美国大学地留学申请问题模型张悦舟

word数 学 建 模 竞 赛 论 文论文题目:美国大学留学申请问题模型参赛队员信息：某某年级专业参赛队员1X悦舟2010级数学与应用数学参赛队员2景茂轩2010级数学与应用数学参赛队员3X丽君2010级数学与应用数学摘要本文主要研究美国大学的留学申请问题，通过对申请人的具体情况进展分析，结合往年美国各大学的录取数据，建立数学模型，帮助申请人合理地申报学校。 问题一，我们通过层次分析法，使用判定矩阵计算出了是否跨专业、GPA、GRE分数、托福分数以与班级/专业排名这五项影响因素对大学录取学生的影响权重。再给出了各项影响因素的评分标准，结合申请人的实际情况算出了该生的综合素质分。接着算出申请人的备选学校历年录取学生的平均综合素质分，通过正态统计模型计算出了该申请人被录取的概率。并通过华盛顿大学的案例进展说明。此外，增加了申请人是否发表过相关专业论文和是否参加了竞赛并获奖两个影响因素，进展了模型扩展。 问题二，我们建立了在有限的资金约束下，使申请人至少被一所大学录取的概率最大化的最优化模型。通过对一名学生的实际情况和美国大学历年录取数据进展比拟，选出12所备选学校，用问题一的模型计算出了该学生被各个大学录取的概率，再使用该最优化模型得出了该学生的最优申请方案。 问题三，首先我们将申请模型分为冲刺层级和保底层级。保底层级的学校选择是在保证一定录取概率的约束下，使申请费最小化的优化模型。总资金除去在保底层级的申请费用后用于冲刺层级学校的申请，然后用问题二的优化模型得出最优的冲刺方案，并通过实例加以说明。 本模型不仅可以计算出申请人被录取可能性，还可以通过录取判定标准合理地制定学习计划，提升个人综合素质水平，增加留学成功的几率。关键词： 层次分析法 影响权重 最优化模型 正态统计模型 一问题重述：现在，越来越多的学生选择去海外留学，尤其是美国。校园中随处可见考托福、考GRE的身影。申请的程序很繁杂，录取的时候影响因素也很多。现考虑申请美国研究生的同学，包括硕士研究生master和博士研究生Ph.D.，建立一个模型，帮助申请人做结果的定性和定量评估。问题一：一个申请人是否能够被录取，需要考虑很多因素。在假设一个申请人只能申报一个学校的前提下，现根据申请的专业、他/她的平均成绩GPA、托福分数、GRE分数、班级/专业排名五个影响因素建立模型，来计算一个申请者录取的可能性。如果一个申请人曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等，这样他/她就会比其他人更有优势，从而拿到“offer。考虑这两个因素，进而改善模型。问题二：大多数情况下，一个申请人会同时申请多个学校。申请的学校越多，获得录取的可能性也就越大。如果一个申请人认为只要能拿到一个录取就算是成功的，在资金有限的情况下，分析应该申请的学校个数。问题三：几乎所有的申请人都想拿到美国顶尖学校的录取通知，可是学校的排名越高，获得录取的可能性就越小。根据模型，写一份分析报告，帮助申请人合理的选择学校。二问题分析 每年都会有申请国外留学的同学因为错估自己的录取水平导致学校选择的不合理，以至于错过了海外留学的机会，所以我们要通过建立关于留学申请问题的数学模型，来帮助申请人能成功出国留学。而在申请过程中，往年各学校的信息是最重要的参考，我们需要根据往年的数据来正确评估申请人的录取水平。三模型假设：1、美国各大学近年来录取条件、招生政策没有发生变化：2、美国各大学对申请人的吸引力没有发生变化；3、申请人通过报纸、网络等渠道获得的信息是全面并且权威的；4、申请人申报学校时不受家庭等因素的影响。5、申请人的成绩服从正态分布。四符号说明：A1表示申请的专业A2表示他/她的平均成绩GPAA3表示GRE分数A4表示托福分数A5表示班级/专业排名A6表示发表过相关专业的论文A7参加了一些竞赛并获奖C学生的总预算约束z达到99%录取率所用的最小费用CI一致性指标RI平均随机一致性指标第i个学校所需要的总申请费用五问题一解决方案：根据题意，一个申请者录取的可能性受到诸多因素的影响，而且，由于学校的不同，各个因素对录取可能性的作用大小也不同。显然，这是一个多目标决策问题，无法通过足够的数据进展量化计算。根据以上分析，我们可以采用层次分析法。层次分析法是将于决策总是有关的元素分解成目标、准如此、方案等层次，通过逐层比拟各种关联因素的重要性来为分析以与最终的决策提供定量的依据的决策方法。下面我们根据题目要求，利用层次分析法来对留学申请问题建立数学模型。