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一、概念一、概念: :0( )f xx设在 的某个邻域中有定义，并且定义定义 3.73.7。)()(lim00 xfxfxx0( )fxx则称在点连续,的为)(0 xfx连续点。4 4 函数的连续性函数的连续性00( )( ).f xxxf x若在 不连续，也说 是的间断点:用语言000,0,( )().xxf xf x对任意存在当时恒有00( )if xxx( ) 设在 附近有定义，特别是在 有定义；0( )lim( )xxiif x存在； 在在 连续连续( )fx0 x00()lim( )() .xxiiif xf x=定义定义 3.73.7（单侧连续）0( )fxx则称在点左连续；0( )fxx则称在点右连续。,)()(lim00 xfxfxx若,)()(lim00 xfxfxx若定义定义 3.83.8( )( , )f xa b若在开区间上的每一点都连续，( )( , )f xa b则称在开区间上连续。( ) , f xa b则称在闭区间上连续。( )( , )f xa ba若在连续，且在 右连续，b在 左连续，注注: : 在定义域上连续的函数称为连续函数.例例1 1sin(,).yx 证明函数在区间内连续证证(,),x 任取000sinsin2 cossin22xxxxxx0002 sin222xxxxxx00,sinsin.xxxx则当时 有sin(,).yxx 即函数对任意都是连续的:cos(,)yx 同理可证 函数在区间内也连续。取，二、连续函数的四则运算二、连续函数的四则运算设),()(lim),()(lim0000 xgxgxfxfxxxx则),()()()(lim000 xgxfxgxfxx。)0)(,)()()()(lim0000 xgxgxfxgxfxx（1）（这里,为常数）;（2）);()()()(lim000 xgxfxgxfxx（3）三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性定理定理 3.1400000( ),(),( ),( ( )ug xxxg xuyf uuuyf g xxx设函数在点连续且而函数在点连续则复合函数在点也连续。三、不连续点的类型三、不连续点的类型00( )f xxx如果在 点不连续，则称 为不连续点，或称之为间断点。不连续点的分类 第一类不连续点 (跳跃间断点) 0000( ),()(),( )f xxf xf xxf x如果在点处左 右极限都存在但则称点为函数的第一类间断点，或称为00()()( )f xf xf x称为函数的 跃度。 跳跃间断点。 例例: : 符号函数10( )sgn0010 xf xxxx， 当， 当，当1-1x xy yo o 是第一类间断点。0 x点1)0(, 1)0(ff 第二类间断点 00( ),( )f xxxf x如果在点 处的左、右极限至少有一个不存在 则称点 为函数的第二类间断点。oxy, 0)0(f,)0(f0 x 为函数的第二类间断点。, 0, 0,1)(xxxxxf函数 例例: : 1,( )0,xyD xx当 是有理数时当 是无理数时狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R R内每一点处都间断内每一点处都间断, ,且都是第二类间且都是第二类间断点断点. . 可去间断点 000000( ),()(),()( )( )f xxf xf xf xf xxxf x如果在点处左 右极限都存在 且但不等于或在点无定义，则称为函数的可去间断点。例例012,( )11,1,11.xxf xxxxx讨论函数在处的连续性oxy112xy1xy2 解：解：, 2)1 (f, 2)1 (flim( )xf x12( ),f10.x 为函数的可去间断点( ),f11如上例中,( ),f令12,( ),.xxf xxxx201则11在1处连续oxy112初等函数的连续性定理定理3.15 一切初等函数在其定义域上都是连续的.（1） 三角函数.反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性们的连续性。为此我们需要闭区间上连续函数的为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。（2） 指数函数.设一组实数的闭区间序列 ,1,2,nna bn (i)11,1,2,;nnnnaba bnlim()0nnnba定义定义3.103.10满足： (ii)则 构成一个区间套 ,nnab（区间套定理）设 ,nna b是一个区间套， 则必存在唯一的实数r,使得r属于所有闭区间 ,nna b即 1,nnnra b且 limlimnnnnabr定理定理3.163.16证明：证明：用单调有界原理证明区间套定理：定理3.17 连续函数介值定理 若 ( )f x在 ,a b连续， ( )0,( )0f af b则存在 , ca b，使得 ( )0f c 证明： 用区间套定理。记11,aa bb用1112abc二等分11,ab，若1( )0f c，则定理证完。否则，若1( )0f c则取2211, ,abc b1( )0f c；若 则取 2211,abac用 2222abc二等分 22,ab， 如此继续下去， 得一区间套 ,nnab，满足 ()0,()0nnf af b根据区间套定理， 知存在 , ra b，有 limlimnnnnabr由 ( )f x在 r 连续，知 ( )lim()0nnf rf a( )lim()0nnf rf b故 ( )0f r 定理证完。 反函数的连续性反函数的连续性定理定理3.18 3.18 (反函数存在、连续性定理)11( ),( ),( )ffyf x xDxfyyRfy若函数是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数并且也是严格单调增加（减少）的。1( ), , ( ),( )( ) ,yf xa bf af bxfy 设函数在闭区间上连续且严格单调增加，则它的反函数在连续且严格单调增加。（3） 反三角函数.应用反函数连续性定理，继续证明定理应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15。arcsin 1,1.yx故在上也是单调增加且连续arccos 1,1;yx同理在上单调减少且连续反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续. .sin,2 2yx 由于在上单调增加且连续（4） 对数函数.（5） 幂函数.总结总结 初等函数的连续性一切初等函数在其定义域上都是连续的.注：注：一般可用函数的连续性用代入法求极限。5无穷小量与无穷大量的比较一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较（一）无穷小量定义定义 1000,( )0( )xxxxxyf xyf x 若在 的某个变化过程中（），的极限为 ，则称为无穷小量。