大学物理振动哈尔滨工程大学孙秋华学习教案

会计学1大学物理振动大学物理振动(zhndng)哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学孙秋华孙秋华第一页，共36页。弹簧振子:质量忽略不计的弹簧与质点构成的系统(xtng)。 即：将惯性集中在质点上，将弹性集中在弹簧上。kl0 xmoAA00Fx 在无阻尼情况下弹簧振子的运动一、 简谐振动(zhndng)动力学方程与振动(zhndng)方程第1页/共35页第二页，共36页。makxFxtx222ddmk2令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo第2页/共35页第三页，共36页。tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos(2tAa第3页/共35页第四页，共36页。二、 描述(mio sh)简谐振动的物理量)cos(tAx1. 振幅(zhnf)maxxA 2. 周期(zhuq)、频率kmT2弹簧振子周期2T 周期21T 频率T22 圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意tx图AAxT2Tto第4页/共35页第五页，共36页。2）相位在 内变化，质点无相同的运动状态； 1） 存在一一对应的关系;),(vxt203. 相位t相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性）) (2nn( 取 或 )3）初相位 描述质点初始时刻的运动状态. ) 0( t20简谐运动中，x和v 间不存在一一对应的关系.tx图AAxT2Ttovvv)sin(tAv)cos(tAx第5页/共35页第六页，共36页。22020vxA00tanxv000vv xxt初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动(zhndng)系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAx三、 由初始条件决定(judng)振幅和初相第6页/共35页第七页，共36页。cos0A2 0sin0Av2 0sin取0, 0, 0vxt已知 求讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto第7页/共35页第八页，共36页。1. 1.2 谐振子运动(yndng)的旋转矢量描述 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax 当 时0t0 x第8页/共35页第九页，共36页。 以 为原点旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAtt t)cos(tAx时第9页/共35页第十页，共36页。)cos(tAx 旋转矢量 的端点在 轴上的投影点的运动为简谐运动.xA第10页/共35页第十一页，共36页。)2 cos(tAv)cos(2tAaAmv2nAa 2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa第11页/共35页第十二页，共36页。（旋转矢量旋转一周(y zhu)所需的时间）用旋转矢量图画简谐运动的 图tx第12页/共35页第十三页，共36页。讨论 相位差：表示(biosh)两个相位之差 . 1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12tttAAx2AtoabxAA0at3 TTt6123v2Abt第13页/共35页第十四页，共36页。2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上 的差异(chy).（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt120 xto同步xto为其它超前落后txo反相第14页/共35页第十五页，共36页。例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数 ，物体的质量m=20g.(1)把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放， 求简谐运动方程;(2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度;(3)如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右 的初速度 ，求其运动方程. 1mN72. 0k10sm30. 0v m/ xo0.05第15页/共35页第十六页，共36页。ox解（1）11s0 . 6kg02. 0mN72. 0mkm05. 0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0 . 6cos()m05. 0(1t第16页/共35页第十七页，共36页。解 )cos(tAx)cos( tA21)cos(Axt3 5 3或t3ttAsinv1sm26. 0由旋转矢量图可知oxA2AA（负号表示速度沿ox轴负方向） （2）求物体从初位置运动到第一次经过(jnggu)A/2处时的速度；第17页/共35页第十八页，共36页。解 m0707. 022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4由旋转矢量图可知)cos(tAx4)s0 . 