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o微知识小题纟束o-基础徴梳理JICHIlJWElSHUi.1第五节椭 圆2019考纲考题考情考姻要求考題举例考向标签1. 拿握椭岡的童几何斑解，标產待单几何ft爾(租阳. 炖称性点.宵心字)2, 的简取应川判店全国住1 *让序|问聽)2oi8tmha心和伞国港III *门沁江就奇样厠的卩吐更蘇)2UI7 ” 空国性 III *儿糾 tlJft)2017 -浙江応号* Y:0,c0, 且a, c为常数。(1) 若ac，贝U M点的轨迹为椭圆。(2) 若 ac，则M点的轨迹为线段F1F2。(3) 若ac，则M点不存在。顶点Ai( a,0), A2(a,0)Bi(O, b), B2(0, b)Ai (0, a), A2(0, a)Bi( b,0), B2(b,0)轴长轴AiA2的长为2a;短轴BiB2的长为2b焦距|FiF2|=2c离心率ce=才 Da, b, c的关系c2= a2 b2常记结论1椭圆方程中的a, b, c2 2 2(1)a, b, c 关系：a = b + c。(2)e与孑因为e所以离心率越大，则a越小，椭圆就越扁；离心率 e越小，则b越大，椭圆就越圆2. 在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：一 aw xW a, bw yw b,0e|F1F2|=6,所以点P的轨迹是以F1, F2为焦点的椭圆，其中a= 5, c =3,b = .a 2a C 2即 a = 2c, 即卩 e + 2e- 1 = 0,又 0eb0) 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为f的直 线上， PF1F2为等腰三角形，/ F1F2P= 120。，则C的离心率为 ()A. IC. 1解析 由题意可得椭圆的焦点在 x轴上，如图所示，设|F1F2|=2c，因为 PF1F2为等腰三角形，且/ FiF2P= 120所以|PF2|=F1F2I = 2c。因为 |OF2| = c,所以点 P 坐标为(c + 2ccos60；32csin60即点P(2c, Wc)。因为点P在过A且斜率为卡的直线上，所以2c+ ao6答案 Dx2 yf4. (2017全国卷山)已知椭圆C:孑+詁=1(ab0)的左、右顶点分别为A1, A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab = 0相切，则C的离心率为（)C.解析 由题知以线段 AA2为直径的圆的方程为 x2 + y2= a2,2ab22圆心到直线bx ay+ 2ab= 0的距离d = = a,得a = 3b ,小2+ a2/b2 J6C的离心率e=1 孑=亍，故选A。答案A三、走出误区微提醒：忽视椭圆定义中的限制条件；忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论；忽视点 P坐标的限制条件。5. 平面内一点 M到两定点Fi（O, 9）, F2（0,9）的距离之和 等于18,则点M的轨迹是。解析 由题意知 |MFi|+ |MF2| = 18，但|FiF2|= 18, 即 |MFi|+ |MF2|= IF1F2I,所以点M的轨迹是一条线段。答案线段F1F26.椭圆1的焦距为4,则m等于（A . 4B . 8C. 4 或 8D. 12解析 当焦点在x轴上时，10 mm 20,10 m (m 2)=4,所以m= 4。当焦点在y轴上时，m 210 m0, m 2 (10 m) = 4，所以 m= 8。所以 m=4 或 8。答案 C2 27.已知点p是椭圆X+y = 1上y轴右侧的一点，且以点 p54及焦点Fl, F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为O解析 设P(x, y)，由题意知c2= a2 b2= 5 4 = 1,所以c=1,则Fi( 1,0), F2(1,0)。由题意可得点P到x轴的距离为1,x yH5所以y=，把y=代入+亍=1,得x= 厂，又x0,所 以X=，所以P点坐标为FP，1 或， 1广答案隙1则-1第1课时 椭圆的定义及简单几何性质微咨点火课堂考占一J八、椭圆的定义及应用【例1】x2(1)过椭圆4+y2= 1的左焦点F1作直线l交椭圆于A, B两点，F2是椭圆右焦点，则 ABF2的周长为()A. 8B. 4 2C. 4D. 2 2(2)在平面直角坐标系y x2xOy中，P是椭圆；+ = 1上的一个动点，点A(1,1), B(0, 1),则|FA|+ |PB|的最大值为()C. 3D. 2解析(1)因为乡+ y2= 1,所以a = 2。由椭圆的定义可得|AF1|+ |AF2|= 2a = 4,且|BFi|+ |BF?