柯西中值定理和不定式极限

2 2 柯西中值定理和不定式极限柯西中值定理和不定式极限一一 柯西中值定理柯西中值定理 二二 不定式极限不定式极限设曲线（图设曲线（图6-2-(d)6-2-(d)）的参数方程为）的参数方程为 ( )( )Xg xYf x , xa b 另一方面参数方程所确定函数的导数为另一方面参数方程所确定函数的导数为 ( ( ), ( )A f a g a( ( ), ( )B f b g b()()()()fbfabagg ( )( )fxdYdXxg 由由LagrangeLagrange定理知道，定理知道， 若曲线若曲线C C连续，且处处有不平行于轴连续，且处处有不平行于轴的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线的切线，其线内必有一点的切线是平行于曲线两端点的连线. . 现现在我们想知道的是：在我们想知道的是： 当平面曲线当平面曲线C C是用参数方程表示时，是用参数方程表示时，LagrangeLagrange定理如何叙述？定理如何叙述？且是连续的、处处有不垂直于且是连续的、处处有不垂直于X X轴的切线，轴的切线， 端点端点 、 的连线的连线 弦弦ABAB的斜率是的斜率是 这个结论实际上是由数学家这个结论实际上是由数学家CauchyCauchy给出的，但他并没有局给出的，但他并没有局限限 、 为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的为参数方程的两个函数，而是作为两个一般的函数给出结论的函数给出结论的. .f(x)g(x) 至少存在一点至少存在一点 ( (a a, ,b b) )，使得，使得 ( )( )( )( )( )( )f bf afbaggg 所以应有结论：所以应有结论： 现给出一个形式更一般的微分中值定理现给出一个形式更一般的微分中值定理. . 则存在则存在 ，使得，使得 fg , a b( , )a b( )( )fxg x 和和( )( )g ag b ( , )a b ( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a 一一 柯西中值定理柯西中值定理 定理定理6.5 6.5 （柯西中值定理）（柯西中值定理） 设函数设函数 和和 满足满足 （i i）在）在 上都连续；上都连续； (ii) (ii) 在在 上都可导；上都可导； (iii) (iii) 不同时为零；不同时为零； (iv) , (iv) , (1) 在在uovuov平面上表示一段曲线（图平面上表示一段曲线（图6-56-5）. .,f g(),().ug xvfx 注注1 1 柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义柯西中值定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义. .只是现在要把只是现在要把 这两个函数写作以这两个函数写作以x x为参数的参量方程为参数的参量方程因此（因此（1 1）式即表示上述切线与弦）式即表示上述切线与弦ABAB互相平行互相平行. .( )( )( )( )f bf ag bg a ( )|( )xfdvgdu x( ( ),( )C gf ab时，时，CauchyCauchy中值定理的结论仍成立中值定理的结论仍成立. . 由于（由于（1 1）式右边的）式右边的 表示连接该曲线两端的弦表示连接该曲线两端的弦ABAB的斜率，的斜率， 而（而（1 1）式左边的）式左边的 则表示该曲线上则表示该曲线上与与 相对应的一点相对应的一点 处的切线的斜率处的切线的斜率. .注注2 2 Lagrange Lagrange中值定理是中值定理的核心定理，中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理故称之为微分学中值定理. .( )g xx ( )( )f af b 注注3 3如果取函数如果取函数 ，CauchyCauchy中值定理就变成中值定理就变成LagrangeLagrange中值定理了，所以中值定理了，所以CauchyCauchy中值定理是中值定理是LagrangeLagrange中值定中值定理的推广，理的推广，RolleRolle中值定理是中值定理是LagrangeLagrange中值定理的特殊情况（要中值定理的特殊情况（要求求 ）；）；fa,b(a 0)( , )a b (a,b)( )( )( )ln.bf bf afa 于是有于是有 ，使得，使得( )lng xx , a b fx( , )a b ( )( )( ).1lnlnf bf afba 上式整理后便得到所要证明的（上式整理后便得到所要证明的（2 2）式）式. .