中职数学-三角函数教案

-三角函数一、任意角1. 角的概念的推广旋转形成角正角与负角0角我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角210，150，660。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。记法：角或 可以简记成。2. 象限角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限3. 终边一样的角 所有与a终边一样的角连同a在内可以构成一个集合。二、弧度制1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad，读做弧度，这种用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制说明：1正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2角 的弧度数的绝对值公式： l 为弧长， r为半径 2. 角度制与弧度制的换算：3602p rad 180p rad 13. 两个公式1弧长公式：由公式： 比公式简单弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的积 2扇形面积公式 其中是扇形弧长，是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：角度030456090120135150180弧度0/6/4/3/22/33/45/6角度210225240270300315330360弧度7/65/44/33/25/37/411/625. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系 任意角的集合 实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设是一个任意角，在的终边上任取异于原点的一点P*，y则P与原点的距离1把比值叫做的正弦 记作： 2把比值叫做的余弦 记作： 3把比值叫做的正切 记作： 上述三个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标*都为0，所以tan无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。三角函数值的定义域： R R2. 三角函数的符号3. 终边一样的角的同一三角函数值相等例如390和330都与30终边位置一样，由三角函数定义可知它们的三角函数值一样，即sin390sin30 cos390cos30sin330sin30cos330cos30诱导公式一其中: 用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题。4. 三角函数的集合表示：例1. 在0到360度范围内，找出与以下各角终边一样的角，并判断它是哪个象限的角例2. 写出终边在y轴上的角的集合用0到360度的角表示例3. 用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为a|k360a0且A1，0 的图象一函数图象的三种变换1. 振幅变换y=Asin*，*RA0且A1的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A倍而得到。A称为振幅物体振动时离开平衡位置的最大距离。2. 周期变换:函数y=sin*，*R0且1的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标变到原来的倍纵坐标不变。决定了函数的周期。3. 相位变换: 函数ysin*，*R其中0的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左当0时或向右当0时平行移动个单位长度而得到。例1.比拟与的大小例2.求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性稳固练习1. 判断正误yAsin*的最大值是A，最小值是AyAsin*的周期是y-3sin4*的振幅是3，最大值为3，最小值是-32. 函数ytana*a0的最小正周期为 3. 函数yAsin*A0，0，02图象的一个最高点是2，由这个最高点到相邻最低点的图象与*轴交于点6，0，试求函数的解析式。4. 如图，*地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin*+B。1求这段时间的最大温差； 2写出这段曲线的函数解析式。八、两角和与差的余弦设向量所以又所以 以-b代b得：两角和与差的余弦公式:九、两角和与差的正弦sin(a+b)cos-(a+b)cos(-a)-bcos(-a)cosb+sin(-a)sinbsinacosb+cosasinb即： Sa+b以-b代b得： Sa-b两角和与差的正弦公式十、两角和与差的正切tan(a+b)公式的推导cos (a+b)0tan(a+b)当cosacosb0时,分子分母同时除以cosacosb得：以-b代b得：其中都不等于两角和与差的正切公式l 小结：两角和与差的正、余弦、正切公式例1. 计算 cos105cos15coscos-sinsin例2. sin(a+b),sin(a-b)求的值稳固练习1. ，求函数的值域2. 求的值十一、二倍角公式的推导在公式，中，当时，得到相应的一组公式：；因为，所以公式可以变形为或公式，统称为二倍角的三角函数公式，简称为二倍角公式。二倍角公式注意：1二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。2二倍角公式为仅限于是的二倍的形式，尤其是倍角的意义是相对的。 3二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式。4熟悉倍角与二次的关系升角降次，降角升次5特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用。几个三角恒等式1、积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a-b) 2sinacosb sinacosbsin(a + b) + sin(a-b)sin(a + b) - sin(a-b) 2cosasinb cosasinbsin(a + b) - sin(a-b)cos(a + b) + cos(a-b) 2cosacosb cosacosbcos(a + b) + cos(a-b)cos(a + b) - cos(a-b) - 2sinasinb sinasinb-cos(a + b) - cos(a-b)2、和差化积公式的推导假设令a + b q，a-b ，则， 代入得：例1. ，求sin2a，cos2a，tan2a的值。例2. 求sin10sin30sin50sin70的值。例3. 假设270360，则等于 A. sin B. cos C. sinD. cos稳固练习1、不查表，求以下各式的值12、 求值：cos280sin250sin190cos320 3、化简：cos20cos40cos804、化简以下各式：可直接写答案1232sin2157.5- 1 4课后作业一、选择题1、的值为 A、 B、 C、 D、2、假设，则2*在 A、第一、二象限 B、第三、四象限 C、第二、三象限 D、第二、四象限3、在中，则B为 A450 B、600 C、600或1200 D 450 或13504、为锐角，则为 A、450 B、1350 C、2250 D、450或13505、则为 A、48B、24C、D、6、在中，则这个三角形为 A、直角三角形 B、锐角三角形 C等腰三角形 D等边三角形、7、以下与相等的是 A、 B、 C、 D、8、在中，假设则一定为 A直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定10、假设，则为 A、 1 B、C、 D、二、填空题11、=12、在ABC中，则13、在中，的面积为14在度 15、在ABC中，则C= 。16、，则17、 则的最大值为18、在中，则则内角B =19、直线，则直线绕着它与轴的交点旋转45后的直线的斜率为20、计算=三、解以下各题21计算22、，求：的值23、在ABC中，A=，AC=1，ABC的面积为，求BC边的长24、假设为第一象限角 求的值25 假设角的终边经过点P-3，4，求和+的值26、在ABC中，：，ABC的面积为，求的长27 在中，角A、C、B成等差数列，求：6分(1)的长；(2)的面积. z.