聚点、内点、孤立点一定义 1.21.2 给定点集二，及点。称为二的聚点或极限点指：:的 任一邻域内都有二的无穷多个点。 若-.二-，但非二的聚点，则称为二的孤立点；若 匚匚二，又非匸的聚点，则称为匸的外点。若:有一邻域全含于匸内，则称为匸的 内点。若:的任一邻域内，同时有属于 匸和不属于匸的点，则称为匸的边界点。边界点 的全体称为匸的边界。记作工。开集、闭集一定义 1.31.3 若点集二的每个聚点都属于 二，则称二为闭集；若点集二的点皆 为内点，则称二为开集。有界性定义 1.41.4 点集 E E 称为有界集，若 顶0,0,使说&有级。区域一定义 1.51.5 非空开集二称为区域，若二是连通的，即：二中任意两点可用全在 二中 的折线连接。闭域一定义 1.61.6 区域加上它的边界称为闭域，记为：约当曲线一定义 1.71.7 设是实变数f的两个实函数，在闭区间 【训 上连续，则由方程z = z(t)=HD +iy(f) 兰0)所决定的点集，称为复平面上的一条连续曲线。上式称为-1的参数方程分别称为-的起点和终点 。单连通区域一定义 1.81.8 设丄为复平面上的区域， 若在丄内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于二，则称二为单连通区域；非单连通区域称为多连通区域。复变函数定义 1.91.9 设匚为一复数集，若对匸内每一复数，有唯一确定的复数与之对应，则称在匸上确定了一个单值函数若对一内每一复数二，有几个或无穷多个二与之对应，则称在 匸上确定了一个多值函数 m m 匚。复变函数的极限定义1.101.10 设 二 r r 为一的聚点。若存在一复数b b：i i,使匸. 只要丄二就有I /-% 1 &连续函数一定义 1.111.11 设 h h子点集应上有定义，仓为 E E 的聚点，且乞店E。若lim了二了（引）即对任给的 D D,羽0 0,只要引 1 1 茴，毗 E E,就有 血）-佩）|则称 北） 沿匚于连续。复球面 复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面，称为复球面。无穷远点考虑平面上一个以原点为心的圆周，在球面上对应的也是一个圆周。当圆周的半径越大时，圆周就越趋北极。北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点，并记为一一。主要定理约当定理一定理 1.11.1 任一简单闭曲线 将匚平面唯一地划分成 G G E个丿集且满足（1 1）彼此不交（2 2） - 是一个有界区域（称为的内部）则称-沿匚于有极限：,并记为（3 3） 二L-.是一个无界区域（称为 :的外部）（4 4） 若简单折线亠的两个端点分属则一必与一有交点。极限的计算定理定理 1.21.2 设函数 7*.匚I I：、J J 于点集匸上有定义，ZQW%W%, ,则lim /= rJ= a +ib的充要条件是lim= a,lim=b（H他曲）连续函数定理定理 1.31.3 设函数于点集二上有定义，-I-I.匸- -，贝厂匚沿二在点|连续的充要条件是：二元实变函数讥心），心y）沿 E E 于点;j j1连续。一致连续定理定理 1.41.4 设函数在有界闭集-上连续，则（1 1） 在 匚上- 有界，即 _0, argz=e。(3)(3):在一平面上处处解析，且(4(4)加法定理成立，即-(5(5):亠是以丄于匚为基本周期的周期函数(6(6)lim极限二-一不存在。二角函数一定义 2.52.5 称分别为复数:的正弦函数和余弦函数。复正弦函数和余弦函数有以下性质:畑）啷 g 土辿1:. 。Az(2.1(2.1)庐+严C0S7 =-Sill Z =(1)它们是实函数情形的推广(2)均处处解析，且./- . : . . - .1：.o事实上，(sin(sin z)z)f f= = ( (-) ) = =- = = coszcosz2i2同理，可证另一个。(3)是奇函数，_ - ： 是偶函数；且遵从通常的三角恒等式，如sinsinJ J+ +COSCOSz z = = 1 1sinsin(珂 + 知)二sinsin石coszcosz2 2+ + co$zco$z1 1sinsinz2匚o$(o$(远i i 4-z)4-z) = = coszjcoszj coscos - - sinsinzxsinsin(4)：口 卞均以二为周期(5)二的零点为匚(Ml2,)z = +1)兀=0, 1 2,-Ji )； ；的零点为1(6(6) ：口尺不再是有界函数。