例例1 1 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可导，内可导，则存在则存在 ，使得，使得 （2 2） 证证 设设 ， 显然它在显然它在 上与上与 一起一起满足柯西中值定理条件，满足柯西中值定理条件，不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来求求. . 现在我们将以微分中值定理为理论依据、以导数为工具建现在我们将以微分中值定理为理论依据、以导数为工具建立一个简便而又有效的求立一个简便而又有效的求 型、型、 型不定式极限的方法型不定式极限的方法LHospitalLHospital法则法则. . 00 0sinlim1xxx 0000 二二 不定式极限不定式极限 我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇我们在第三章学习无穷小（大）量阶的比较时，已经遇到过两个无穷小（大）量之比的极限到过两个无穷小（大）量之比的极限由于这种极限可能存在，由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此，我们把两个无穷小量或两个无穷大也可能不存在，因此，我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限，量之比的极限统称为不定式极限，分别记为分别记为 型或型或 型型不定式极限不定式极限. .例如证明过的重要极限例如证明过的重要极限 就是就是 型不定式型不定式. . 1. 型不定式极限型不定式极限00若若 ， 求求 lim( )0 xaf x lim( )0 xax ( )lim( )xaf xx 与柯西中值定理的结论右端很相似，由柯西中值与柯西中值定理的结论右端很相似，由柯西中值定理的条件可知，若补上定理的条件可知，若补上 、 在在a a的某个空心邻或内可导的某个空心邻或内可导, ,( )f x( )x xa ( )( )0f aa ( )( )( )limlim( )( )( )xaxaf xf xf axxa f(x)- f(a)(x)-(a) ( )f x( )x 补充定义补充定义 、 在在 的函数值的函数值（不影响求函数极限）有（不影响求函数极限）有 则有在该邻域内任取则有在该邻域内任取x、 、 在在 内连内连续，在续，在 可导，且可导，且 ，从而存在，从而存在 ，使，使 ( )f x( )x 0, xx0(, )xx( )0 x 0(, )xx ( )( )( )( )( )( )ff xf axa 00 xxxx （或或）若若 ，有，有 ，从而，从而xaa ( )( )( )limlim( )( )( )xaaf xf afxa 若再补充条件若再补充条件 存在，存在，( )lim( )af ( )( )( )limlimlim( )( )( )xaaxaf xffxxx 且且 ，( )0 x 则有则有综上所述，有如下定理：综上所述，有如下定理：(3) (3) (A(A可为实数，也可为可为实数，也可为 ）fg00lim( )lim( )0 xxxxf xg x( )0g x 0 x0()lim()xxfxAgx , 则则00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 若将定理若将定理6 .66 .6中中 换成换成只要相应地修正条件（只要相应地修正条件（2 2）中的邻域，也可得到同样的结论）中的邻域，也可得到同样的结论. .0 xx00,xx xx xx 定理定理6.66.6若函数若函数 和和 满足：满足：(1)(1)； (2)(2)在点在点 的某空心邻域的某空心邻域 内两者都可导内两者都可导, ,且；且；00Ux注注1 121coslim.tanxxx 容易检验容易检验 与与 在点在点( )1cosf xx 2( )tang xx 0 x 又因又因32( )sincos1limlimlim( )2tansec22xxxfxxxg xxx 故由洛必达法则求得故由洛必达法则求得( )( )1limlim( )( )2xxf xfxg xg x 例例2 2求求解解的邻域内满足定理的邻域内满足定理6.66.6的条件（的条件（1 1）和（）和（2 2），），当然这时当然这时 和和 在在 的某邻域内必须满足的某邻域内必须满足定理定理6.66.6的条件的条件. .