数列与数学归纳法

备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与于展专题39数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等.本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n的命题(例如数列，不等式，整除问题等)，则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k成立，再结合其它条件去证 n k 1成立即可.证明的步骤如下：(1)归纳验证：验证n n0( n0是满足条件的最小整数)时，命题成立(2)归纳假设：假设 n k k n0,n N成立，证明当n k 1时，命题也成立(3)归纳结论：得到结论：n n0,n N时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：(1)数学归纳法所证命题不一定从n 1开始成立，可从任意一个正整数n0开始，此时归纳验证从nn0开始(2)归纳假设中，要注意 k n0，保证递推的连续性(3)归纳假设中的n k,命题成立，是证明n k 1命题成立的重要条件.在证明的过程 中要注意寻找n k 1与n k的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k命题成立时，可用的条件只有n k,而不能默认其它n k的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法 的补充，将归纳假设扩充为假设 n k,命题均成立，然后证明 n k 1命题成立.可使用 的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：(1)归纳验证：验证 n n0( n0是满足条件的最小整数)时，命题成立(2)归纳假设：假设 n k k n0,n N成立，证明当n k 1时，命题也成立(3)归纳结论：得到结论：n n0,n N时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳 法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设【经典例题】例1.12018届重庆市第一中学 5月月考】已知 同为正项数列 叵引的前且项和,【答案】【解析】分析：由题意首先求得 闻，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可耳=% +工详解：由题意结合因以下用数学归纳法进行证明:当h=l/ =力时,结论是成立的,假设当区岂轲，数列的通项公式为:,则除=*业,由题意可知:结合假设有:解得:综上可得数列的通项公式是正确的据此可知：区二司,=W,7 =利用等差数列前 n项和公式可得：U工一结合对勾函数的性质可知，当LED 或 EZ3 时,?口+5 n 1 111当卜=3时I 5内1。 7 1。 15.归纳推理是由部分到整体、点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.例2.设S为数列an的前n项和，满足 S = 2an2 (n C N *)(1)求打 小 % 可的值,并由此猜想数列an的通项公式an；(2)用数学归纳法证明(I)中的猜想.【答案】(1) K = 21; (2)见解析.当 n=4 时)ai+a2+a3+a4=$=2Xa42,a 4= 16.由此猜想： *士 (nCN*).(2)证明：当n=1时，ai=2,猜想成立.假设n = k(k 1且kCN*)时，猜想成立，即七二2二那么n= k+ 1时，ak+1 = Sk+1 Sk= 2ak +1 2ak a k+ 1=2ak这表明n = k+1时，猜想成立,m )由知猜想 k 成立.点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例3.已知数列 满足： 竺同，1_4门(n + lW奔+ 1(I)试求数列国,国，国的值；(n)请猜想 叵3的通项公式并运用数学归纳法证明之 .3 =+ 1由此猜想尸 2M2-1)_卜面用数学归纳法证明之:31当EZO时，P 2 2x1 I,结论成立；-3i假设目的,结论成立，即有 二画圾三D_,则对于m二1+i舟.当近三狂I时，结论成立.1综上，可得对 云_归，* 2”2凡-1）|成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证 卜=11时成立）;第二步：归纳递推（即假设 h二M时成立,验证h= + i|时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证 叵三包时成立时一定要用到归纳假设 b = M时的结论,最后 得到的形式应与前面的完全一致 .BI1 + ajjan +1,r+1= 2(He a*|).