高数答案第七章

第七章 空间解析几何与向量代数7.1 向量及其线性运算必作题：P300-301：1，3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19.必交题：1、 求点分别关于各坐标面；各坐标轴；坐标原点的对称点的坐标.解：（1） xoy面（a,b,-c）,yoz面（-a,b,c）, xoz面（a,-b,c）; (2）ox轴（a,-b,-c）, oy轴（-a,b,-c）, oz轴（-a,-b,c）; (2）关于原点（-a,-b,-c）。2、 坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置解：xoy面：z=0， yoz面：x=0， xoz面：y=0.ox轴：y=0,z=0， oy轴：x=0,z=0， oz轴：x=0,y=0， A在xoy面上，B在yoz面上， C在x轴上， D在y轴上。3、 在轴上求与点和点等距离的点的坐标.解：设C（0，0，z），有|AC|=|BC|，解得：z=，所求点为(0,0, ).4、 设试用表示解：.5、已知两点和求向量的模，方向余弦和方向角.解：，方向余弦为，方向角，.6、设向量的模方向余弦求解：设，则，所以，7、设有向量它与轴、轴的夹角分别为如果已知求的坐标.解：设的坐标为，所以；，所以，又，所以，解得或，所以的坐标为或者.8、求平行于向量的单位向量.解：，与平行的单位向量为，即为，或者.7.2 数量积 向量积 混合积必作题： P309-310：1，2，3，4，6，7，8，9.必交题：1、已知向量与垂直，向量与平行，求的值.解：，.2、已知向量,分别计算以下各式. ； ； .解： .3、已知，求的面积.解：的面积. 曲面及其方程必作题：P318-319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点等距离，求该动点的轨迹方程.解：设动点，因为，所以，解得动点的轨迹方程为.2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形. ； ； ； ； .解：直线；平面 圆；援助面 双曲线；双曲柱面 抛物线；抛物柱面 原点；坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的. ； .解：坐标面上椭圆绕轴旋转形成，或者坐标面上椭圆绕轴旋转形成。（2）坐标面上绕轴旋转形成，或者坐标面上绕轴旋转形成.4、指出下列方程表示什么曲面 ； ； ； .解： 椭球面 椭圆抛物面 圆锥面 旋转双叶双曲面.5、建立单叶双曲面与平面的交线关于面的投影柱面与投影曲线方程.解：将曲面与平面方程联立，消去变量得到投影柱面，投影曲线为.6、画出下列各曲面所围立体图形. ， ； ， ；， .解：略 空间曲线及其方程必作题：P324-325：3，4，5，6，7，8.必交题：1、下列方程组各表示什么曲线？ ； ； ； ； .解： 直线 椭圆 双曲线 （4） 抛物线 圆2、求由上半球面，柱面及平面所围立体在坐标面和坐标面的投影.解：在平面投影，在平面投影，1、 将曲线的一般方程化为参数方程.解：， 平面及其方程必作题： P329-330：2，4，6，7，8.必交题：1、求满足下面条件的平面方程 过点且与向量垂直; 过点且与二向量，平行; 过点且在三坐标轴上的截距相等且不为零; 过轴，且与平面的夹角为解： ，即 ，所以，即 设平面方程为，过点，所以，即 设平面方程为，解得 或，所以方程为，即，或者，即.2、求两平行平面与之间的距离.解：在上任取一点，距离. 空间直线及其方程必作题：P335-336：1、2、3、4、7、8、11、13、15、16.必交题1、 求过点且与两平面和平行的直线方程.解：方向向量以直线方程为 2、求直线和平面间的夹角.解：，所以3、求点到直线的距离.解：在直线上任取一点，距离第七章总复习必作题: P337-338: 总习题七.必交题: 第七章模拟检测题1、填空题(1) 设与垂直，与垂直，则= . 或(2) 已知，则 在的投影为 ；与同方向的单位向量为 ；的方向余弦为 . 1；，(3) 空间曲线在xOy面上的投影曲线的方程为 . (4) 与两直线及都平行且过原点的平面方程为 . (5) 点关于平面的对称点的坐为 .1、 选择题(1) 设，则向量与的夹角为（ D ）;A B C D(2) 设两直线L1：，L2：，则此两条直线（ A ）;A异面 B相交 C平行 D重合(3) 通过轴且垂直于平面的平面方程为（ B ）;A B. C D(4) 平面与平面的夹角为（ D ）;A B C D(5) 点到直线的距离为（ B ）.A B C D3、计算题(1) 求点A（-1，2，0）在平面上的投影.解：垂涎方程为，令代入平面方程解得，所以，即投影为(2) 设平面过点（0，1，3），且平行于直线，又垂直于已知平面，求此平面方程.解：法线向量，所求平面方程为，即(3) 求直线绕z轴旋转一周所成曲面方程.解：，曲面方程为，即(4) 求以点A（3，2，1）为球心，且与平面相切的球面方程.解：点A到平面的距离，球面方程为.(5) 求空间曲线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：在平面的投影，在平面的投影在平面的投影.4、证明题(1) 证明向量共面.证明：，所以三个向量共面.或者，三个向量线性相关，所以共面. (2)已知两直线方程为，证明直线与相交.证明：直线过点，而该点满足的方程：，且，所以两直线不平行，也就不重合，故两直线相交.