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课时训练(十五)二次函数的综合应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积为()A.25 cm2B.50 cm2C.100 cm2D.不确定2.如图K15-1,在ABC中,B=90,AB=6 cm,BC=12 cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过多少秒时,四边形APQC的面积最小?()图K15-1A.1B.2C.3D.43.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点,点P在该函数的图象上运动,能使PMN的面积等于12的点P共有个.4.2018长春如图K15-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A恰好落在抛物线上.过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C.若点A的横坐标为1,则AC的长为.图K15-25.2019长春 如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+83(a0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为.图K15-36.已知:如图K15-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点P为抛物线对称轴上一点,连接OA,OP.当OAOP时,求P点的坐标.图K15-47.已知边长为4的正方形CDEF截去一个角后成为五边形ABCDE(如图K15-5),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积,求此时PM的长.图K15-58.如图K15-6,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发.(1)经过多长时间,PBQ的面积等于8 cm2?(2)经过多长时间,五边形APQCD的面积最小,最小值是多少?图K15-6|拓展提升|9.如图K15-7,抛物线m:y=ax2+b(a0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形,则a,b应满足的关系式为()图K15-7A.ab=-2B.ab=-3C.ab=-4D.ab=-510.如图K15-8,在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=ax2上,P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,则n=(用含a的代数式表示).图K15-811.2019临沂在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A,B.(1)求a,b满足的关系式及c的值.(2)当x0时,若y=ax2+bx+c(a0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围.(3)如图K15-9,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-9【参考答案】1.B解析设一条直角边为x cm,则另一条直角边长为(20-x)cm,直角三角形的面积S=12x(20-x)=-12(x-10)2+50.-120,当x=10时,S最大=50 cm2.故选B.2.C解析设P,Q同时出发后经过的时间为t s,四边形APQC的面积为S cm2,则有:S=SABC-SPBQ=12126-12(6-t)2t=t2-6t+36=(t-3)2+27.当t=3 s时,S取得最小值.故选C.3.4解析二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,设P点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,SPMN=12=12MN|y|,可得y1=12,y2=-12.当y=12时,x=862;当y=-12时,x=822,所以共有四个点.4.3解析如图,设AC与y轴交于点D.点A与点A关于点B对称,AB=AB.又ACx轴,ADB=AOB=90,DAB=OAB,ABOABD,AO=AD,点A的横坐标为1,AD=AO=1,点A坐标为(-1,0).把(-1,0)代入抛物线解析式y=x2+mx,得m=1,抛物线解析式为y=x2+x,点A坐标为(1,2).令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,AC=1-(-2)=3.5.2解析在y=ax2-2ax+83中,令x=0,可得y=83,点A的坐标为0,83,y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a,点M的坐标为2,83,抛物线的顶点P的坐标为1,83-a,直线OP的解析式为y=83-ax,令y=83,可得x=88-3a,点B的坐标为88-3a,83.M为线段AB的中点,88-3a=4,解得a=2.6.解:抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,-12a=2,a=-14,抛物线的表达式为:y=-14x2+x,顶点A的坐标为(2,1),设对称轴与x轴的交点为E.如图,在直角三角形AOE和直角三角形POE中,tanOAE=OEAE,tanEOP=PEOE,OAOP,OAE=EOP,OEAE=PEOE,AE=1,OE=2,21=PE2,解得PE=4,P(2,-4).7.解:设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,则矩形PNDM的面积S=xy(2x4),易知CN=4-x,EM=4-y,作BQNP于Q,则有BQ=CN,PQ=NP-BC,且有NP-BCCN=BFAF,即y-34-x=12,y=-12x+5,S=xy=-12x2+5x(2x4),此二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=5,当x5时,S随x的增大而增大.2x4,当x=4,即PM=4时,S有最大值.8.解:(1)设运动时间为t秒,则PB=6-t,BQ=2t,则SPBQ=12PBBQ=12(6-t)2t=8,解得t=2或t=4,故经过2秒或4秒时,PBQ的面积等于8 cm2.(2)SPBQ=12PBBQ=12(6-t)2t=-t2+6t.当t=-b2a=3时,SPBQ最大=-364(-1)=9,故S五边形APQCD最小=S矩形ABCD-SPBQ最大=612-9=63(cm2).故当t=3秒时,五边形APQCD的面积最小,最小值是63 cm2.9.B解析令x=0,得y=b.C(0,b).令y=0,得ax2+b=0,x=-ba,A-ba,0,B-ba,0,AB=2-ba,BC=OC2+OB2=b2-ba.要使四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,2-ba=b2-ba,4-ba=b2-ba,ab=-3.a,b应满足关系式ab=-3.故选B.10.14a解析如图,连接PF.设P与直线y=-n相切于点E,连接PE.则PEAE.动点P在抛物线y=ax2上,设P(m,am2).P恒过点F(0,n),PF=PE,即m2+(am2-n)2=am2+n.n=14a.11.分析 (1)求出点A,B的坐标,即可求解;(2)当x0时,若y=ax2+bx+c(a0)的函数值随x的增大而增大,则函数图象的对称轴x=-b2a0,由(1)知b=2a+1,即-2a+12a0,求解即可;(3)假设存在符合题意的是P.过点P作直线lAB,作PQy轴交BA于点Q,作PHAB于点H,易求QPH=45,SPAB=12ABPH=1222PQ22=1,则|yP-yQ|=1,即可求解.解:(1)根据直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2),将B(0,2)的坐标代入y=ax2+bx+c,得c=2,则函数表达式为:y=ax2+bx+2,将点A坐标代入上式得4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1.(2)当x0时,若y=ax2+bx+c(aa-12,故a的取值范围为:-12a0.(3)当a=-1时,二次函数表达式为:y=-x2-x+2,假设存在符合题意的点P,过点P作直线lAB,作PQy轴交BA于点Q,作PHAB于点H,A(-2,0),B(0,2),OA=OB,AB=22,BAO=45,PQH=45,SPAB=12ABPH=1222PQ22=1,解得PQ=1,则yP-yQ=1,在直线AB下方作直线m,使直线m和l与直线AB等距离,则直线m与抛物线的两个交点分别与点A,B组成的三角形的面积也为1,故|yP-yQ|=1,设点P(m,-m2-m+2),则点Q(m,m+2),-m2-m+2-m-2=1,解得:m=-1或-12,故点P的坐标为(-1,2)或(-1+2,2)或(-1-2,-2).9
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