（3）设” 门+七）。十口 J（1+询工 记数列园）的前目项和为目，求证:卜智【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；证明见解析1 - 1 +/ 4 1 T =1 1 =(2)化简 %-4n Tfl = - (3)由(2)可得 日+ 1,先证明求和公式可证结论+ L n + 3M +2= m勾 2n21 3n 7利用放缩法及等比数列1 + /+I(2)由 I2I,得所以是等差数列.所以，数列(3)由(2)知,当仁氢时，|l2M+ 1前-(7/ + 21，+ 14)=仃河+ 7)5-2)之0即区卫时,U +l+ 2 6- %2n2 4- 3M所以时,%峥*百，* 步，显然匚H只需证明h之力区即可.当仁羽时,2 f, h6% =瓦 + / + 与 + & q + / + 夕% + - + %-%3 At 2)=-+2 2H 一+ 3 5例5.已知函数f xbax - 2ln x, fx(1)若函数f x在x 1处切线斜率为anann2 1 ,已知a14,求证：an 2n 21(2)在(1)的条件下，求证： 1 a1【答案】见解析卜面用数学归纳法证明：an 2n 2当n 1时，4 4 2n 2成立假设n k k N 成立，则n k 1时n k 1时，不等式成立2 Q an i an 2nan 1 an an 2n 1由(1)可知 an 2n 2an 1 2an 1例6.【浙江省绍兴市2018届5月调测】已知数列17ElJ(1)证明：(2)设数列 画的前目项和为限I,证明:【答案】(1)见解析；(2)见解析详解：(1)数学归纳法：当 EO时,显然有P(色 电假设当EHEHaj,结论成立，即萨 7T *. .1Ta 0 sinJj J f|甯(14+1)1那么综上所述空巴*山0成立.1,. art(2)由(1)知：32 10 1 % w -得3)，?3 口 址时,令叵五氢得匹西，即国|在瓯三上为增函数； 同理可得咽在画目上为减函数.（n）方（行有最小值为-1, ?由（I）知函数（*1的最小值点为k =。即匹立三U,则回m + 1-2m=-1|：- 1 =；- 孑（小）= 2令削= m+ 2工牌之 m|；i1当叵卫时，mI：故恒必!亘可上是减函数所以当回I时国五歪可mH,，加二.（未证明，直接得出不扣分）.由口E3得回三4.猜想当屋正互:时，PZ? 如 A= 3 X 2 + 1取 n=2,有(1+1)(1+ H，推测：(1+1)(1+ 14 (1+B小-2|)：w+F(*)当n=1时，已验证（）式成立.假设n=k（k 1）时（）式成立，即（1+1）（1 + 则当n=k+1时，111 一 .从而i + i)U+/C + E)H +亚刀 师田中即当n=k+1时，（）式成立由知，（*）式对任意正整数 n都成立.于是，当a1时,log abn+1 ,当 0 v a V 1时，Svog abn+1 .例10.【2018年浙江省高考模拟】已知数列Xn 满足：x11, xnxn 1J xn 1 1 1 .、一一 *证明：当n N时,(1 ) 0 xn 1xn ； 3xn 1 2xnxnxn 13【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】分析：CD用数学U至内法和反证法证明即可5（2）由数列的递推式以及作差法可得5/仪一9%4=+/+(4 +6)底+1-4%1 -6,构造函数可=，+（*+6）g心6（工，G,利用导数求出函数函数/（句的单调性，从而可以证明J3）由数列的递推式，以及（2），一“ L 11的结论可得-Xn 1311- 一,-0,根据等比数列的通项Xn3n 2, 一 一 3公式即可证明xn32再结合已知可得xnXn 1x Xn 11 Dxxn21 ,即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明:Xn0当n 1时，X11 0成立k时Xk 0,成立，那么n k 1时，假设Xk 10,则XkXk 1 JX11 1 0 ,矛盾所以Xk10,故Xn 0得证所以XnXn 1 Xn(2)由 XnXn 1x Xn 11付 XnXn 19xn 16xnXn 1Xn Xn 1 4Xn则f X2x(3)由(2)Xn4x6(x0)2、x 13 12 Xn0,XnX1498，所以,Xn 1112 Xnxnxn；xn J1 1 2 xn 1,故2xn 1 xn3所以Xnxn【精选精练】1.用数学归纳法证明1 + 243+ +(山1 + 1) =1门 + 1)(2,+ 日”时，由I时等式成立推证区壬国时，左边应增加的项为点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律2.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为【解析】试题分析:由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列,首项为8,公差为6,因此第n项为恒王2 x+kw3.