（1） 模型建立：模型一：（1） 建立留学申请问题的层次结构图是否录取学生申请的专业A1平均成绩A2GRE分数A3托福分数A4班级/专业排名A5评估学生素质目标层中间层评估层（2） 构造各个层次中的判断矩阵 为了确定抽象因素的影响程度，必须主观给出各准如此在目标衡量中所占的比重，将决定性分析定量化。在留学申请问题中，我们可以采取所有影响因素两两比拟建立成比照拟矩阵的方法。构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素被称作准如此作为判断矩阵的第一个元素位于左上角，隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：大多采取的方法是：向填写人专家反复询问：针对判断矩阵的准如此，其中两个元素两两比拟哪个重要，重要多少，层次分析法对重要性程度按1-9赋值重要性标度值见下表。重要性标度含义表重要性标度含 义1表示两个元素相比，具有同等重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述判断的中间值倒数假如元素I与元素j的重要性之比为aij, 如此元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij因此n阶判断矩阵A具有如下特征：应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的aij满足上述三条关系式时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。有关一致性的检验 其中是判断矩阵的最大特征值，n是判断矩阵的阶数。 判定方法：一致性指标C.I.的值越大，明确判断矩阵偏离完全一致性的程度越大， C.I.的值越小，明确判断矩阵越接近于完全一致性。平均随机一致性指标R.I值需要通过查表得到。 平均随机一致性指标R.I.表1000次正互反矩阵计算结果矩阵阶数12345678R.I.00矩阵阶数9101112131415R.I.当CR=A(A为学校的要求20A-5=TOEFLA10TOEFLA-50A5班级排名50%0 如此我们就可以得出算个人得分的公式如下：其中A1,A2,A3,A4,A5分别对对应项的得分。现在模型中个人的得分标准就建立起来了，下面谈论如何计算其概率。假设所有申请人的得分服从,现在每个学校的期望和方差都是不同的，那么某得分为S的同学申请成功的概率为至此对于一个成绩为S的学生申请一个学校的模型就根本建立完成。案例：我们以华盛顿大学为例，其历年的GPA与GRE情况如下历年GPA统计表时间 2001-022002-032003-042004-052005-062006-072007-082008-092009-102010-11历年平均GPA分数历年GRE统计表时间 2001-022002-032003-042004-052005-062006-072007-082008-092009-102010-11历年平均Verbal Score555559556555555561555560564Quantitative Score647652652656658659665669674Analytical Score648661647652636643606631646如此我们按上面的评分标准可以估算出其期望的得分为 其中我们假定有1/3的人跨专业不相关联，有1/3的人选择本专业，如此专业平均得分为15分。认为申请的人几乎都排在前百分之三十内，故得分为15分，托福得分认为平均为10分。 假设其得分,其中，假如现在申请人小明的申请条件如下条件申请人是否为本专业GPAGRETOEFL班级排名小明是1920100前百分之三如此按上述的标准可以计算出小明的得分为那么该同学被华盛顿大学录取的概率为从而他被该学校录取的概率为87.08%。3)模型扩展：现在对模型进展扩展，参加A6,A7两个变量，通过层次分析法得出其正互反矩阵判断矩阵为通过MATLAB计算求的其最大特征值与特征向量为经计算查表得各项指标为：根据的判断标准，符合一致性检验，其特征向量可以用作权向量，如此其分布如下表：决定因素所占权重A1表示申请的专业18.66%A2表示他/她的平均成绩GPA28.20%A3表示GRE分数5.89%A4表示托福分数5.45%A5表示班级/专业排名3.21%A6表示发表过相关专业的论文22.50%A7参加了一些竞赛并获奖16.13%现在给出A6,A7的判别标准如下表：评分项属性得分A6-是否发表过相关专业的论文在国际期刊上发表 20在国内期刊上发表15在校内期刊上发表 10没发表 0A7-是否参加了一些竞赛并获奖 获得国际上的竞赛奖励 20 获得国内的竞赛奖励 15 获得校级竞赛奖励 10没获得奖励 0如此可以按照此扩展模型算出任意一个学生的录取率，在此不在详细表示，方法同上。