七巧板能拼出多少种凸多边形

聞q七巧板能拼出多少种凸多边形奉化市大堰初中董孟雄、问题的提出参考答案：如图2,周长最大8.2;如图3,周长最小82.图2中的多边形周长为什么是最大的？图3中的多边形周长为什么又是最小的？笔者亦是百思不得其解，只能换个角度思考：七巧板到底能拼出多少种凸多边形？二、问题的分析1.剪出的七块部件如下图4所示,出现了12,2,2四类线段共23条其中长度为1的线段10条,长度为.2的线段6条,长度为22的线段5条,长度为2.2的线段2条.2. 七块部件的内角总和1620,其中9个直角,12个45角,2个135角.3. 不论拼成哪种多边形，其面积为常量8.国44.可以从凸多边形的边数分类讨论三、问题的解决1.拼成三角形三角形的内角和等于180,由七巧板角的特征，只有180=90+45+45.所以拼成的三角形必为等腰直角三角形（唯一）因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图图5问题：对正方形ABCD按如图1分划，其中E,F分别是BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”设正方形OGFM的边长为1.请用这幅七巧板既不留下一丝空隙，又不相互重叠，各拼出1种周长最大与最小的凸多边形，画在下面，计算最大周长与最小周长各是多少？2.拼成四边形.四边形的内角和等于360,由七巧板角的特征，有360=90X4=90X2+45X1+135X1=135X2+45X2.2.1 360=90X4拼成的四边形为正方形或长方形若为正方形，则图形唯一确定，如图6.若是长方形，因为面积是8,所以长,宽分别为4,2或4.2,2.长,宽分别4.、2,.2的矩形拼不出来.理由如下：边长为4、2,、.2的矩形其周长为10.2,而七巧板中含2的线段总和也只有102,即所有长度含.2的线段都应成为矩形边的一部分.平行四边形的那块不可能做到.所以，长,宽分别42,2的矩形拼不出来.长，宽分别为4,2的矩形如图7.2.2 360=90X2+45X1+135X1若两个直角相邻，则拼成的四边形为直角梯形.直角梯形的高不可能为4,若高为4,则一腰长为2.5,不存在这类线段.直角若梯形的高为2一2，则上下底和为4、2，如图8.若梯形的高为4,则上下底和为8,如图9.若两个直角不相邻，则所得四边形如图10-1所示.过点A作AE丄CD与E,过点B作BF丄AE于F连结BD,如图10-2.设CE=n,ED=mBAB=.2n,AD=,2m,BC=m-n,(nvm)因为四边形面积为8,所以Sabd+Sadb=mm(m+n)(m-n)=8222m-n+2mn=16/nvm16=m2-n2+2mnm2-n2+2n22n22 nv8,n=2或n=1.4rzxi图y5)10-2当n=2或n=1时,m都不是整数.所以拼不出如图10-1所示的四边形.2.3 360=135X2+45X2若两个135角相邻,则拼成的四边形是等腰梯形，如图11所示.Sil若两个135角相对，则拼成的四边形是平行四边形，如图12所示.3.拼成五边形五边形的内角和等于540,由七巧板角的特征，有540=135X3+90X1+45X1=135X2+90X3540=135X3+90X1+45X1若三个135角相邻，则能构成这类五边形的最小面积为6.5,如图13.比它略大的五边形面积必超过8,所以这类五边形也不能拼成.若三个135角中的一个与其余两个不相邻，则拼成的五图14所示.若540=135X2+90X3若三个90角相邻,如图15.假若m,n是整数，则x也是整数且mx,nx.1由mnx=8,得x是偶数2/8=mnx2-x22xv4,又x是偶数x=2当x=2时,mn=10,不存在大于2的整数解;假若m,n是.2的整数倍,则x也是-.2图15m=2a,n=.2b,x=2t,（a,b,t均为整数，且at,bt,）.由mn-1x?=8，得2ab-f=8,t为偶数2/2ab-t2=8 8=2ab-t2t2 t=2,当t=2时,ab=6,不存在大于2的整数解.所以,不存在这样的五边形.若三个90角中的一个与其余两个不相邻，则拼成的五边形如图16所示.4.拼成六边形六边形的内角和等于720,由七巧板角的特征，有720=135X5+90X1=135X4+90X24.1若720=135X5+90X1拼出的四边形面积至少为9.5,如图17.所以这类六边形不能拼成.4.2若720=135X4+90X2若两个直角相邻，则拼成的六边形如图18所示.若两个直角不相邻，则拼成的六边形如图19、20、21所示.5.不能拼成七边形，八边形.團21七边形的内角和等于900,由七巧板角的特征，有900=135X6+90X1,这样的七边形最小面积为7.5,稍大些则必超过8.所以不能拼成七边形.同理,也不能拼成八边形.6.不能拼成边数大于8的多边形因为七巧板能提供的最大内角为135.对于n边形,有135n180（n-2）,得n=8.所以不能拼成边数大于8的多边形.至此,七巧板能拼出13中不同形状的凸多边形.四、问题的反思本题周长的最大值或最小值，很难（几乎不可能）从理论上证明，图形存在多样性的探讨情况也很复杂，因此这样的问题是不是适宜当作笔试的题目？笔者认为这个问题更适宜当作一个话题（课题），在课堂活动中探究.1. 上述问题的解答过程有些环节不甚严密，请教方家.