福建师范大学22春《近世代数》离线作业二及答案参考25

福建师范大学22春近世代数离线作业二及答案参考1. 奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )奥数题中，看似很吓人的算式，其实很简单。( )正确答案：2. 设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积设证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积证 由于 若c0，将A的第2行乘以加到第1行，得 再将第1行乘以-c加到第2行，得 再将第1列乘以加到第2列，得 即 所以 若c=0，a0，那么将第1行加到第2行即化为前一种情况，同样可证明要证的结论 3. 二次积分02dyy4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是_。二次积分02dyy4-yf(x，y)dx改变成先y后x的积分是_。02dx02f(x，y)dy+24dx04-xf(x，y)dy4. 试证明： 设是非空开集，r00若对任意的xG，作闭球，则是开集试证明：设是非空开集，r00若对任意的xG，作闭球，则是开集证明 设x0A，则存在xG，使得.注意到G是开集，故存在0，使得再取xB(x，)且xx以及|x-x0|r0，从而有.由此易知，存在00，使得，即A是开集5. 曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为_。曲线y=x2与x=y2所围图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积为_。6. 函数2(e2x-e-2x)的原函数有( ) A(ex+e-x)2 B(ex-e-x)2 Cex+e-x D4(e2x+e-2x)函数2(e2x-e-2x)的原函数有()A(ex+e-x)2B(ex-e-x)2Cex+e-xD4(e2x+e-2x)AB用求导的方法，可以验证A，B正确7. 设函数f(x)可导，且f&39;(3)=2，求设函数f(x)可导，且f(3)=2，求 8. 设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7设f=(f1,f2)-1，其中f1(x1，x2，x3，y1，y2)=2ey1+x1y2-4x2+3，f2(x1，x2，x3，y1，y2)=y2cosy1-6y1+2x1-x3，x0=(3，2，7)T，y0=(0，1)T。求由向量方程f(x，y)=0所确定的隐函数y=g(x)在x0处的导数，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2)T由于题中的向量方程f(x，y)=0是由两个五元方程f1(x1，x2，x3，y1，y2)=0与f2(x1，x2，x3，y1，y2)=0构成的方程组，其中的5个变量是x1，x2，x3，y1，y2，因此能确定两个三元函数。由题意，它们就是y1=g1(x1，x2，x3)，y2=g2(x1，x2，x3)。容易验证，f1与2满足隐函数存在定理的条件(1)，(2)(读者自 所以能在(x0，y0)T的某邻域内唯一确定两个单值的有连续偏导数的三元函数y1=g1(x1，x1，x3)与y2=g2(x1，x2，x3)，也就是以g1与g2为分量的向量值函数y=g(x)，要求的导数就是g在x0处的Jocobi矩阵 9. f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )f和g在点x0连续，若f(x0)g(x0)，则存在U(x0,)，使在其内有f(x)g(x)。( )正确答案： 10. 设X=0，12，3，(x，y)=|x-y|，其中x，yX，判断： (1)X是否完备? (2)X是否可分? (3)X是否完全有界? (4)设X=0，12，3，(x，y)=|x-y|，其中x，yX，判断：(1)X是否完备?(2)X是否可分?(3)X是否完全有界?(4)X是否是紧空间?(1)X是完备的。因为0，1和2，3，分别是R1的两个闭子空间，故X在R1中是闭的，所以X是完备的。 (2)X是可分的。因为0，1中的有理点全体与2，3，的并在X中稠密。 (3)X不是完全有界的因为完全有界集必须有界，而x是无界的。 (4)X不是紧的。因为紧集必须是完全有界的，但由本题(3)的回答知X不是完全有界的。 11. 向量组1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，24，t+9)线性相关，则t=_向量组1=(1，0，2，3)，a2=(1，1，3，5)，a3=(1，一1，t+2，1)，ad=(1，24，t+9)线性相关，则t=_正确答案：一1或一2【解法一】(t+1)(t+2)，t=一l或t=一2时行列式为0【解法二】当t=一1或t=一2时，RB=34，即1，2，3，4线性相关12. 设汞的密度与温度的关系为=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：)时，汞的设汞的密度与温度的关系为=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：)时，汞的密度分别为13. 