匸2a = 4,所以ABF2 的周长为 |AB|+ |AF2+ |BF2|= (|AFi|+ AF2|)+ (|BFi|+ |BF2|)= 4a= 8。故选 A。2 2(2)因为椭圆方程为 专+卷=1，所以焦点为 B(0, - 1)和B (0,1)，连接PB，AB，根据椭圆的定义，得|PB| + |PB |=2a = 4，可得|PB| = 4-|PB因此|PA|+ |PB|= |FA|+ (4|PB |)=4+ (|PA|PB |)。因为 |PA|- |PB |W|AB I,所以 |PA|+ |PB| 4+ |AB |= 4 + 1 = 5,当且仅当P在AB延长线上时，等号成立。故|PA|+ |PB|的最大值为5答案(1)A(2)A椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1, F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”， 利用定义可求其 周长，利用定义和余弦定理可求 |PF1| |PF2|,通过整体代入可求 其面积等。面积公式 SAPFF2= b2tan*其中e=Z F1PF2)。2 2【变式训练】(1)(2019惠州调研)设F1, F2为椭圆X + y =951的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则黑的值为()514C._5132 2F1, F2的(2)已知椭圆4X9+24= 1上一点p与椭圆的两焦点连线夹角为直角，则|PFi| |PF2匸。解析 如图，设线段PFi的中点为M，因为0是F1F2的5中点，所以OM /PF2,可得PF2b0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A, B两点，若 F2AB是面积为4.3的等边三角形，则椭圆C的方程为。解析(1)设椭圆方程为 mx2 + ny2 = 1(m, n0, m n)。由-n25-2+2m3- 23m+ 5n= 1,1 1 一解得m= 6, n = 10,故椭圆的标准方程2 2为 w+ 6 = 1o因为是面积为4.3的等边三角形，所以 AB丘轴,所以A,B两点的横坐标为一c,代入椭圆方程，可求得尸小|=尸石|b2b23=孑。又 F1F2U 2c,/F1F2A= 30 所以 =3 X 2c 。又 SAa2= b2 + c2，由解得F2AB = 2x 2cX 2b = 4 3 ,a2= 9, b2= 6, c2= 3，所以椭圆2 2C的方程为x + y = 1。2 a222答案(1)盘+ 6 = 1 (2)g +1. 求椭圆方程的基本方法是待定系数法， 先定位，再定量,即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a, b的方程组。m, n的值即可。2 b2(过焦点且与长轴垂直的弦)长为T。(1)已知两圆 C1: (x 4)2 + y2= 169, C2: (x3.椭圆的通径2. 如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为 mx2 + ny2= 1(m0, n0, mHn)，求出【变式训练】+ 4)2 + y2 = 9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()2 2B .篦+七=148642 2D .右 += 164 48x2 y2+ b= 1(ab0)的两个焦点为2 2x y A 164 482 2 C -工=1(2019亳州模拟)椭圆C. 4864E： a2Fi, F2,椭圆上两动点P, Q总使PF1QF2为平行四边形，若平 行四边形PF1QF2的周长和最大面积分别为 8和2 3，则椭圆的 标准方程可能为()22B x_+y_= 1B . 4 + 2 = 122D 垒 + 乂 = 116+ 82a .号+y2= 122C X_+ Y_= 1C. 4十 31解析 设圆M的半径为r，则|MCi| + |MC2|= (13-r) + (3+ r)= 16,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a= 16,2c22=8,故所求的轨迹方程为着+舊=1。(2)如图，由四边形 PF1QF2周长为8,可知4a= 8,所以a=2。当P, Q为短轴端点时，四边形的面积最大，故2bc= 2 3,22O即bc=习;3。答案(1)D(2)C考点三椭圆的简单几何性质微点小专题方向1:求离心率的值或范围2 2【例3】(1)(2018安徽二模)已知椭圆字+狰=1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若NM NF = 0，贝V椭圆D.