已知数列(1)求国,国,回(2)(3)若根据（1）的结果猜想出国的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明;ri【答案】（1） |1工冽:（2）（=”2一，证明见解析；（3）岛I （2）由此猜想下面用数学归纳法加以证明：当卜二12切时,由（1）知口E亚成立；假设限 之结论成立，即 反三坦三I成立.则当归三王时，有 . + 一/ 即即反正口时，结论也成立；由可知，口前的通项公式为卜忖=仃(2町 / r(3)由(2)知，尸 2, T1 Ir/.-=- Stl + 1) n n + 14.已知数列口il的前同项和为闻.且满足口二百，卜用=岛标产j(1)计算 旦旦旦, 根据计算结果，猜想 目的表达式；(2)用数学归纳法证明你猜想的结论【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)计算国，国,国, 根据计算结果，猜想 二一心Li (2)用 数学归纳法证明猜想的结论 .点睛：(1)在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的h = W21)1时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的(2)看到 鼠三咽或回, 要注意联想到项和公（i）计算RI,困，同，根据计算结果，猜想 目的表达式;（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析由题意得广一 系I ,*.当区巫0时猜想也成立；7 =一!一（t? /V 由和，可知猜想成立，即 M + i）I.6,已知数列逊满足S三三三且叵.（1）计算国、目、旧的值，由此猜想数列 回I的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明.【答案】（1）回，口zm；（2）证明见解析.121；51 1 =一1!1内口网 + 1 （N E N ）【解析】试题分析：（1）由也三，匚ZgL将卜=123|代入上式计算出因、目、目的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于廿迎且）,用数学归纳法证明即可.当仁1|时,证明结论成立n假设当箕=蚊此1A E W*）时，结论成立，利用归纳假设，去证明当九二4+1时,结论也成立即可.试题解析！ （1g = 4./ = 5% = 6猜想11n二舞十25三N）.（25当葡=M寸？%=三，结论成立J假设当九二命值之1/EN*）时，结论成立j艮由止=k + 贝I党代=出41时，取十1 =；理 /殁+1 =；（徒+2；底及42）41 =上斗3 = 4-1）+2, 即当叵三狂！时，结论也成立，由得，数列 回的通项公式为% = R + 2（he*.=%7 .在数列国中，E亘，卜+ =近十& EH1,红图.(如计算用，回，国的值.(W猜想数列 口的通项公式，并用数学归纳法加以证明.1,证明见解析.，证明：当EHW时，等式成立，假设时,即当归区土时，等式也成立，综上所述，对任意自然数8 .已知数列数列an的通项公式an=(-1)n(2n-1)(n C N*) , S为其前n项和.(1)求 Si, S2, S, 3的值;(2)猜想$的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)Si= 1, S2=2, S3=-3, S=4; (2)答案见解析【解析】试题分析：(I )根据an1n 2n 1 ,代入n 1,2,3,4计算，可求,S2,S3,S4的值；(n )由(I )猜想Sn的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验 n 1时 等式成立，假设 n k时命题成立，证明 n k 1时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得 S = 1, S2=1+ 3= 2, S3= 1 + 3 5= - 3, S= - 1+35 + 7=4;(2)猜想：Sn=(-1)n - n.证明：当n=1时，猜想显然成立；假设当n=k时，猜想成立，即Sk=(-1)k- k,那么当 n= k+ 1 时，Sk+1=( 1)k k+ ak+1=( 1)k k+ ( 1)k+1(2k +1) =( -1)k+1 - (k+ 1).即n= k + 1时，猜想也成立.故由和可知，猜想成立 .由归纳推理所得的结【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有 用，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方 法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用、一 _tx *9 .