60、13. 57、13.55、13.52(单位：t/m3)请估计当温度为15时，汞的密度为多少13.56t/m313. 设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_ (A)f(x)必有间断点设f(x)和(x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则_(A)f(x)必有间断点(B)(x)2必有间断点(C)f(x)必有间断点(D)必有间断点D解法1 反证法若没有间断点，即在(-，+)内连续，又因为f(x)连续，则由连续函数的运算法则知：f(x)=(x)也在(-，+)内连续这与题设(x)有间断点矛盾，故必有间断点 解法2 排除法令，f(x)=x2，(x)，f(x)符合题设但 f(x)=1在(-，+)内没有间断点，即(A)不正确； (x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(B)不正确； f(x)=(x)2=1在(-，+)内没有间断点，即(C)不正确 故应选(D) 14. 设随机变量X的概率密度为，求常数A，B应满足的条件设随机变量X的概率密度为，求常数A，B应满足的条件15. 某厂生产一种熔丝，规定熔丝熔化时间的方差不能超过400今从一批产品中抽取25个，测得其熔化时间的方差为388.某厂生产一种熔丝，规定熔丝熔化时间的方差不能超过400今从一批产品中抽取25个，测得其熔化时间的方差为388.58设熔化时间服从正态分布，根据所给数据，检查这批产品的方差是否符合要求(=0.05)设熔丝熔化时间为X，则XN(u，2)，依题意有n=25，s2=388.58 待检假设H0：202=400，H1：202=400 检验统计量，得拒绝域为 22(n-1)=0.052(24)=36.415. 由于22(n-1)，故接受H0，即这批产品的方差符合要求 16. 设某公司所属的两个分店的月营业额分别服从N(ui，2)，i=1，2先从第一分店抽取了容量为40的样本，求得平均月营设某公司所属的两个分店的月营业额分别服从N(ui，2)，i=1，2先从第一分店抽取了容量为40的样本，求得平均月营业额为样本标准差为s1*=64.8万元；第二分店抽取了容量为30的样本，求得平均月营业额为，样本标准差为s2*=62.2万元试求u1-u2的双侧0.95置信估计答案：由给出的数据得：17. 一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘一个mn的棋盘只有白色与黑色两种方格，其中m和n都是奇数。如果黑色方格比白色方格多一个方格，试证明：当棋盘上恰有一个黑方格禁止放子，那么该棋盘有一个用多米诺牌的完美覆盖。设禁止放子的黑方格位于第i行第j列上。下面分别就i与j的不同奇偶性情况进行讨论。 (1)i与j同为偶数或同为奇数。此时，将棋盘划分为如图7.14所示的区域A1(为i(j-1)的区域)、区域A2(为(m-i)j的区域)、区域A3(为(i-1)(n-j+1)的区域)、区域A4(为(m-i+1)(n-j)的区域)以及禁止放子的黑方格(图中阴影部分)。由于A1，A2，A3与A4无论i与j同为偶数还是同为奇数，总有偶数边长，故可知，它们都有完美覆盖。 (2)i与j为一奇一偶。此时，如果不要求白格与黑格的位置，则不一定存在完美覆盖，如在图7.15中，第1行中第2格是禁止放子的黑格。如果要求棋盘行和列之间都是黑白格相间，则i与j的一奇一偶情况不会出现。事实上，不妨设i为奇，j为偶。由于黑格比白格多一个，故第1行上第1个格是黑格。则第i行第1个格是黑格，从而第i行上只有偶数列上方格是白格。 18. 求两条相交直线，的交角的平分线方程。求两条相交直线，的交角的平分线方程。与19. 证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交，从而 N=BT=(cost，sint，0)。故N与z轴垂直 即主法线与z轴垂直，且螺线上任一点r(t)处的主法线方程为=()=r(t)+N(t)=(acost，asint，bt)+(cost，sint，0)。显然z轴上的点(0，0，bt)=(-a)在主法线上，故主法线与z轴垂直相交，交点为(-a)。 20. 设an,bn二收敛级数中至少有一个为绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+anb0，则cn必收敛，且 墨吞斯设an,bn二收敛级数中至少有一个为绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+anb0，则cn必收敛，且墨吞斯可假定bn为绝对收敛于是根据假设便有 置n=|b0|+|b1|+|bn|，n=c0+c1+cn则 n=(a0+a1+a2+an)(b0+b1+b2+bn)-b1an- b2(an+an-1)-b3(an+an-1+an-2)-bn(an+an-1+a1)=snsn-b1(sn-sn1)-b2(sn-sn-2)-bn(sn-s0) 故 现在的情况很明白，由于 故对于任意给定的0，总可选取n，m以及n-m都充分地大，使得 |n-ss|snsn-ss|+(m-0)-A，此处A=max|sn-sn-j|(m+1jn)又|snsn-ss|亦可使之小于所设由于为任意而A及m均系有界，故得|n-ss|0 21. 