正切、余切定义 2.62.6 称smsmztanztanz = =-COSZ1 1secz=-COSCOS 2 2CQSZcotzcotz = =-sinsinz1 1CSCCSCz =-sinsinz分别为二的正切、余切、正割与余割函数。这四个函数在其分母不为零的点处解析且(tan(tan z)z)f f= =一= = secsec2 2z,z, (cotz)(cotz)f f= = - - escesc2 2z cos z(sec(sec z)z)r r= = secztanz,secztanz, (cscz)(cscz)f f二-csczcotz-csczcotz双曲函数一定义 2.72.7 规定并分别称为 Z Z 的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。对数函数-定义 2.92.9 规定对数函数是指数函数的反函数。即若化2（ZOOZOO）则复数存称为复数匚的对数，记为 L L二二。主要定理可微的必要条件一定理 2.12.1 （可微的必要条件） 设-71是定义在区域丄上的函数；且在丄内一点J J 可微，则必有：偏导数L在点，匸存在；且满足柯西- -黎曼条件，即du 2du 1 dx dyfdydy可微的充要条件定理 2.22.2 （可微的充要条件）设匸 ；匚 I I 二是定义在区域二上的函数。则一 I I在二内一点L.,它包括取正方向的:，以及取负方向的一换句话说，假如观察者沿复围线 的正方向绕行时，区域；的点总 在它的左手边（图 3.103.10 是 I I 一的情形）。调和函数一定义 3.53.5 如果二元实函数在区域 D D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 AA = = 0 0 ，则称为区域 D D 内的调和函数。共轭调和函数定义 3.63.6 在区域内满足条件各条的外部，而它们又全都在：的内部。在 的内部同时又在du _dv du _3v砥 砂，创dx的两个调和函数 f f 中，称为 r r 在区域二内的共轭调和函数。主要定理积分估值定理定理 3.23.2（积分估值）若沿曲线，一匸丨连续，且有正数；使，一为-之长，则| “必|ML证由不等式,取极限即得证。柯西积分定理定理 3.33.3 设二 在平面上的单连通区域D内解析，C C 为。内任一条围 线，则打盘=0要证明这个定理是比较困难的。牛顿来布尼兹公式疋理 3.83.8 在疋理 3.63.6 或疋理 3.73.7 的条件下，如果在单连通区域二内的任意一个原函数，则時二0-畑）（浜亦D）复围线的柯西积分定理一定理3.103.10 设二是由复围线-1-1 - - 所围成的有界多连通区域，/ -在- 内解析，在D二D+C上连续，则柯西积分公式-定理 3.113.11 设区域的边界是围线（或复围线） 在上连续, 则有(3.2)(3.2)这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工 具。平均值定理定理 3.123.12 如果函数 /在圆 K-zK-z0 0|R|00 ，存在正整数N沁，使当 时，对一切一丄, 均有陰+如卜& &（P P = = 1212 ）。优级数准则定理 4.54.5 （优级数准则）若存在正数列I： “ j ，使对一切一二丄，有山kM.glAkM.glA）,（2 2） j j 在：内内闭-致收敛于函数儿）二弘则（1 1）在区域内解析。广（沪乞卅（2）阿贝尔（AbelAbel）定理定理 4.104.10 如果幕级数（4.34.3）在某点住收敛，则它必在圆而且正项级数收敛，则复函数项级数上绝对收敛且一致收敛。级数连续定理-定理4.64.6设级数 7=7=的各项在点集连续，且一致收敛于则和函数也在二上连续。逐项积分定理-定理4.74.7 设级数初的各项在曲线/上连续，并且在/上一致收敛于 / ，则沿可以逐项积分:了血二寸兀血羽1内闭一致收敛判据一定理4.84.8 级数（4.24.2）在圆二亠-二内闭一致收敛的充要条件为:对任意正数 J J ,维尔斯特拉斯定理-定理4.94.9设（1 1）一 j 在区域二内解析,（即以为心，圆周通过-1-1 的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。收敛半径的计算公式定理4.124.12 如果幕级数一的系数合于,（柯西）Em厲=/1 ，（柯西阿达玛）则幕级数-一的收敛半径討机八+00+00）；）；0 0（Z Z = = +00+00）; ;+CT(Z=O).