( )lim( )xfxg x 00( )lim( )xfxg x f g 0 x求求1220(12 )lim.ln(1)xxexx 利用利用 ，则得，则得22ln(1)(0)xxx11122222000320(12 )(12 )(12 )limlimlimln(1)2(12 )2lim1.22xxxxxxxxexexexxxxex 注注2 2如果如果 仍是仍是 型不定式的极限，只要有型不定式的极限，只要有可能，我们可再次用洛必达法则，可能，我们可再次用洛必达法则，即考察极限即考察极限是否存在是否存在. .例例3 3解解 2. 型不定式极限型不定式极限 若若 是是“ ”“ ”型，仿定理型，仿定理6.66.6可得相应的定理可得相应的定理. .+0 xxf(x)limg(x) (3) ( (3) (A A可为实数，也可为可为实数，也可为 . .则则 00 xxxxf(x)f (x)lim= lim= A.g(x)g (x)fg +00 xxxxlim f(x)= lim g(x)=;0 xo+0U (x ) g (x)0 +0 xxf (x)lim= Ag (x),) 定理定理6.6. 若函数若函数 和和 满足：满足： (1) (1) (2) (2) 在点在点 的某空心邻域的某空心邻域 内两者都可导内两者都可导, ,且且 . . 若将定理若将定理6 .76 .7对于对于 或或等情形也有相同的结论等情形也有相同的结论. . -00 xx ,xx x,x 如果如果 满足条件，我们可以再次应用定理满足条件，我们可以再次应用定理6.76.7. f,g,f ,g注注1 1 注注2 2 由定理由定理6.76.7，有，有 x+lnxlim.x x+x+x+lnx(lnx)1lim= lim= lim= 0 x(x)x由定理由定理6.76.7，有，有.x3x+elimx lim xxxx32xx+x+x+eeeelim= lim= lim= +.x3x6x6例例5 5 求求 解解 例例6 6 求求 解解 就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论. . 0 xxf (x)limg (x)0 xxf(x)limg(x)xx+ sinxlim= 1x x+x+x+ sinx1+cosxlim= lim,x1 注注3 3 若若 不存在，并不能说明不存在，并不能说明 不存在（试不存在（试想，这是为什么？）想，这是为什么？） 注注4 4 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解不能对任何比式极限都按洛必达法则求解. . 首先必须注首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件. .下面这个简单的极限下面这个简单的极限 虽然是虽然是 型，但若不顾条件随便使用洛必达法则：型，但若不顾条件随便使用洛必达法则： 3. 3. 其他类型不定式极限其他类型不定式极限 其他类型的不定式极限不定式极限还有其他类型的不定式极限不定式极限还有 等类型等类型. .经过简单变换，它们一般均可化为经过简单变换，它们一般均可化为 型或型或 型的极限型的极限. .00 +x0lim xlnx.0lnxxlnx =1x +x0 x0 x0 x021lnxxlim xlnx = lim= lim= lim(-x)= 011-xx例例7 7 求求 解解 这是一个这是一个 型不定式的极限型不定式的极限. . 用恒等变形用恒等变形 将它转化为将它转化为 型的不定式极限，并应用洛必达法则得到型的不定式极限，并应用洛必达法则得到000,1 ,0 ,- 从而得到从而得到21xx0lim(cosx)1 21lncosxx21(cosx)= e,x2x01limlncosxx002x0 x0lncosx-tanx1lim= lim= -,x2x2211-x2x0lim(cos)= e.例例8 8求求解解这是一个这是一个 型不定式极限型不定式极限. .作恒等变形作恒等变形其指数部分的极限其指数部分的极限 是是 型不定式极限，型不定式极限， 可先求得可先求得当当 时上面所得的结果显然成立时上面所得的结果显然成立. .