设z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，试讨论f(x，y)在(0，0)点的极值。设z=f(x，y)在点(0，0)处连续，且，试讨论f(x，y)在(0，0)点的极值。由知，其中 则 f(x，y) =xy+(x2+y2)2+(x，y)(x2+y2)2， 在f(x，y)=xy+(x2+y2)2+(x，y)(x2+y2)2中令y=x得f(x，x)=x2+4x4+4x4(x，y)=x2+o(x2)， 令y=-x得f(x，-x)=-x2+4x4+4x4(x，-x)=-x2+o(x2) 由以上两式可知f(x，y)在(0，0)点的任何去心邻域内始终可正可负，而f(0，0)=0，由极值的定义知(0，0)点不是f(x，y)的极值点。 22. 一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)一个面包店有6种不同类型的糕点，这些糕点以每打12个为单位向外出售。假如你有很多钱，你能买多少打(装配成的)不同的糕点?如果在每打中每种糕点至少1个，你又能买到多少打不同的糕点?假设面包店每种糕点都有很多(每种至少12个)。由于每打中的糕点顺序与购买者无关，故为组合问题，则能买到不同糕点打数即为6种类型的多重集(无穷重数)的12-组合数，其值为 如果每打中每种类型糕点至少出现一次，则12-组合数是力程 x1+x2+x6=12 xi1 i=1，2，6 的整数解个数。作变量代换 yi=xi-1 i=1，2，6 则方程变为 y1+y2+y6=6 yi0 i=1，2，6 这个方程的非负整数解个数为 23. 求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?求矩阵A特征值的QR迭代时，具体收敛到哪种矩阵是由A的哪种性质决定的?设ARnn，且A有完备的特征向量组如果A的等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则由QR算法产生的Ak本质收敛于分块上三角矩阵(对角块为一阶和二阶子块)且对角块中每一个22子块给出A的一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出A的实特征值，即 其中m+2l=n，BI(i=1，2，l)为22子块，它给出A的一对共轭特征值 24. 求使直线0，y0，2y10分别变为直线y0，y0，2y10的仿射变换求使直线0，y0，2y10分别变为直线y0，y0，2y10的仿射变换正确答案：设所求仿射变换为：rn 解：设所求仿射变换为：rnrn 由此得到：y(a11a21)(a12a22)y(a13a23)rn 因为直线0对应直线y0于是有rnrn 又直线y0对应直线y0于是有rnrn 同理直线2y10对应直线2y10有rnrn 由、可解得a13a230a11a21rn a12a222rn 因此所求仿射变换为：rn设所求仿射变换为：解：设所求仿射变换为：由此得到：y(a11a21)(a12a22)y(a13a23)因为直线0对应直线y0,于是有又直线y0对应直线y0,于是有同理直线2y10对应直线2y10,有由、可解得a13a230,a11a21,a12a222因此所求仿射变换为：25. 验证极限存在，但不能用洛必达法则求出验证极限存在，但不能用洛必达法则求出若用洛必达法则，则因 不存在故题设极限不能用洛必达法则求出 26. 求微分方程x+kx=0的通解求微分方程x+kx=0的通解特征方程为3+k=0 当k=0时，有通解为：x=C1+C2t+C3t2， 当k0时，特征根分别为通解为 27. 设f(xy，xy)=x2xy，试求f(x，y)设f(x+y，x-y)=x2-xy，试求f(x，y)28. 设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角。正确答案：29. 从装有3只红球，2只白球的口袋中任意取出2只球，则事件“取到2只白球”的逆事件是( ) A取到2只红球 B取到从装有3只红球，2只白球的口袋中任意取出2只球，则事件“取到2只白球”的逆事件是()A取到2只红球B取到的白球数大于2C没有取到白球D至少取到1只红球D因为逆事件等同于否事件，而取到2只白球的否为至少取到1只红球30. 设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵 试说明关系R不是传递关系。设A=a1，a2，a3，a4，a5，R是A上的二元关系，其关系矩阵试说明关系R不是传递关系。由于a12=1，a24=1，所以有(a1，a2)R和(a2，a4)R，但a14=0，即(a1，a4)R，由此说明R不是传递关系。31. 