考研微分方程知识归纳

-微分方程局部重点容1、变量可别离的微分方程 1形式 或 2通解 或2、齐次方程1形式 或 2通解 令，则，或令，则，3、一阶线性微分方程1形式 2通解4、可降阶的高阶微分方程 1，其中为函数 积分次可得其通解2不显含令，则。于是，原方程可化为一阶设的通解为，即一阶由可得通解3不显含令，则。于是，原方程可化为一阶设的通解为，即一阶由可得通解5、二阶线性微分方程1形式 非齐次 1 齐次 22解的构造定理1 假设为2的两个解，则为2的解。 定理2 假设为2的两个线性无关的解，则为2的通解。线性无关常数。 定理3 假设为1的两个解，则为2的解。定理4 假设为2的解，为1的解，则为1的解。 定理5 假设为2的通解，为1的一个特解解，则1通解为6、二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程为常数的通解：特征方程的判别式，有两相异实根，有两相等实根，有一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程为常数，为函数，称为自由项特解的表示： 1假设其中为次多项式，则可设特解其中为系数待定的次多项式，注意 当即时，也要考虑其是否为特征根！ 2假设或，则可设特解其中为待定常数， 3假设，且为的特解，为的特解，则为的特解特解的可叠加性。7、高于二阶的*些常系数齐次线性微分方程1三阶 特征方程三个相异实根时的通解两个为二重实根，另一个为单实根时通解三个为三重实根时的通解一个为单实根，另两个为共轭复根时的通解2四阶 特征方程四个相异实根时的通解两个为二重实根，另两个也为二重实根时的通解三个为三重实根，另一个为单实根时通解四个为四重实根时通解两个为二重实根，另两个为相异实根时的通解两个为二重实根，另两个为共轭复根时的通解两个为相异实根，另两个为共轭复根时的通解例题选讲例1 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为。2007数学二 解 特征方程 特征根 余函数 设特解 ，代入非齐次方程可得得通解 例2 求微分方程满足初始条件的特解。2007数学二解 可降阶，不显含令，则。于是，原方程可化为变形为 将作为的函数，这点很关键！则即由，得，则有，又由知，应取解得由，得故方程满足初始条件的特解为例3 在以下微分方程中，以为通解的微分方程是 A、 B、C、 D、2021数学二解特征根为特征方程为，故应选D。例4 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且。对任意，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，假设该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式。2021数学二解 由题设，有旋转体侧面面积公式，要记住！即方程两边对求导，得解得，由，得。所以，或。例5设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及所围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。2021数学二解 将微分方程变形为不显含1注意到方程1为关于及的一阶线性微分方程，则于是，有由过原点，得，则。 又由，得，从而所求函数为于是。注意 1 用公式要简便得多！注意 2 可降阶的高阶微分方程07年也考到，07、09都为不显含型。例6 三阶常系数齐次线性微分方程的通解为。2021数学二解 特征方程为因式分解得特征根为通解为注意 与08年类似。例7 设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，且。，求函数。2021数学二解 又，则变形为这是关于及的一阶线性微分方程则由，得，则于是由，得，所以有注意 1 一阶线性微分方程是考试重点注意 2 由参数方程所确定的函数的导数也是考试的重点其中公式可与曲率公式联系起来记。例8 微分方程的特解的形式为 A、 B、C、D、 2021数学二解 特征方程为 特征为单根的特解可设为，的特解可设为于是，应选C。注意 特解的可叠加性例9 微分方程满足条件的解。2021数学二解 由，得，则满足条件的解注意1 应检验是否为的解注意2 进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点例10 设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点外切线的倾角，假设，求的表达式。2021数学二解 由，有，从而又由，得即不显含令，则，从而有即此为关于的可别离变量的微分方程解得或即由，得，。于是此为可别离变量的微分方程解得或由，得，则注意1 利用导数的几何意义建立微分方程注意2 微分方程也不显含，但解法较繁. z.