数值积分法PPT课件

目录目录1 基本问题2 时域积分法的构造3 Newmark法4 方法特点比较第1页/共27页1.数值算法中的基本问题 车辆运动方程( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )mu tcu tku tp tM u tC u tK u tp t第2页/共27页时域逐步积分法Step-by-step methods结构动力反应分析的时域直接数值计算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均常加速度法；（4）线性加速度法；（5）Newmark法；（6）Wilson法时域逐步积分法是结构动力分析问题中一个得到广泛研究的课题，也是得到广泛应用的计算方法。第3页/共27页 因此提出时域逐步积分法，即只假设在一个时间步距内是线性的，相当于用分段直线来逼近实际的曲线。时域逐步积分法研究的是离散时间点上的值，例如位移和速度为：而这种离散化正符合计算机存贮的特点。与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相当于放松了对运动变量的约束。( ),( ),1,2,iiiiuu tuu ti第4页/共27页采用等时间步长离散时，体系的运动微分方程仅要求在离散时间点上满足。 t 离散时间步长,1,2,3,iti ti 。经过经过 t时间后：时间后：( )( )( )( )mu tcu tku tp t()()()()mu ttcu ttku ttp tt第5页/共27页收敛性当t0时，数值解是否收敛于精确解计算精度截断误差与时间步长t的关系，若误差 O(tn)，则称方法具有n阶精度稳定性随时间步数i的增大，数值解是否变得无穷大计算效率所花费的计算时间算法评价准则算法评价准则第6页/共27页根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两大类： 隐式方法逐步积分计算公式是偶联的方程组，需联立求解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正比，例如Newmark-法、Wilson-法。 显式方法逐步积分计算公式是解偶的方程组，无需联立求解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如中心差分方法（无阻尼时）。第7页/共27页2.一般时域逐步积分法的构造时域逐步积分方法是构造出根据某一时刻及其以前时刻的运动，推算下一时刻运动的递推计算公式。 具体情况可表述为，设体系在ti及ti以前时刻的运动已知，求ti1时刻的运动（tiit）。 体系在ti1时刻的运动包括：位移、速度和加速度，需要有三个方程（条件）求这三个量。因此，除体系的运动方程外，还需补充两个方程（条件） 。第8页/共27页两个补充方程可以通过对运动状态的假设得到。 例如可以假设在t i和t i1时刻，即t时间段内，体系的加速度为常数a，则积分(不定积分)得到体系的速度和位移为：其中，为由ti时刻起算的局部时间坐标，c1和c2为积分常数。1( )uac2121( )2uacc第9页/共27页积分常数c1和c2可由 0时的初值条件确定： 最后得： 当 t ，即t t i1时刻，体系得运动状态为：1( )uac2121( )2uacc(0)|,(0)it tiiuuuuu( )iuau21( )2iiuauu1iiua tu 2112iiiua tutu 第10页/共27页假设：t i和t i1时间段内的常加速度a=(i+1+i)/2，则得到：再加上t i1时刻的运动方程：可以求得t i1时刻的位移、速度和加速度。1iiua tu 2112iiiua tutu 11()2iiiituuuu211()4iiiiituuuutu 1111iiiimucukup第11页/共27页以上方法也称为平均加速度法，即假设加速度为t i和t i1时间段内的平均值： 也可以假设加速度a为其它形式的变化规律，例如为线性变化： 则采用同样的分析步骤可以得到线性加速度法的时域逐步积分公式。11()2iiauu1()iiiauuut第12页/共27页3. Newmark-法 Newmark-同样将时间离散化，运动方程仅要求在离散的时间点上满足。假设在ti时刻的运动均已求得, 然后计算 ti+1时刻的运动。它是通过对加速度的假设，以ti时刻的运动量为初始值，通过积分得到计算ti+1时刻的运动公式。与平均加速度法和线性加速度法不同的是，它用不同的加速度假设条件给出速度和位移的计算公式。第13页/共27页 Newmark-法假设在时间段ti，ti+1内，加速度为一常量，记为a，经过简单积分计算可以得到速度、位移与a之间的关系式(为得到稳定和高精度的算法，a同时由两个控制参数表示)：第14页/共27页tauuii111)1 (iiiiu tu tuu 2112iiiuutut a22111()2iiiiiuutut ut u 得到ti+1时刻的速度和位移：得到Newmark-法的两个基本递推公式：第15页/共27页tuuuutuuutuutuiiiiiiiiii )21 ()1 ()() 121(1)(1111211111iiiipkuucum 11)1 (iiiiu tu tuu 22111()2iiiiiuutut ut u 解这两个递推公式，可以得到如下ti+1时刻的速度和加速度的计算公式：由计算公式给出的运动满足ti+1时刻的运动控制方程：第16页/共27页11iikup11211111()(1)2()(1)(1)2iiiiiiiiiiuuuuuttuuuuutt21kkmctt112111(1) 2(1)(2) 2iiiiiiiippuuu mtttuuu ct其中：将计算公式代入运动方程得到位移ui+1的计算公式：第17页/共27页多自由度体系Newmark-法的逐步积分公式 11iiKup 1121111211112iiiiiiiiiiuuuututuuuuutt 21KKMCtt 21111112122iiiiiiiippMuuutttCuuut第18页/共27页第19页/共27页2.对每个时间步的计算： （1）计算t+t 时刻的有效荷载： )()(541320ttttttttttuuuCuuuMFF aaaaaa （2）求解t+t 时刻的位移： ttttFuK （3）计算t+t 时刻的速度和加速度： tttttttuuuuu)(320 aaa ttttttuuuuaa76 第20页/共27页 在Newmark-法中，控制参数和的取值影响着算法的精度和稳定性，可以证明，只有当取1/2时，这个方法才具有二阶精度，因此一般均取： =1/2, 01/4 Newmark-法的稳定性条件： 当=1/2, =1/4时，t，即成为无条件稳定的。1122ntT 第21页/共27页 Newmark-方法是一种无条件稳定的隐式积分格式，时间步长t的大小不影响解的稳定性，t的选择主要根据解的精度确定。通过对Newmark-法中控制参数取不同的值也可以得到其它时域逐步积分方法。下表给出了取不同值时Newmark-法所对应的逐步积分法。参数取值 对应的逐步积分法 稳定性条件 41,21 平均常加速度法 无条件稳定 61,21 线性加速度法 nnTTt551. 03 0,21 等效中心差分法 nTt1 第22页/共27页 在 动 力 问 题 研 究 中 ， 常 采 用 = 1 / 2 ，=1/4的所谓无条件稳定的Newmark法，实际上就是平均（常）加速度方法。Newmark-法为单步法，即体系每一时刻运动的计算仅与上一时刻的运动有关，不需要格外处理计算的“起步”问题，属于自起步方法。 第23页/共27页新型预测新型预测-校正积分法校正积分法预测计算校正计算第24页/共27页4.几种方法的特点比较Newmark-法，特别是=1/4的无条件稳定格式得到广泛应用。中心差分法，虽然稳定性略差，但因其所具有的简单、高效的特点也得到一系列的应用。Wilson-法，由于过高的算法阻尼，在实际中的使用越来越少。对于一些特殊的问题，计算精度的要求有时严于或等于稳定性条件，此时，中心差分法将具有更大的优势。第25页/共27页第26页/共27页感谢您的观看。第27页/共27页