验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat验证下列函数满足波动方程utta2uxx： (1)usin(kx)sin(akt)； (2)uln(xat)； (3)usin(xat)正确答案：(1)uxkcos(kx)sin(akt) uxxk2sin(kx)sin(akt) utaksin(kx)cos(akt)rnutta2k2sin(kx)sin(akt)rn综上utta2uxx成立；rnrn综上utta2uuxx成立；rn(3)uxcos(xat)uxxasin(xat) utacos(xat) utta2sin(xat)rn综上utta2uxx成立(1)uxkcos(kx)sin(akt)uxxk2sin(kx)sin(akt)utaksin(kx)cos(akt)utta2k2sin(kx)sin(akt)综上,utta2uxx成立；综上,utta2uuxx成立；(3)uxcos(xat)uxxasin(xat)utacos(xat)utta2sin(xat)综上,utta2uxx成立32. 叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式叙述梯度、散度、旋度的定义及其在直角坐标下的表示式33. 对事件A，B，说明下列关系式相互等价： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)对事件A，B，说明下列关系式相互等价：(1);(2)(3)A+B=B;(4)AB=A;(5)用文氏图表示事件A，B的关系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等价的，即 又有 于是可得(2)与(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等价的。 34. 已知P(A)=a，P(B)=n，P(AB)=c，求：(1)；(2);(3);(4)已知P(A)=a，P(B)=n，P(AB)=c，求：(1)；(2);(3);(4)(1) (2) (3) (4) 35. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。 36. 试对九章算术思想方法的一个特点算法化的内容加以说明。试对九章算术思想方法的一个特点算法化的内容加以说明。参考答案九章算术在每一章内都先列举若干实际问题，并对每个问题给出答案，然后再给出术，作为一类问题的共同解法;以后遇到同类问题，只要按术给出的程序去做就一定能求出问题的答案;书中的术其实就是算法。37. 求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x2 (3) (4) (5) (6)求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1)(2)x2(3)(4)(5)(6)令 F(x，y)x2y+3x4y3-4， 因为 所以 (2)令 因为 所以 (3)令 因为 所以 (4)在等式两边分别微分： 所以 解出 化简有 故 (5)令 因为 所以 (6)令 因为 所以 38. 如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵证明：如果A为幂等矩阵，且AB，则B是幂等矩阵如果n阶矩阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵证明：如果A为幂等矩阵，且AB，则B是幂等矩阵因AB，则存在非奇异矩阵P，使得P-1AP=B，从而B2=P-1A2P-1=AP=B由幂等矩阵的定义可知，B也是幂等矩阵39. 证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算正确答案：设(ijst均为整数)则rn n|i-sn|j-trn于是n整除rn i(j一t)+(is)t=ij一strn从而rnrn即同余类的乘法是Zn的一个代数运算设(i,j,s,t均为整数),则n|i-s,n|j-t于是n整除i(j一t)+(is)t=ij一st从而即同余类的乘法是Zn的一个代数运算40. 求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。12R241. 设随机变量X服从正态分布N(，2)，令U=_，可使U服从N(0，1)的正态分布。设随机变量X服从正态分布N(，2)，令U=_，可使U服从N(0，1)的正态分布。42. 