（二）无穷小量的比较xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限型）型）（00( ), ( ),f x g x设都是无穷小量 高阶无穷小量 0( )lim0( )xxf xg x如果，则称( )( )( )( ),f xg xxf x关于是高阶无穷小量（或g关于是低阶无穷小量）记作0( )( ( ),().f xo g xxx 同阶无穷小量 ( )Axx01 有界量：若0，当 在的某个去心邻域中，成立( ),( )f xAg x( ), ( )f x g x设都是无穷小量。0( ),( )f xxxg x则称当时，是有界量记作0( )( ( ),().f xO g xxx0(2)0Axx：若，当 在的某个去心邻域中，成立同同阶阶无无穷穷小小量量( ),( )f xAg x0( )( )xxf xx则称当时，与g是同阶无穷小量。( )lim0( )( )( )0 xxf xCf xxg x若，则与g是同阶无穷小量。注注： 等价无穷小量 定义定义0( ) ( ),()f xg xxx0( )( ),g( )lim1( )( )( )xxf xf xxg xxxf xx0若都是无穷小量，且，则称当时，与g为等价无穷小量。记为定理定理 1 1limlimlimlimfff gf ggg12112212，。,ffffgg121212若与 均为无穷小量，且则常用的等价无穷小常用的等价无穷小: :0,x 当时).0(1)1 (,21cos1, 1),1ln(arctanarcsintansin2aaxxxxexxxxxxxax32101232112yxsinyxyxtanyx10143211234yxarcsinyx10.500.511.510.50.511.5yxarctanyx21.510.500.511.521.510.50.511.522xy 1 cosyx 21.510.500.511.520.50.511.5yxln(1)yx0.500.511.520.50.511.5（三）无穷小量的阶:( )( )()( )kxxkf xxxxf xk00如果选定作为无穷小量的标准，若存在 ，使得与g同阶，则称为阶无穷小。（四）无穷小量的性质:yA变量 以 为极限(1);yAoyy如 为无穷小量，为有界量，则为无穷小量。问题问题: :,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量，都是无穷小量，不一定不一定 例当例当 时时 x )()(limxfxgx不存在。xxsinlim)(xf和和)(xg不不能能比比较较.故当故当 时时, , x二、无穷大量的比较二、无穷大量的比较（一）无穷大量定义定义 2 2000,( )( )xxxxxyf xyf x 若在 的某个变化过程中（），的极限为（或），则称为无穷大量（或正、负无穷大量）。（二）无穷大量的比较( ), ( ),u x v x设都是无穷大量 高阶无穷大量 0( )lim( )xxu xv x 如果，则称( )( )( )( )u xxv xu x关于是高阶无穷大量（或关于是低阶无穷大量）。 同阶无穷大量 0(1)0Axx：若，当 在 的某个去心邻域中，成立有有界界量量,)()(Axvxu( ), ( )u x v x设都是无穷大量。0( ),( )u xxxv x则称当时，是有界量记作).(),()(0 xxxvOxu0(2)0Axx：若，当 在的某个去心邻域中，成立同同阶阶无无穷穷大大量量,)()(Axvxu0( )( )xxu xv x则称当时，与是同阶无穷大量。( )0( )( )( )u xCu xv xv x若，则与是同阶无穷大量。0 0 x xx x注注：l li im m 等价无穷大量 定义定义)(),()(0 xxxvxu0( )1( )( )( )u xv xxxu xv x0 xx若都是无穷大量，且，则称当时，与为等价无穷大量。记为u u( (x x) ), ,v v( (x x) )l li im m定理定理 2 212121212,ffggffgg若、 、 和 均为无穷大量，且则12112212limlimlimlimfff gf ggg，。内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;3. 极限存在准则:夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则柯西准则4. 函数极限的或X定义及应用5. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理6. 无穷小量与无穷大量的定义7. 无穷小量与函数极限的关系8. 无穷小量与无穷大量的关系0lim,0, )0(C,1,0limCk9. 无穷小量的比较设 , 对同一自变量的变化过程均为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小( ) , ( , ),f xC a ba b设上的连续函数 则在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba习题习题1. 设函数)(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxbln在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .) 1)()(xaxbexfx有第二类间断点0 x及可去间断点, 1x解解:为第二类间断点,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba为可去间断点 ,1x) 1(lim1xxbexx极限存在0)(lim1bexxeebxx1lim2. 设函数试确定常数 a 及 b .3. 求下列极限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx无穷小有界令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin120lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e)(lim12sincos0 xxxxx15. 当0 x时,32xx 是x的几阶无穷小?解解: 设其为x的k阶无穷小,则kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k补充题补充题1. 求.)321 (lim1xxxx解解: 令xxxxf1)321 ()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 (2000考研)证证:3. 证明: 若 令,)(limAxfx对任意,0,0X当Xx 时, 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根据有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM则),(,)(xMxf)(xf在),(内连续,)(limxfx存在, 则)(xf必在),(内有界.)(xfXXA1Myox
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