+k1+lnxx0lim(sinx)00 +x0 x0 x0kcosxklnsinxxsinxlim= lim= lim kcosx= k,11+ lnxsinxx+kk1+lnxx0lim(sinx)= e(k0) k = 0例例9 9求求 （k为常数）为常数）. .解解这是一个这是一个 型不定式极限，型不定式极限，按上例变形的方法，先求按上例变形的方法，先求型的极限：型的极限：然后得到然后得到 于是有于是有 12lnxx+lim (x+1+ x ).0 22x+x+1ln(x+1+ x )1+ xlim= lim= 1,1lnxx 1.2lnxxlim (x+1+ x )= e.例例10 10 求求 解解 这是一个这是一个 型不定式的极限型不定式的极限. . 类似地先求其对数的极类似地先求其对数的极限（限（ 型）：型）： 于是有于是有 x111lim(-).x -1lnx 1.2lnxxlim (x +1 + x)= e. 22xx+1ln(x+1+ x )1+ xlim= lim= 1,1lnxx例例11 11 求求 解解 这是一个这是一个 型不定式的极限型不定式的极限. . 类似地先求其对数的类似地先求其对数的极限（极限（ 型）：型）： 且已知且已知 ，试求，试求 g(x),x0f(x)=x0,x=0 g(0)= g(0)=0,g (0)=3(0).f 因为因为 2f(x)- f(0)g(x)=,x -0 x所以由洛必达法则得所以由洛必达法则得 2x0 x0g(x)g(x)f(0)= lim= limx2x x01g(x)- g(0)13=lim=g (0)=2x -022例例12 12 设设 解解 所以由归结原则可得所以由归结原则可得 n2n11lim 1+nn x2x+11lim1+xx1 222x+x+11ln(1+ x+ x )-lnxlim xln 1+= lim1xxx 22x+x+22x+12-x + 2x1+ x+ x2x= lim= lim= 11x + x+1-x nx22nn+1111lim 1+= lim1+= ennxx例例13 13 求数列极限求数列极限 解解 先求函数极限先求函数极限 ( ( 型型).). 类似于例类似于例8 8，取对数后的极限为取对数后的极限为 应用洛比达法则须注意的问题应用洛比达法则须注意的问题 3). 3).洛比达法则的条件为充分条件洛比达法则的条件为充分条件, ,若条件不满足若条件不满足 ( (比如比如 不存在不存在) )并不能说明并不能说明 不存在不存在, , 此时计算极限此时计算极限, ,就只能用以前所学的有关计算方法就只能用以前所学的有关计算方法. .00 ,0 ,1 ,000, 00 0 xxf(x)limg(x)0 xxf(x)limg(x) 1). 1).验证计算的极限是不是不定式极限验证计算的极限是不是不定式极限. .不是不定式极限不不是不定式极限不能使用洛比达法则能使用洛比达法则. . 2). 2).除计算除计算 型与型与 型两种不定式极限外型两种不定式极限外, ,计算其他五计算其他五种不定式型种不定式型: : 都要用对数式代数运算将它们化为都要用对数式代数运算将它们化为不定式型不定式型: : 型或型或 型型, ,然后再利用洛比达法则然后再利用洛比达法则. . 5). 5).一般来说一般来说, ,应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单应用洛比达法则计算不定式极限都比较简单, ,但对少数的不定式极限应用洛比达法则但对少数的不定式极限应用洛比达法则, ,并不简单并不简单, ,甚至很繁甚至很繁. .xsinxxsinxx0 x0e -ee -cosxelim= limx - sinx1-cosxx2sinxsinxx0e -cos xe+ sinxelimsinx xsinx3sinxsinxsinxx0e + sin2xe-cos xe+ sinxcosxe+cosxe= lim= 1cosx例如例如: : 4). 4).应用洛比达法则应用洛比达法则, ,可能会出现仍是不定式极限可能会出现仍是不定式极限, ,这时只要这时只要定理的条件满足定理的条件满足, ,仍可继续用洛比达法则仍可继续用洛比达法则. .但是用已学过的计算方法却很简单：但是用已学过的计算方法却很简单：xsinxx-sinxx-sinxsinxsinxx0 x0 x0 x0e -ee-1e-1lim= lime= limelimx - sinxx - sinxx - sinxttt0t0e -1= lim= lime = 1.t