在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析(水温171；底水：10在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析(水温171；底水：100g大麦经水浸一定时间后的重量；吸氨时间：min；吸氨量：在底水的基础上再浸泡氨水后增加的重量)编号吸氨量Y底水x1吸氨时间x2编号吸氨量Y底水x1吸氨时间x216.2136.521572.8140.518027.5136.525083.1140.521534.8136.518094.3140.525045.1138.5250104.9138.521554.6138.5180114.1138.521564.6138.5215建立Y关于x1和x2的经验回归方程，并对其进行显著性检验(1)建立回归方程，为简化计算，令x1=x1-138.5，x2=x2-215，并将有关数据列表计算如下，由表中数据可得： 编号 x1 x2 y (x1)2 (x2)2 y2 x1x2 x1y x2y 1 -2 0 6.2 4 0 38.44 0 12.4 0 2 -2 35 7.5 4 1225 56.25 -70 -15.0 262.5 3 -2 -35 4.8 4 1225 23.04 70 -9.6 -168.0 4 0 35 5.1 0 1225 26.01 0 0 178.5 5 0 -35 4.6 0 1225 21.16 0 0 -161.0 6 0 0 4.6 0 0 21.16 0 0 0 7 2 -35 2.8 4 1225 7.84 70 5.6 -98 8 2 0 3.1 4 0 9.61 0 6.2 0 9 2 35 4.3 4 1225 18.49 70 8.6 150.5 10 0 0 4.9 0 0 24.01 0 0 0 11 0 0 4.1 0 0 16.81 0 0 0 0 0 52.0 24 7350 262.82 0 -16.6 164.5 故 解之得： 故得回归方程 (2)为检验回归方程显著性，下面作方差分析 Q=syy-u=17-15.073=1.927, r接近于1，故回归效果是好的 方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方 统计量 F(2.8) 显著性 回归 15.073 2 7.5365 31.28 4.46 剩余 1.927 8 0.2409 总计 17 10 经检验，可知回归方程是显著的 43. 设f(x)和g(x)为二随机变量的概率密度，则( )为某随机变量的概率密 度 (a) f(x)g(x) (b) (c) 3f(x)+2g设f(x)和g(x)为二随机变量的概率密度，则()为某随机变量的概率密 度(a) f(x)g(x)(b)(c) 3f(x)+2g(x)(d) 2f(x)+g(x)-2B44. f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。( )f(x)=sin(x2)，则f(x)在x=0处的极限不存在。( )正确答案： 45. 函数设f(x1)x22x5，则f(x)_设f(x1)x22x5，则f(x)_正确答案：f(x)x26f(x)x2646. 若函数|f(x)|在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处必可导；若函数|f(x)|在点x=x0处可导，则f(x)在点x=x0处必可导；错误例如，可 见|f(x)|在点x=0处可导，而f(x)在点x=0处不可导 47. (1)在一棵有两个2次结点、四个3次结点、其余为树叶的无向树中，应该有几片树叶? (2)画出两棵不同构的满足条件(1)在一棵有两个2次结点、四个3次结点、其余为树叶的无向树中，应该有几片树叶?(2)画出两棵不同构的满足条件(1)的结点次数的无向树T1，T248. 已知某账户的当前余额为1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元计算该项目中甲的收已知某账户的当前余额为1000000元，甲在第1年底提出1500000元，在第2年底又投入900000元计算该项目中甲的收益率对投资一方来说，有 B0=1000000元0元，B1=1000000(1+i)-1500000元， B2=1000000(1+i)2-1500000(1+i)+900000元 =10000100i2+50i+40元0元 也就是说，对于任何利率i，投资者甲的最终结果(在第2年底)都是亏损例如：当i=0.1时，甲在第1年底提出1500000元，提款之后的余额为1000000(1+0.1)-1500000元=-400000元，那么，在第2年底，以利率i=0.1计算得投资者最多可以借出400000(1+0.1)元=440000元900000元换个角度看，在这个项目中，无论考虑什么样的年利率，都不能刻画该项目的亏损情况 49. 设一球面过点M(1，2，3)且与各坐标面相切，求此球面方程设一球面过点M(1，2，3)且与各坐标面相切，求此球面方程正确答案：因为点M(123)在第一卦限所以球面一定在第一卦限rn 设球面方程(因为与坐标面相切)为：(xa)2(ya)2(za)2a2a0rn 又由于点M(123)在球面上故满足球面方程：(1a)2(2a)2(3a)2a2rn因为点M(1,2,3)在第一卦限,所以球面一定在第一卦限设球面方程(因为与坐标面相切)为：(xa)2(ya)2(za)2a2,a0又由于点M(1,2,3)在球面上,故满足球面方程：(1a)2(2a)2(3a)2a250. 设平面上直线l的方程为AxByc=0，求平面对于直线l的反射公式。设平面上直线l的方程为Ax+By+c=0，求平面对于直线l的反射公式。