的离心率为(C.5122 2X y(2019湖南联考)已知椭圆g +希=1(ab0)的左、右焦点 分别为F1, F2, P是椭圆上一点， PF1F2是以F2P为底边的等 腰三角形，且60Z PF1F2V120则该椭圆的离心率的取值范围 是()B 宀1 11)1、C. 2，1D. 0, 22 JI 2丿解析(1)由题意知，M( a,0), N(0, b), F(c, 0),所以 NM =(a, b), NF = (c， b)。因为 NM NF = 0，所以一ac + b2=0, 即卩 b2= ac。又知 b2 = a2 c2，所以 a2 c2= ac, 所以 e2 + e 5 1 511 = 0,解得e=2 或e=2(舍)。所以椭圆的离心率故选D(2)由题意可得，IPF2Ic - . 1 cosZPFiF2,又 60ZPF1F2VI2O 所以2cosZPFiF22,1 c 1V3 11所以 2ca( 3+ 1)c,贝U 3，即e1) 上两点A, B满足AP= 2PB，则当m =时，点B横坐标的绝对值最大。 解析 设 A(x1 , yd , B(x2 , yj ,由 AP = 2 PB ,得 = IF1F2I2 + |PFi|2 - 2IF1F2I |PFi|cos/PF1F2 = 4c2 + 4c2 - 2 2c 2c cos / PF1F2 ,即F2I = 221 cosZPFiF2，所以aPF1I+IPF2I-=c +2Xi= 2x2 ,Xi= 2x2 ,即 b0)上的一点，A为左顶点，c.33解析 如图，不妨设点P在第一象限，因为PF H轴，所以b2b2xp= c,将xp= c代入椭圆方程得yp= ba,即|PF|= a,贝V tanZRAFaab!=|PF| = 2，结合 b2 = a2 c2,整理得 2c2 + ac a2= 0,两|AF| a + c 21边同时除以a2得2e2 + e 1 = 0，解得e= q或e= 1（舍去）。故2答案 D2.（方向1）已知Fi, F2分别是椭圆C:Xa2+1(ab0)的左、右焦点。若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好一3,经过焦点F2,则椭圆C的离心率的取值范围是（）C. ；，1解析 因为线段PF1的中垂线经过焦点F2,所以|PF2|= IF1F2I=2c,即椭圆上存在点 P,使|PF2| = 2c,所以a c 2c a+ c,321再结合e 6（0,1），解得3 eb0)。由题设知c 1抛物线的焦点为(0,2.3)，所以椭圆中b= 2 3。因为e= a=Q,所以a= 2c,又a2 b2= c2,联立解得c= 2, a= 4,所以椭圆C22的标准方程为16+占=1。答案2 216+A只有一个点ab市=+b2-1=0,可得H2e22e = 2=a2 2 2a b b22 = 1 2= 1 aaxc,两边同时平方整理得，a2b2= c2(a2 + b2) = (a2 b2)(a2 + b2) = a4 b4,可得b4 + a2b2 a4= 0,两边同时除以a4，得 比 y23. （配合例3使用）已知椭圆g +含=1（ab0）的左顶点和上 顶点分别为A, B,左、右焦点分别是 Fi, F2，在线段AB上有 且只有一个点P满足PFi丄PF2,则椭圆的离心率的平方为（）3 A.B.3 52一 1 +丁5D.3 1C.22解析由题意得，A( a,0), B(0,b）,由在线段AB上有且P满足PF1IPF2,得点P是以点0为圆心，线段F1F2为直径的圆x2 + y2= c2与线段AB的切点，连接OP,贝y OPAB,且0P= c,即点0到直线AB的距离为c。又直线AB的方程为y=ax+ b,整理得bx ay+ ab= 0,点O到直线 AB的距离d = a2o1+ .53 5。故选B。答案 B4.（配合例4使用）已知椭圆C:彳+y2=1的两焦点为Fi,F2，点P（xo，y。）满足0罗+ y21，则|PFi|+ |PF21的取值范围是解析 由点P(Xo, yo)满足02 + y21，可知P(xo, yo)定在椭圆内(不包括原点)，因为a= 2, b= 1，所以由椭圆的定义可知|PFi|+ |PF2| 微考点火课堂1-1-4 4 !; -I 4 - d-i考点一 直线与椭圆的相交弦问题【例1】2 2 Xy（2018北京咼考）已知椭圆 M :孑+希=1（ab0）的离心率为f,焦距为2 2。斜率为k的直线I与椭圆M有两个不同的交点A，B(1)求椭圆M的方程；若k= 1，求AB|的最大值。a2 =b2+ C解由题意得c=a 3 2c= 2a/2解得 a= , 3, b = 1。2所以椭圆M的方程为| + y2= 1(2)设直线I的方程为y= x+ m, A(X1,屮),Bg y2）。y= x+ m,由 X 2得 4x + 6mx+ 3m 3 = 0。3 + y =1A0? m2b0)的一条 弦所在的直线方程是x y+ 5 = 0,弦的中点坐标是 M( 4,1),则 椭圆的离心率是()B亚B. 2B(X2, y2)两点，因为 AB的中点M(- 4,1)，所以 刘+ X2=- 8, yiy2yi+ y2= 2。