2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律法

2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律法观察、搜集已知事实，从中发现具有规律性的线索，用以探索未知事件的奥秘，是人类智力活动的主要内容。数学上有很多材料可用以来模拟这种活动、培养学生这方面的能力。例1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？12345，23451，34512，45123，解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项。1005=20。可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第100项是51234。例2 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里？解：仔细观察，你会发现：分给小明的牌子号码是1，5，9，13，号码除以4余1；分给小英的牌子号码是2，6，10，14，号码除以4余2；分给小方的牌子号码是3，7，11，号码除以4余3；分给小军的牌子号码是4，8，12，号码除以4余0（整除）。因此，试用4除73看看余几？734=18余 1可见73号牌会落到小明的手里。这就是运用了如下的规律：用这种规律预测第几号牌子发给谁，是很容易的，请同学们自己再试一试。例3 四个小动物换位，开始小鼠、小猴、小兔和小猫分别坐在1、2、3、4号位子上（如下图所示）。第一次它们上下两排换位，第二次左右换位，第三次又上下交换，第四次左右交换。这样一直交换下去，问十次换位后，小兔坐在第几号座位上？解：为了能找出变化规律，再接着写出几次换位情况，见下图。盯住小兔的位置进行观察：第一次换位后，它到了第1号位；第二次换位后，它到了第2号位；第三次换位后，它到了第4号位；第四次换位后，它到了第3号位；第五次换位后，它又到了第1号位；可以发现，每经过四次换位后，小兔又回到了原来的位置，利用这个规律以及104=2余2，可知：第十次换位后，小兔的座位同第二次换位后的位置一样，即在第二号位。如果再仔细地把换位图连续起来研究研究，可以发现，随着一次次地交换，小兔的座位按顺时针旋转，小鼠的座位按逆时针旋转，小猴的座位按顺时针旋转，小猫的座位按逆时针旋转，按这个规律也可以预测任何小动物在交换几次后的座位。例4 从1开始，每隔两个数写出一个数，得到一列数，求这列数的第100个数是多少？1，4，7，10，13，解：不难看出，这是一个等差数列，它的后一项都比相邻的前一项大3，即公差=3，还可以发现：第2项等于第1项加1个公差即4=1+13。第3项等于第1项加2个公差即7=1+23。第4项等于第1项加3个公差即10=1+33。第5项等于第1项加4个公差即13=1+43。可见第n项等于第1项加（n-1）个公差，即按这个规律，可求出：第100项=1+（100-1）3=1+993=298。例5 画图游戏先画第一代，一个，再画第二代，在下面画出两条线段，在一条线段的末端又画一个，在另一条的末端画一个；画第三代，在第二代的下面又画出两条线段，一条末端画，另一条末端画；而在第二代的的下面画一条线，线的末端再画一个；一直照此画下去（见下图），问第十次的和共有多少个？解：按着画图规则继续画出几代，以便于观察，以期从中找出图形的生成规律，见下图。数一数，各代的图形（包括和）的个数列成下表：可以发现各代图形个数组成一个数列，这个数列的生成规律是，从第三项起每一项都是前面两项之和。按此规律接着把数列写下去，可得出第十代的和共有89个（见下表）：这就是著名的裴波那契数列。裴波那契是意大利的数学家，他生活在距今大约七百多年以前的时代。例6 如下图所示，5个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下、小的在上的次序套在木桩上构成了一座圆盘塔。现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上。规定移动时要遵守一个条件，每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘。假如还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用。问把这5个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次？（下图所示）解：先从最简单情形试起。当仅有一个圆盘时，显然只需搬动一次（见下页图）。当有两个圆盘时，只需搬动3次（见下图）。当有三个圆盘时，需要搬动7次（见下页图）。总结，找规律：当仅有一个圆盘时，只需搬1次。当有两个圆盘，上面的小圆盘先要搬到临时桩上，等大圆盘搬到中间桩后，小圆盘还得再搬回来到大圆盘上。所以小的要搬两次，下面的大盘要搬1次。这样搬到两个圆盘需3次。当有三个圆盘时，必须先要把上面的两个小的圆盘搬到临时桩上，见上图中的（1）（3）。由前面可知，这需要搬动3次。然后把最下层的最大圆盘搬一次到中间桩上，见图（4），之后再把上面的两个搬到中间桩上，这又需搬3次，见图中（5）（7）。所以共搬动23+1=7次。推论，当有4个圆盘时，就需要先把上面的3个圆盘搬到临时桩上，需要7次，然后把下面的大圆盘搬到中间桩上（1次），之后再把临时桩上的3个圆盘搬到中间桩上，这又需要7次，所以共需搬动27+1=15次。可见当有5个圆盘时，要把它按规定搬到中间桩上去共需要：215+1=31次。这样也可以写出一个一般的公式（叫递推公式）对于有更多圆盘的情况可由这个公式算出来。进一步进行考察，并联想到另一个数列：若把n个圆盘搬动的次数写成an，把两个表对照后，可得出 有了这个公式后直接把圆盘数代入计算就行了，不必再像前一个公式那样进行递推了。附送：2021-2022年二年级数学 奥数讲座 找规律（一）例1 观察下面由点组成的图形（点群），请回答：（1）方框内的点群包含多少个点？（2）第（10）个点群中包含多少个点？（3）前十个点群中，所有点的总数是多少？解：数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：1，4，7，10。可见，这是一个等差数列，在每相邻的两个数中，后一个数都比前一个数大3（即公差是3）。（1）因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是10+3=13（个）。（2）列表，依次写出各点群的点数，可知第（10）个点群包含有28个点。（3）前十个点群，所有点的总数是：1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）例2 图62表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的。仔细观察后，请你回答：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？（3） 从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少个小三角形？解：（1）数一数“宝塔”每层包含的小三角形数：可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层应包含的小三角形是9个。（2）整个五层塔共包含的小三角形个数是：1+3+5+7+9=25（个）。（3）每个“宝塔”所包含的小三角形数可列表如下：由此发现从第（1）到第（10）共十个“宝塔”所包含的小三角形数是从1开始的自然数平方数列前十项之和：例3 下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”。仔细观察后，请你回答：（1）从上往下数，第五层包含几块砖？（2）整个五层的“宝塔”共包含多少块砖？（3）若另有一座这样的十层宝塔，共包含多少块砖？解：（1）数一数，“宝塔”每层包含的方砖块数：可见各层的方砖块数组成自然数平方数列，按此规律，第五层应包含的方砖块数是：55=25（块）。（2）整个五层“宝塔”共包含的方砖块数应是从1开始的前五个自然数的平方数相加之和，即：1+4+9+16+25=55（块）。（3）根据上面得到的规律，可求出十层宝塔所包含的方砖的块数：