51. 试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：试将下列微分方程组化为等价的微分方程，并求出方程的解：由第2式得x=4y+y，再取导数有x=4y+y将得到的x，x代入第1式便得4y+y=3(4y+y)-10y，y+y-2y=0 再利用第2式及初值条件知y(0)=8-4=4 最后得到等价的微分方程为 y+y-2y=0，y(0)=1，y(0)=4 上面二阶方程的特征方程为2+-2=(+2)(-1)=0，有根=-2，1 方程的通解为y=c1e-2t+c2et满足初值条件的解为y=-e-2t+2et及x=-2e-2t+10et$由第1式有，代入第2式得 -x+tx+t2x=-2x+x+txt2x=0 等价的微分方程为x=0 它有通解x=c1t+c2， 或由第2式有，代入第1式可得 ，t2(ty+2y)=0 等价的微分方程为ty+2y=0 令z=y，可化为tz+2z=0，有通解为进而 52. 设是参数的无偏估计量0，则下列结论必定成立的是( ) A( )2是2的无偏估计量 B( )2是2的矩估计量 C设是参数的无偏估计量0，则下列结论必定成立的是()A()2是2的无偏估计量B()2是2的矩估计量C()2是2的有偏估计量D()2是2的一致估计量C53. 一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一汽车保险公司分析一组(250人)签约的客户中的赔付情况据历史数据分析，在未来的一周中一组客户中至少提出一项索赔的客户数X占10%写出X的分布，并求X2500.12(即X30)的概率设各客户是否提出索赔相互独立按题意知Xb(250，0.10)现在需要求 即需求 由拉普拉斯定理得 54. 判别式小于0的二次多项式的虚根是两个互相共轭的复数。( )判别式小于0的二次多项式的虚根是两个互相共轭的复数。( )正确答案： 55. 求下列函数的微分： (1)y=acos3x(a0)； (2)y=(1+x2)xesx求下列函数的微分：(1)y=acos3x(a0)；(2)y=(1+x2)xesx(1)因为y=(acos23x)=acos23x2cos3x(-3sin3x)lna， 所以 dy=-6sin3xcos3xInaacos23xdx =-3sin6xlnaacos23xdx (2)y=(1+x2)secxsecxln(1+x2) 故有 56. 设A，B为集合，证明：(AB)(A-B)=A(方法不限)设A，B为集合，证明：(AB)(A-B)=A(方法不限)可用多种方法证明本题 方法1 直接证明法(用集合演算证明) (AB)(A-B) =(AB)(AB) (补交转换律) =A(BB) (分配律) =AE (E为全集、排中律) =A (同一律) 方法2 直接证明法(用定义证明) x(AB)(A-B) (分配律) (排中律) (同一律) 所以，(AB)(A-B)=A 方法3 使用归谬法(反证法) 否则，(AB)(A-B)A，则，使得 记为“情况1” 或者，使得 记为“情况2” 在情况1下： 这是个矛盾式 在情况2下： 这也是个矛盾式 综上两种情况可知：(AB)(A-B)=A。 57. 长度为3的素数等差数列的共同的公差素因素是几?A、6.0B、3.0C、2.0D、1.0长度为3的素数等差数列的共同的公差素因素是几?A、6.0B、3.0C、2.0D、1.0正确答案： C58. 指出共鸣定理中空间完备性条件不能去掉指出共鸣定理中空间完备性条件不能去掉设为l2中除有限多个分量外皆为零的向量组成的子空间，即 当且仅当存在k0使kk0有k=0，则不是l2的闭线性子空间，从而不是完备的定义Tn：使对每个x=有Tnx=(0，0，nn，0，)，则 Tnx=n|n|nx，Tnn；又对第n个分量为1其余为0的向量en有 Tn=TnenTnen=n因此Tn=n，于是有但对任意，存在k0使kk0有k=0，于是有Tkx=，从而 这表明共鸣定理的结论对不成立 59. 某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵某林场采用两种方案作杨树育苗试验，已知两种方案下苗高均服从正态分布，标准差分别为1=20，2=18，现各抽60棵树苗作样本，测得苗高=59.34cm，=49.16cm试以95%的可靠性估计的两种方案对杨树苗的高度有无影响这是已知双总体均值的双侧假设检验，=0.05，待检假设 H0：1=2， 选U估计量由=59.34，=49.16，1=20，2=18，n1=n2=60，得 查表得z0.025=1.96，经比较知|u|=2.93z0.025=1.96，故拒绝H0，认为两种方案对杨树苗的高度有显著影响 60. (溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L(溶液混合问题)一容器内盛有50 L的盐水溶液，其中含有10 g的盐现将每升含2 g盐的溶液以每分钟5 L的速率注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以每分钟3 L的速率流出容器问在任意时刻t容器中的含盐量是多少?正确答案：