易知直线 AB的斜率k= 12 2笃+b2=a b由 22X2丄冶 a2+ b2 =1,1,两式相减得,X1 + X2 X1- X2y1 + y2 y1- y2b20,所以y1- y2X1- X2b2 X1+ X2b2忒所以b21$=4,于是椭圆的离心率ce= a =b231 - a2=X2 - Xi故选Co答案 CASM弦及弦中点问题的解决方法1. 根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根 与系数关系表示中点。2. 点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、 斜率。【变式训练】 已知椭圆： 与椭圆相交于A, B两点，且弦 方程为()A . 9x- y-4 = 0C. 2x+ y-2= 0解析设 A(X1, yj, B(X2,y21 1、y + X2= 1,过点P T, 1的直线92 2丿AB被点P平分，则直线 AB的B. 9x+ y- 5= 0D. x+ y- 5= 02yj，因为A, B在椭圆 + x2= 12y122 2i y2两式相减得 9+ x I x2 = o，即9 + X1= 1,上，所以 2i 卷 + x2=1,(yi y(yi + y2)(1 i9+ (xi X2)(xi + X2) = 0，又弦 AB 被点 P 2, 2 平分，yi y2所以xi + X2= 1, yi + y2= 1,将其代入上式得 厂 + xi X2= 0,yi y2即=9,即直线AB的斜率为一9,所以直线AB的方程为Xi X2y 292丿,即 9x + y 5 = 0。答案 B考点三证明问题2【例3】(2018全国卷I)设椭圆c： X；+y2=i的右焦点为F,过F的直线I与C交于A, B两点，点M的坐标为(2,0)。(1) 当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2) 设O为坐标原点，证明：/ OMA =/ OMB。解(1)由已知得F(1,0), I的方程为x= 1由已知可得，点a的坐标为i,乎或：1,一所以AM的方程为y=今x+ . 2或y=x . 2(2)证明：当I与x轴重合时，/ OMA =ZOMB = 0当I与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/ OMA= ZOMB。当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y= k(x 1)(kM 0),A(xi, yi), B(x2, y2),贝U xi 2, X2b0) 经过点p；i, j且离心率为 o(1)求椭圆C的方程；设Fi, F2分别为椭圆C的左、右焦点，不经过Fi的直线 l与椭圆C交于两个不同的点 A, B。如果直线AFi, l, BFi的斜 率依次成等差数列，求焦点 F2到直线I的距离d的取值范围。1 2孑+4F=1，解由题意，知 c二I a 2 a2= b2 + c2,a2= 2,解得2lb = 1 ox2所以椭圆C的方程为x2 + y2 = 1。(2)易知直线I的斜率存在且不为零。设直线I的方程为y=、x22kx+ m,代入椭圆方程+ y2= 1,整理得(1 + 2k2)x2 + 4kmx+ 2(m2- 1)= 0。由 = (4km)2 - 8(1 + 2k2)(m2 - 1) = 16k2 - 8m2 + 80，得2k2m2-1。设 A(xi, yi), B(X2, y2),24km2 m 1则 X1 + X2=-2, X1X2 =2。1 + 2k21 + 2k2因为 Fi(- 1,0),所以 kAF 1 = , kBF1 =X1+ 1X2+ 1由题可得2k=y + y ,X1+ 1 X2+ 1且 y1 = kx1+ m, y2= kx2 + m,所以(m k)(x1 + X2 + 2) = 0。因为直线l: y= kx+ m不过焦点Fi( 1,0),所以m kz0,所以Xi + X2 + 2 = 0,从而一4km1 + 2k* 2+ 2= 0,4km + 2+ 4k考虑到函数f(t)=21+在1, V3上单调递减,所以 f3)vdvf(1)，解得 13d|k+ 2k) 1,化简得。丄 |k+ m|2k+ 2k焦点F2(1,0)到直线I :y= kx+ m的距离d=-)1 + k2 p1+ k21；2+ 1,由冏今知 t q1,3)。t2+ 32 _ 1令t=于是d= t2+ 2k2圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即利用圆锥曲线的定义、几何性 质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把 要求最值的代数表达式表示为某个 (些)参数的函数，然后利用导 数、不等式等进行求解。