微积分(上)复习资料_概念

.微积分复习资料概念复习步骤1.概念2.公式3.解题格式4.题型知识网络1.函数2.极限3.导数4.导数应用5.微分6.微分中值定理 7.洛必达法则8.不定积分1.函数1.1邻域设有实数a及b,b0。xIIx-aIb,为点a的b邻域,记为Ua,b。若去掉点a,xI0Ix-aIb为a的去心邻域。 a-b a a+b1.2显函数和隐函数明确因变量和自变量,可用y=f表示的函数称为显函数。反之不明确因变量和自变量,不可用y=f表示,即只是表示x于y关系的函数隐函数。Tip: -1,x0取整函数y=x1.3有界性设f在实数集D上有定义。若存在正数M,是对D中的任意x都有IfIM,则称f在D上有界,f是D上的有界函数,M称为f在D上的一个界。若不存在满足上述条件的M,则无界。2.极限2.1数列极限设,常数。若当n,常数,则称该数列收敛于或收敛数列,称为极限。记作或,若没有极限,则称不收敛,或称为发散数列2.2收敛数列性质性质1：收敛数列只有一个极限性质2：有界是收敛数列的必要条件性质3：若数列极限为正或负,则该数列从某一项开始的所有项也为正或负。性质4:若数列收敛于a,则它的子数列也收敛于a。数列的任意一段数列称为子数列2.3函数极限设f为区间D上的函数,A为任意值。若当x,fA,则称是f的极限,记作或fA 定理1的充要条件是定理2的充要条件是总结：极限存在的充要条件是左右极限存在且相等2.4函数极限性质性质1：若存在,则极限是唯一的性质2：若存在,则f在的某去心邻域 有界性质3：若,则存在正数b,当0Ix-I0或推论1若,则存在正数b,当0Ix-I 或推论2若在的某去心邻域内0,且2.5极限存在准则两个重要极限定理1设数列,满足存在正整数,当时,则数列收敛,且设函数f,g,h在的某个邻域内,有,则定理2单调有界数列必有极限。2.6无穷小与无穷大无穷小定义：若,则称为当时的无穷小。无穷小性质：若,为无穷小,则,为无穷小。若为无穷小,为有界函数,则 仍为无穷小。是一个当时的无穷小。无穷大定义：若,则称为当时的无穷大。定理1：在自变量x的同一变化过程中,若为无穷大,则为无穷小；反之若为无穷小,且,则为无穷大。2.7无穷小的比较设f及g是在自变量x的同一变化过程中的无穷小,且。若,则f是比g高阶的无穷小,或g是比f低阶的无穷大,记作；若,则f与g是同阶无穷小,记作。特别地,若,则f与g是等阶无穷小,记作。定理2：设,且存在,则2.8函数连续性定义1设在的某个邻域内有定义,若,则称在连续,并称为的连续点。定义2设在的某个邻域内有定义,若,则称在连续。定义3若定义1中的具体化为或,支持则称在左连续或右连续。定理1在连续的充要条件是其左右极限存在且相等。2.9间断点定义4设在的某个去心邻域内有定义,若在不连续,则称 为的不连续点或间断点。据此,必有下列情况之一：在无定义；在有定义但不存在；在有定义,且存在,但。可去间断点：上述跳跃间断点：在的左右极限存在但不相等可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点,其特点是左右极限都存在,其余间断点则称为第二类间断点,其特点是左右极限至少有一个不存在,如：无穷间断点：的震荡间断点：在时函数值在-1与1之间无限次的变动。2.10连续函数的运算定理2若,在连续,则其四则运算的结果也在连续。定理3如果在连续,在连续,且,则在连续。定理4若在单调连续则在连续。推论1若在连续,则在有界。定理6若在连续,且,则推论2若在连续,且,则至少存在一个,使。推论3在闭区间的连续函数必取得介于其最大值和最小值之间的任何值。3.导数3.1导数概念设在的某个邻域内有定义,若极限,则称在可导,并该极限称为在的导数。若具体化为或,支持则称在左极限或右极限,统称单侧极限。在可导的充要条件是其左右极限存在且相等。3.2导函数若在区间I上的点都可导,则称是在区间I上的导函数,对于在区间I上的每一个对应的导数记作,有时也写成。定理若可导则它一定在连续3.3导数在经济学的应用边际概念：设可导,则导数叫做边际函数。成本函数的导数叫做边际成本；收入函数的导数叫做边际收入；利润函数的导数叫做边际利润。函数的弹性：在经济学,的增量称为函数在x的绝对改变量,导数称为函数在x的绝对变化率。相对改变量之比的极限,表示在x函数y的相对变化率,称为在x的弹性,记作。在经济学,将需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性3.4隐函数和参数方程的导数隐函数：两边分别求导,有时可利用对数求导简化问题。