五问题二：根据题意，我们需要在申请人资金有限的情况下，帮助其获得最大的录取率。这是一个最优化问题，我们的目标是最大化其录取概率被一所录取就可以。最优化问题，主要是指以下形式的问题： 给定一个函数，寻找一个元素使得对于所有A中的，最小化；或者最大化。根据分析，这是一个0-1非线性规划问题。模型二：那么约束条件下极值问题的数学模型就为：目标函数：约束条件： 说明：这个是广义的模型，其中C是个人总的预算，是第i个学校的申请费用，是第i个学校的成功率，对于不同的学校,带入个人成绩S后可以计算出，然后便可以通过EXCEL带入具体数据后计算。我们假设该学生打算往商科方向开展，我们搜集了一些学校商科的数据。 设该学生数据如下： 条件申请人是否为本专业GPAGRETOEFL班级排名预算约束小红是3239910%5000元假设所有学校方差都为1，那么由第一问的结论和方法我们可以算出该生在不同学校的成绩以与他被录取的概率如下表：大学名称申请费美元平均绩点托福要求平均GRE该校录取学生综合素质平均分该生托福达标分该生综合素质分录取该校概率申请总费用资料寄送费200元芝加哥大学7510432515 麻省理工学院7510032820哥伦比亚大学8010032615 达特茅斯学院8010032715耶鲁大学7510032815 某某农工大学658031720罗彻斯特大学6010032015天普大学707931420南卫理公会大学658031720亚利桑那大学756131620康涅狄格大学757931420迈阿密大学658031720我们通过EXCEL计算出当我们的预算约束为5000时最优化的选择，见下表：被录取的概率变量x0,1概率费用芝加哥大学0 麻省理工学院0哥伦比亚大学0 达特茅斯学院0耶鲁大学0某某农工大学 1罗彻斯特大学1天普大学1南卫理公会大学1亚利桑那大学1康涅狄格大学1迈阿密大学1使用经费约束条件5000通过表格，可以看出在5000元的预算约束内应该选择的学校有某某农工大学，罗彻斯特大学，天普大学，南卫理公会大学，亚利桑那大学，康涅狄格大学，迈阿密大学这7所学校，共计花费4336.5元。六问题三：1模型建立：鉴于我们第一问和第二问建立的模型，我们对第二问的学生按第二问的成绩进展分析，为此我们要扩展一下第二问的模型。一般来说，一个学生报考学校总会分层级报考，他会在有限的资金约束下试着冒险一番，报考几个难度比拟大的学校作为冲刺选项，然后报考几个比拟稳的学校作为保底，那么我们就将模型分为两个层级，第一个层级是冲刺层级，第二个层级是保底层级，我们在给定的预算约束下首先对保底层级的学校进展模型二的优化，我们认为当概率达到某个值我们设定为99%的所用的最少费用，模型如下：模型三： 这个模型其实是模型二的对偶模型，我们通过这个模型可以算出保底层次的最低费用z，如此我们用在冲刺层次学校的费用应为C-z，C为总的预算约束。然后我们知道对于冲刺层次使用的费用后就可以用问题二的最优化模型算出冲刺层次学校在固定预算约束下的概率最大化选项。假如模型三无解，如此说明达不到我们的概率要求，如此直接使用模型二进展求解，放弃掉冲刺学校的选择。2模型求解个人数据如下： 条件申请人是否为本专业GPAGRETOEFL班级排名预算约束小兰是3239910%3500元如此有我们第一问的和第二问的模型可以得出如下表的数据：第一档次学校名称申请费美元平均绩点托福要求平均gre该校录取学生综合素质分该生托福达标分该生综合素质分被录取概率申请总费用资料寄送费200元哈佛大学7510032915麻省理工大学7510032815斯坦福大学9010033015耶鲁大学7510032815第二档次学校名称芝加哥大学7510432515哥伦比亚大学8010032615罗彻斯特大学6010032015迈阿密大学658031720 某某农工大学658031720康涅狄格大学757931420南卫理公会大学758031720我们通过模型二和模型三得出下表：最小费用=目标函数最大概率变量哈佛大学0麻省理工大学1斯坦福大学0耶鲁大学1使用金额=由上表我们可以看出，在保底学校中我们保证达到录取率99%以上所用的最小费用为1174.6元，这时我们选择申请的学校是罗彻斯特大学，迈阿密大学，某某农工大学，此时至少被其中一所所录取的概率为99.3%，然后我们把剩余的1725.4元全部投入到冲刺学校中，选择可能性最大的组合为麻省理工大学和耶鲁大学，至少被其中一所录取的概率为24.0%。