6cos()m0707. 0(1t4(3)如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右 的初速度 ，求其运动方程. 10sm30. 0v第18页/共35页第十九页，共36页。1.1.3 无阻尼自由(zyu)振动实例mgook以挂上m后新平衡位置为坐标原点O,向下(xin xi)为正方向一、 竖直弹簧(tnhung)振子在x处22)(dtxdmmaxookmg化简得022xmkdtxd满足简谐振动的动力学方程在ox系中，微分方程为：gxmkdtxd22第19页/共35页第二十页，共36页。二、 单 摆则在角位移很小的时候，单摆(dn bi)的振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：glTlg2200022lgdtd当 时sinsin222mgldtdmlgmflm+-第20页/共35页第二十一页，共36页。22sindtdJJmghJ为m绕O点转动(zhun dng)的转动(zhun dng)惯量。三、 复 摆（物理(wl)摆）可见，复摆的运动也满足谐振动方程。且其圆频率(pnl)与周期为 COmghOC mghJT2Jmgh0022Jmghdtd当 时sin第21页/共35页第二十二页，共36页。简谐振动的判断式平动 转动BMkxF合合2222dtdJJMdtxdmmaF合合00222222dtdxdtxdJBmk22)cos()cos(00ttAx第22页/共35页第二十三页，共36页。1.1.4 简谐振动(zhndng)的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐运动的系统(xtng)机械能守恒 以弹簧(tnhung)振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）第23页/共35页第二十四页，共36页。简 谐 运 动 能 量 图221kAE 0tAxcostAsinv4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21txtvv, xtoT第24页/共35页第二十五页，共36页。简谐运动势能曲线简谐运动(jin xi yn dn)能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO第25页/共35页第二十六页，共36页。能量守恒简谐运动方程推导常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx第26页/共35页第二十七页，共36页。例1 一质点沿x 轴作简谐振动(zhndng)，其圆频率为 =10rad/s，试分别写出以下两种初始状态下的振动(zhndng)方程。(1) t =0时，x0=7.5cm, v0=75.0cm/s;(2) t =0时，x0=7.5cm, v0=-75.0cm/s。第27页/共35页第二十八页，共36页。解：两种情况在旋转矢量图中处于对称的位置(wi zhi)， 其振幅相同，均为:)m(106. 0)101075()105 . 7(222222020vxA其振动方程为)m)(10cos(106.0)(ttx两种情况下的初始(ch sh)位相分别满足11075105 . 710tan2200vx（1）第28页/共35页第二十九页，共36页。O A x 21且由x00, v00, 得 1在第四象限(xingxin)，且1 = -/4)m)(410cos(106. 0)(1ttx同理，对(2)中的初始条件有且由x00, v00, 得2在第一(dy)象限，且 2=/4)m)(410cos(106. 0)(2ttx第29页/共35页第三十页，共36页。例2 有一沿 x 轴方向运动的弹簧振子，振子相邻两次通过- A/2处所经历的时间为1/150秒。令第一次通过该点作初始(ch sh)时刻，第二次通过该点时，运动方向与 x 轴正方向一致，振子通过平衡位置时的 vmax =10 m/s。求：该振子的振动方程。第30页/共35页第三十一页，共36页。 解：如图所示，由旋转(xunzhun)矢量法可知：32010015032t10. 0maxAAv)32100cos(10. 0tx振动方程为：xO0-A/2第31页/共35页第三十二页，共36页。例3 倔强系数(xsh)分别为k1、k2的两根弹簧 和质量为m的物体相连（如图），求该系统的振动周期。 k1 m k2 x1 x2第32页/共35页第三十三页，共36页。解： 设在平衡状态(zhungti)下，两弹簧的伸长量分别 为x1和x2，则 k1x1=k2x2 。 以平衡位置为原点，向右为x轴正方向，得 k1 m k2 x1 x x2 x O222211)()(dtxdmmaxxkxxk第33页/共35页第三十四页，共36页。化简得：02122xmkkdtxd则该系统(xtng)的固有角频率为：mkk210振动周期为：21022kkmT第34页/共35页第三十五页，共36页。NoImage内容(nirng)总结会计学。弹簧振子:质量忽略不计的弹簧与质点构成的系统。即：将惯性集中在质点上，将弹性集中在弹簧上。第1页/共35页。第2页/共35页。对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.。（旋转矢量旋转一周所需的时间）。（2）求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度。1.1.3 无阻尼自由振动实例。以挂上m后新平衡位置为坐标原点O,向下(xin xi)为正方向。1.1.4 简谐振动的能量。振动周期为：第三十六页，共36页。