【变式训练】 已知椭圆C的两个焦点为F(1,o), F2(1,0), 且经过点E第，申。b0),a b2a = |EFi|+ |EF2| = 4, a= 2,由 a2= b2+ c2,解得 b= 3,I dI dc= 1,c= 1,2 2所以椭圆c的方程为x+y3=1。(2)由题意得直线I的方程为y= k(x+ 1)(k0),y= k(x+1),联立方程，得x2 y2匚+3 =1,整理得 j3+ 4y2 6y 9= 0,144A=k + 1440,设 A(xi, yi), B(X2, y2),则yi +倚牟，河2=兰,3+ 4k445即丁 0，解得0kw石 3+ 4k2 323 + 4k2 又AFi = ?FiB,所以 yi = 入y,严入2所以 yiy2=(yi + y2),(1入)2 、21 一入414贝 H= + - 2=入3+ 4k2入3 + 4 k2114故直线I的斜率k的取值范围是因为2W床3，所以壬心-一2b0)的右焦点F(1,0)，椭圆r的左、右顶点分别为 M, N。过点F的直线I与 椭圆交于C,D两点，且 MCD的面积是厶NCD的面积的3倍。(1) 求椭圆r的方程；(2) 若CD与x轴垂直，A, B是椭圆r上位于直线CD两侧 的动点，且满足/ ACD = / BCD，试问直线AB的斜率是否为定 值，请说明理由。解(1)因为MCD的面积是厶NCD的面积的3倍，所以 |MF|= 3|NF|,即卩 a + c= 3(a - c),所以 a= 2c= 2。又 a2= b2 + c2，所以 b2= 3x2故椭圆r的方程为4+1。(2)当 ZACD=ZBCD 时，kAc+ kBc = 0。设直线AC的斜率为k,则直线BC的斜率为k,(3)不妨设点c在x轴上方，cj, 2/设 A(xi, yi), B(X2, y2),3则直线AC的方程为y 3 = k(x- 1),2 2代入4+二=i中整理，得(3 + 4k2)x2 4k(2k 3)x+ 4k2 12k 3 = 0,4k(2k 3)1 + x1= 3 + 4k24k(2k+ 3)同理1+x2=所以X1+ X2 =8k2 63 + 4k224k x1 x2= 3 + 4k2则 kAB = yX1 X2kx1 + X2 2kX1 X212,因此直线AB的斜率是定值12. (配合例4使用)已知点M是圆E : (x+ 3)2 + y2= 16上的 动点，点F( 3，0)，线段MF的垂直平分线交线段 EM于点P。(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 矩形ABCD的边所在直线与轨迹 C均相切，设矩形ABCD 的面积为S，求S的取值范围。解(1)依题意，得|PM|= |PF|,所以 |PE|+ |PF|= |PE|+ |PM |= |ME| = 4(为定值)，|EF|= 2 3, 42 3,所以点P的轨迹是以E, F为焦点的椭圆，其中2a = 4,2c =2 3,x2所以p点的轨迹c的方程是才+ y2=1。(2)当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得S= &当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线 的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y= k1x+ m,直线BC的方程为y= k?x + n,则直线CD的方程为y= g m,直线AD的方程为y= k?x n,其中 k k2= 1,直线AB与CD间的距离d1 =同理直线BC与AD间的距离d2 =所以S=d1d2=和2。1 + k22f1得+22kimx+ m 1 = 0。Xp+ y2= 1,由4y= k1x+ m,因为直线AB与椭圆相切，所以 = 4k1+ 1 m2= 0,所以 S= 4 ，4k2+4k2+1所以 |m|= 4k2+ 1,同理 |n|= ：4応+ 1,k2 1 + k24 ；16k1k2 + 4 k2+ k2 + 1 /応必 + ； k1+ k +14p17+ 4(k2+ kf) &+( k1+ )92+ k2 + k2 +4=4 92+ :k2+旷1因为k2 +点2（当且仅当ki=l时，不等式取等号）,所以 4 .4SW4X+ 4, 即卩 8SW 10。2+ 2由可知，8 Sw 102 2c2 = 3。故椭圆方程为4 + = 1。42圆的右顶点，直线y= k(x 1)与椭圆C交于不同的两点 M , N。 当厶AMN的面积为4 * *97时，求k的值。y= k（x1）, 解由x2 y2_+ 2 = 1，=+ 13戏+1丿，1(3、
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