综上，小兰可以将钱分为两局部，用1174.6元投入在罗彻斯特大学，迈阿密大学，某某农工大学的申请上，然后用1327.3投入给麻省理工大学和耶鲁大学，这样即保证了根本上会被保底的学校录取并且也能有余力冲刺更好的大学。 我们知道，耶鲁大学和麻省理工大学在美国众大学中排名靠前，耶鲁大学在美国大学本科排名第三，麻省理工大学排名第六，而且这两所大学在世界大学中排名前十。学校不仅环境优美，综合实力也是处于顶级水平的。学校的录取条件较高，但是每年，都有许多的优秀学子申请入学，竞争激烈，所以录取率比拟低。而罗彻斯特大学、迈阿密大学、某某农工大学相比于上面两所大学来说，竞争强度有所减弱，被录取的概率就相对较高。 对于申请人，最终的目标是申请到适宜的大学。因此，我们建议，如果申请人的各项成绩都处于较高的水平，还能在某些学术类刊物上发表论文或者说是参加竞赛并获奖的话那么可以选择像耶鲁大学、麻省理工大学这类高排名的美国大学进展申报。在资金充沛的情况，可以多项选择择几所学校进展申报。而如果申请人对自己的各项成绩不是十分自信并且资金不是特别充裕，我们推荐像罗彻斯特大学、迈阿密大学这类排名的学校进展申报，被录取的可能性会相对较大。七模型的评价模型的优点：1层次分析法通过化模糊为具体的方式将模糊的判定标准数值具体化，是我们能够构造一种量化的方式来评价学生的水平。2模型二通过概率最大化保证了该学生被录取的最大可能性，并且还能融入该学生的个人偏好，将其偏爱的学校的Xi固定为1再求其剩余学校的最大录取概率同样是可行的，模型二的优点就在于通过完全数学化的假设几乎能容纳所有能够考虑的实际情况。3对于第三问模型二和模型三的结合能够保证一种更加实际的筛选过程，在保证学生几乎能够被录取的情况下冲刺更好的学校更符合我们的实际情况也更能满足考生的个人偏好。模型的缺点：1第一问的假设中假设学生成绩为正态分布是由于缺乏学生个体数据美国学校对个人数据都是有某某措施的没方法进展假设检验，导致录取率会有偏离。2层次分析法本身的主观性导致的权重分析不准确。3模型三由于最低概率的设定不同会导致结果不同，这个本应该有个人选择，但由于缺乏数据只能人为定义。八参考文献1姜启源 谢金星 叶俊，数学模型第三版，高等教育,2003年。2X保柱 X宏林，MATLAB7.0从入门到精通，人民邮电，2010年。3啄木鸟教育美国留学，.zmnedu./yanjiusheng/，2013/4/24第一问A= 1 1 3 3 5 1 1 4 4 6 1/3 1/4 1 1 3 1/3 1/4 1 1 2 1/5 1/6 1/3 1/2 1;V D=eig(A)V = -0.6170 -0.2789 + 0.4140i -0.2789 - 0.4140i 0.6802 0.6802 5.0527 0 0 0 0 0 -0.0162 + 0.5043i 0 0 0 0 0 -0.0162 - 0.5043i 0 0 0 0 0 -0.0101 + 0.1034i 0 问题扩展A= 1 1 3 3 5 1 1 1 1 4 4 6 2 3 1/3 1/4 1 1 3 1/5 1/4 1/3 1/4 1 1 2 1/5 1/4 1/5 1/6 1/3 1/2 1 1/6 1/5 1 1/2 5 5 6 1 2 1 1/3 4 4 5 1/2 1;V D=eig(A)V = Columns 1 through 5 -0.4191 -0.0365 + 0.2471i -0.0365 - 0.2471i 0.7331 0.7331 Columns 6 through 7 -0.6840 -0.6840 D = Columns 1 through 5 7.2601 0 0 0 0 0 -0.0104 + 1.3163i 0 0 0 0 0 -0.0104 - 1.3163i 0 0 0 0 0 -0.0750 + 0.3571i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 6 through 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0447 + 0.0478i 0 标准文档