设 t 0, f x ，令 a11 , an 1t x(1)写出a2, a3, a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论【答案】(1)a 1= 1, a2=,t 1a3-t22tt3a4=二2 ,猜想t33t2an=tn 1tn 1n 1 tn 2(nC N+)； (2)证明见解析.试题解析:(1) a1 = 1,a2= f (a。=f (1)a3 = f 3 = Lt2 2ta4= f (a3)t3 t3 3t2 (nC N+);tn 1猜想 an= n 1n 2t n 1 t(2)证明：易知，n=1时，猜想正确.tk 1假设n = k时猜想正确，即 ak= -一t-,tk 1 k 1 tk 2t t .k 1k 2wt ak t k 1 ttktk 1 则 ak+1 = f (a。= - =k-j= t ak ttk1tktk 1 k 1 tk 2这说明n = k+1时猜想正确.tn 1由知，对于任何n N+,都有an=-n 1n 2t n 1 t点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据.10.12017 浙江，22】已知数列Xn满足：X1 = 1, Xn=Xn+1 + ln(1+X n+1) (n N )证明:当n N时,(i)0 V Xn+1 V Xn；(n)(m)2Xn+1? X nW XnXn 1 ；21 1 0),由函数 单调性 可证； C III )由4二斗+i+山。十与1)%十而 得方蛀士工1一/，递推可彳导(n e N,)试题解析T I )用数学归咕法证明；刃9Ao当时,JCi=lX)假设衿t时,加那么时若覆则。覆=诙*1十fc(l十矛盾j故维40，111：匕%0(内EAT) , F肛、鼻=/皿+fc(14x皿Ax31r因此。 马：*粕加七N*)(n )由 XnXn 1 ln(1 Xn 1) Xn 1 得2XnXn 14Xn12XnXn12Xn1(Xn12) ln(1Xn1)【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题.本题主要应用:(1)数学归纳法证明不等式；(2)构造函数f(X) X2 2x (x 2)ln(1 x)(x 0),利用函数的单调性证明不等式；(3)由递推关系证明.11.12018届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列,，、一1an 的首项a1 一 ,2111、,*an, n N .an 12an(I)证明：0 an 1 ；an an 1(n)记bn , Tn为数列bn的前n项和,anan 1证明：对任意正整数n【答案】(I)见解析;(n)见解析.【解析】试题分析；(I)运用数学归纳法推理论证,(n)由已知an 1an2-2 anan 1an,可得数列为递增数列.又工anan 1an12 anan1 12 anan，易知anan为递减数列,试题解析：(I)证明：当1时显然成立;假设当n k k N 时不等式成立，即ak那么当nakak122ak?1,所以 0 ak 1ak1时不等式也成立.综合可知,0 an 1对任意成立.(n)an 1an2-2an即anan,所以数列an为递增数列.又工 an所以an所以当n所以当nan 12时,2时,当n 1时，Tn当n 2时，Tnananan易知an为递减数列,也为递减数列,anbnbi综上，对任意正整数 n12.已知F/幻=口an 1anb1b?anana?a?402an 1an an40,成立;10bnan40 40an 1940an 1 ana3a2a4a3Lan 1 anTn130(1)若已亘面，求圮I的值；(2)若W =工+3。)+ 十八虱工)=口0 +%工+勺/ +的, + %产”,求同的值；(3)若图是应邈I展开式中所有无理项的二项式系数和，数列是各项都大于1的数组l + qXl + c (1+cJ- Pn 成的数列，试用数学归纳法证明 :勺叼%+ 1.【答案】(1) 口二孔(2) 165. (3)见解析.所以磋豆遁至三以 1+琮+W+1(3)因为%F1 =S(及的所以要得无理项，日必为奇数，所以Pn=C+T + y +=型(l + r1)il + 2).l + cn) 士心 要证明 + 1只要证明11 +吟” +1.(1 + %)三22S|用数学归纳法证明如下：(I )当EH3时，左边=右边，当匠2时,口 + ”)(1 +。) - 2(咐 + J =- & -1)(q -1 q- = lZ时,不等式成立.综合(I) (n)可知|1 + 0。+)(1 +叫对一切何均成立.：l + q)(l+c2Hl + cJ P”,不等式 6%+% +1 I成立.点睛：本题主要考查二项式定理的应用、 初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是 ：(1)验证 三闻时结论成立；(2)假设巨I时结 论正确，证明 区三王3时结论正确(证明过程一定要用假设结论) ；(3)得出结论.