幕级数和的解析性定理4.134.13（ 1 1）幕级数（2 2）在匸内，幕级数（4.44.4）可以逐项求导至任意阶，即严）二刘片+（貝+1为2切&-金）+呛-1）-护+1）4（-甸宀+心二竺“2）泰勒公式-定理 4.144.14 （泰勒定理）设/在区域D内解析，只要疋： 含于二，则 在丄内能展成幕级数的和函数在起收敛圆K：HR（0R4）内解析。，（达朗贝尔（DD AlembertAlembert）,其中系数J J：，：， - -。(4.44.4)匚：|f-3f|=0p . .1 1- -在其上 : 和等值，则收敛圆周上的性质一定理4.164.16如果幕级数弘(汀的收敛半径 F F、i i, ,且最大模原理定理 4.234.23 （最大模原理）设北） 在区域 D D 内解析，则在D内任何点都不能达到最大值，除非在二内匚恒等于常数。定义罗朗级数一定义 5.15.1 （5.25.2）称为在点“的罗朗展式，（5.3）称为其罗朗系数，而（5.25.2）右边的级数则称为罗朗级数。孤立奇点-定义 5.25.2 若了在奇点 A A 的某一去心邻域-从 7；!此处匸称为极点卜 的级，卜、亦称为；：级极点。（3 3）若主要部分有无限多项，则称是二】的本性奇点。主要定理双边幕级数的解析性定理5.15.1设双边幕级数无穷远点的孤立奇点性-定义5.45.4设函数北）在无穷远点（去心）邻域y-foo 内解析，则称二为的一个孤立奇点。内可展成罗朗级数。的收敛圆环为H r ”- 0,5 40)则 (1 1)( 5.15.1 )在 1 1 内绝对收敛且内闭一致收敛于怡二恥)+人(2)在一 内解析(3)级数在匚内可逐项求导任意次。的函数 畑 必可展开成双边幕函数可去奇点判据定理 5.35.3 设“为的孤立奇点，则下述等价:0 0；(3(3)在点 的某去心邻域内有界。极点判据定理 5.45.4 若，以点为孤立奇点，则下述等价(1(1)是：级极点，即主要部分为罗朗定理一定理 5.25.2 (罗朗定理)在圆环H.r-a0fR40DJ内解析丄+4其中咔-。=p兀)二工sQM(5.2)(5.2)c一1 处)品= 0, 1, 2,. J(5.35.3)(rpR)且展式唯一。(1)的主要部分为爪）_观）（2 2） 二在点L!的去心邻域内有（忑总 r r且二解析且（3），|:以“为；：级零点。本性奇点判据定理 5.65.6 -的孤立奇点为本性奇点的充分必要条件是（有限数）毕卡定理定理 5.85.8 若为的本性奇点，则对任意数 J J （可以是 J J 敛于的点列 ，使曲她）=虫no定义残数一定义 6.16.1 设 .以为孤立奇点，即 在的去心邻域-ff（z）dz：*一氏=汾0R）则称积分2 2 曲Jr密怡在二残数。若内的罗朗展式为），都有一个收内解析,儿）在点卜、的残数（residueresidue）,记作无穷远点的残数一定义6.26.2的一个孤立奇点,则称即不存在。 -1-1 为罗朗展式中= =+ +q+q +甲+Z则二主要定理柯西残数定理-定理 6.16.1 （柯西残数定理）I化:在围线或复围线 所范围的区域除彳=外解析，在闭域丄 丄上除*外连续，贝 U U了Q）必=极点的残数计算定理 6.36.3 若为一级极点,細=（亦极点的残数计算定理6.46.4 若丿为二级极点ReGReG）二 b-dtb-dt）% %）|z|z虚3_极点的残数计算一定理6.56.5 若为|： -;1的一级极点，则恥）内,极点的残数计算-定理6.26.2 若为、级极点，则Re5/(z)Re5/(z) = =盲足严 3)S - 1)!残数总和为零定理-定理6.66.6 若在扩充平面上只有有限个孤立奇点，设为旳滋泾M MJ J ”，则残数总和为 0 0P)二討+勺严 + +q(c0* 0)2W=V+久严+心血工0)为互质多项式，且满足：(1 1)】(2(2)在实轴上 V V：- -：、(即比、无实根)则有上式中 U U 为1 2的在上半平面的根。辐角原理一定理 6.96.9 设是一条围线， 儿) 满足:(1)，在的内部除可能有极点外是解析的。(2)在/ 上解析且不为零。则有其中 M/cM/c）与比 c c）分别表示内部的零点与极点的个数（一个 级零点，而则有有理分式的广义积分定理-定理6.76.7J，I为有理积分式，其中广义积分计算定理-定理6.86.8 设】.，其中恥) 及 %) 是互质多项式，且满足一个匸级极点算作匸个极点）。儒歇定理定理 6.106.10 （儒歇定理） 设是一条围线，函数畑及满足条件:（1 1）它们在的内部均解析，且连续到/ ；（2 2）在 T T 上，则函数二与令&上在的内部有同样多（几级算作几个）的零点，即卜 X/cX/c）