参数方程：设 ,则其导数为。4 导数的应用函数单调性定理1：设函数在闭区间I连续,在开区间I可导。 若在开区间I内,那么在闭区间I单调递增；反之在开区间I内,那么在闭区间I单调递减。定理2.3：设曲线在闭区间I连续,在开区间I可导。若在开区间I内,那么在闭区间I是凹的；反之在开区间I内,那么在闭区间I是凸的。定义：拐点是曲线凹凸部分的分界点。推论：由于拐点是曲线凹凸部分的分界线点,所以在拐点的两侧异号,在拐点处或不存在。函数的极值驻点定义：使的点。定理1：设在处可导,且取得极值,则。定理2：设在处连续,且在的某个去心邻域内可导。若当时,而当时,则在处取得最大值；反之取得最小值。定理3：设在处有二阶导数,且,则当时,在处取得最大值；反之取得最小值。tip：应注意以上都是充分条件,要确定极值还需判断该点的定义。曲率:用来描述曲线弯曲程度,曲率计算公式,直线上任意一点的曲率,半径为a的圆上的任意一点的曲率,参数方程的曲率yNDMsx设在的曲率为,在的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使。以D为圆心,p为半径作圆,该圆叫曲率圆,D叫曲率中心,p叫曲率半径。由此可见,p越大,曲率越小。5 微分定义1：设函数在的某个邻域有定义,对于,若对应能表示成,其中是与无关的常数,则称在可微,并称为在的微分,记为或,即。由定义可见,函数的微分与增量仅相差一个关于的高阶无穷小量,由于是的线性函数,所以当时,也说微分是的线性部分。定理：在可微的充要条件是在可导,并且有如下关系：若在区间I上都可微,则称为I上的可微函数,在I上的任一点的微分记作。它不仅依赖于,而且也依赖于x。特别当y=x时,有,这表示自变量的微分就等于自变量的增量。于是有,。几何意义:y N P M x的图像是一条曲线,当自变量x由变到时对应点M变到N。,过作曲线切线,它的倾斜角为,则,。由此可见,对于可微函数,当是上的点的纵坐标的增量时,就是曲线切线上点的纵坐标的对应增量。当很小事比小得多。因此在的邻近,可以用切线线段来近似代替曲线线段。6微分中值定理6.1罗尔定理若满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3)则在内至少有一点,使得由上面三个条件得在必有一点使tip：罗尔定理的三个条件是充要非必要的。若同时满足三个条件,结论一定成立；反之,若有一个不满足,则不能保证结论一定成立。几何意义：yCABabx6.2拉格朗日中值定理若满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；则在内至少有一点,使得,也可写成,则左端表示开区间内处局部变化率,右端表示闭区间上整体变化的平均变化率。于是该公式反映了两者的关系,所以拉格朗日中值定理是连结局部与整体的纽带。几何意义：B由上述定义得出罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,所以我们可以设想对在作一次变形,使其符合罗尔定理。由于AB的斜率是,故考虑将上的点沿竖直方向逐个下移一个x的线性量,这时端点A不变,端点B移动到,于是变形为。推论1：若在区间I上的导数恒为零,那么在区间I上市一个常数。推论2：若和在区间I上可导,且,在在I上有为某一常数。6.3柯西中值定理设参数方程,若和满足：(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 在内每一处都不为零,则在内至少有一点,使得。表示弦AB的斜率,表示点的斜率。7洛必达法则7.1 式未定式定理1设和满足；在的某个去心邻域内,和都存在,且；存在,则存在,且7.2式未定式定理2设和满足；在的某个去心邻域内,和都存在,且；存在,则存在,且7.3其它类型未定式具体做法：对乘积形式未定式,和差形式未定式,可通过恒等变形成式和式；对幂指形式未定式,则通过取对数方式,化成式和式。取对数方式,详看P1008 不定积分8.1 不定积分概念定义1：设为区间I上的已知函数,若存在 是对于任意的都有或则称是在区间I上的一个原函数。定义2：的所有原函数称为的不定积分,记作。积分号,x称为积分变量,称为被积函数,称为被积表达式,C称为积分常数。8.2不定积分性质性质1或性质2或性质3性质4,可推广到n个函数的和差：8.3换元积分法第一类换元积分法,第二类换元积分法,8.4分部积分法设具有连续函数,根据微分的乘积公式, 即对上式两边积分得.